七年级下册9.1 单项式乘单项式学案设计

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知识精讲
知识点01 同位角
1.交换律与结合律
（交换律）
（结合律）
2.单项式乘单项式
（1）法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
（2）单项式乘以单项式的运算步骤：①系数：把它们的系数相乘，包括它们的符号；②同底数幂：同底数幂相乘；③只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
【微点拨】
①应先确定积的符号；
②注意按运算顺序进行；
③不要丢掉只有一个单项式里含有的字母。
【即学即练1】计算：
（1）（﹣3x）3•（5x2y）；
（2）（﹣2）3+（﹣3）×（﹣4）2．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算进行计算即可；
（2）根据有理数的乘方运算，再根据有理数的加减运算法则进行计算即可．
【解析】（1）（﹣3x）3•（5x2y）
；
（2）（﹣2）3+（﹣3）×（﹣4）2
．
【即学即练2】如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为b米，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的甬路，剩余部分种草．（提示：取3）
（1）甬路的面积为________平方米；种花的面积为_______平方米；
（2）当，时，请计算该长方形场地上种草的面积；
（3）在（2）的条件下，种花的费用为每平方米30元，种草的费用为每平方米20元，甬路的费用为每平方米10元．那么美化这块空地共需要资金多少元？
【答案】（1）ab；3a2；（2）28平方米；（3）1120元
【分析】（1）利用长方形面积公式和圆的面积公式计算即可；
（2）用总面积减去甬路和花圃面积即可；
（3）表示出甬路、花圃、草地的面积，再求出各自的花费即可．
【解析】解：（1）甬路的面积：（3a-a-a）•b=ab（平方米），
种花的面积：π•a2≈3a2（平方米），
故答案为：ab；3a2；
（2）种草的面积：3a•b-ab-πa2=2ab-3a2，
当a=2，b=10时，
原式≈2×2×10-3×22=40-12=28（平方米），
答：长方形场地上种草的面积为28平方米；
（3）3×22×30+28×20+2×10×10
=360+560+200
=1120（元）
答：美化这块空地共需要资金1120元．
能力拓展
考法 单项式乘单项式
【典例1】如图是某住宅的平面结构示意图，准备将地面铺上地砖，图中标注了有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）
（1）用代数式表示该住宅的总面积是多少？
（2）当，时，铺地砖的平均费用为元，那么铺地砖的总费用是多少？
【答案】(1) 15xy m2；(2)3600元
【分析】（1）根据图中的数据得出住宅的总面积即可；
（2）求出该住宅的所需地砖面积，再乘以30求出即可．
【解析】（1）该住宅的面积为4x•4y-（4x-2x-x）(4y-2y-y)=16xy-xy=15xy(m2)；
（2）该住宅的所需地砖面积为15xy，
当x=4，y=2时，15xy=15×4×2=120（m2）
120×30=3600（元）．
所以，铺地砖的总费用是3600元．
【典例2】化简求值：[，其中x＝﹣1，y＝1．
【答案】.
【分析】根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解析】[
＝[（﹣）+]
＝（+）
＝x6y6﹣，
当x＝﹣1，y＝1时，原式＝（﹣1）6×16﹣＝1﹣＝．
分层提分
题组A 基础过关练
1．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据单项式乘以单项式运算法则计算即可得出答案．
【解析】解：，故选：B．
2．下列运算不正确的是（ ）
A．(a5)2=a10B．2a2•（﹣3a3）=﹣6a5
C．b•b3=b4D．b5•b5=b25
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则进行计算，判断即可．
【解析】解：（a5）2=a10，A正确，不符合题意；2a2•（-3a3）=-6a5，B正确，不符合题意；b•b3=b4，C正确，不符合题意；b5•b5=b10，D错误，符合题意；故选：D．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用同底数幂的乘法法则，单项式乘单项式的运算法则，合并同类项，积的乘方的运算法则分别对各项进行运算即可．
【解析】A.，故A不符合题意；B.，故B不符合题意；C.，故C符合题意；D.，故D不符合题意；故选：C．
4．计算﹣3x2•（﹣3x3）的结果是（ ）
A．﹣6x5B．9x5C．﹣2x6D．2x6
【答案】B
【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．
【解析】解：-3x2•（-3x3）=9x5．故选：B．
5．计算： 的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先计算积的乘方，再按照单项式乘以单项式的法则可得答案．
【解析】解：故选C．
6．长度单位纳米米，目前发现一种新型病毒直径为纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将25 100用科学记数法表示为2.51×104，再和10－9相乘．
【解析】解：25 100×10－9＝2.51×104×10－9
＝2.51×10－5．
故选：D．
7．计算：﹣x2y•2xy3＝___．
【答案】
【分析】根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可．
【解析】解：，故答案为：．
8．计算：（3x3）2•（﹣x2）3＝___．
【答案】
【分析】根据积的乘方运算，同底数幂相乘，单项式乘单项式，把系数和相同字母分别相乘．
【解析】解：（3x3）2•（﹣x2）3＝ ，故答案为：．
9．已知两个单项式的积是，这两个单项式可以是___________（写出一对即可）．
【答案】 和 （答案不唯一）
【分析】本题是一道开放性的题目，答案不唯一，只要符合乘积是，即可．
【解析】解：∵两个单项式的积是，
∴这两个单项式可以是 和 ，
故答案为： 和 （答案不唯一）．
10．计算：_________；__________．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方法则计算即可．
【解析】解：，
，
故答案为：，．
11．计算：（1）．
（2）．
【答案】（1）1；（2）-10
【分析】（1）根据零指数幂和负整指数幂对每个式子进行化简，计算即可；
（2）根据整式的乘方和乘除运算，求解计算即可．
【解析】解：（1）
（2）
12．计算
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）2
【分析】（1）先分别计算积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，再合并同类项即可；
（2）根据有理数的乘方，负整数指数幂的运算，零指数幂的运算，分别计算即可．
【解析】（1）解：原式，
（2）解：原式．
题组B 能力提升练
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】运用同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项的运算法则分别对各项进行运算，即可得出结果
【解析】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D符合题意．故选：D．
2．下列各图均由若干个大小相同的小正方形组成，且最大的正方形边长都为a，下面三幅图中阴影部分的面积均相同，请你写出这个面积（用含有a的式子表示）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】题目已告诉三个图形的阴影面积相同故选最右边图形用a表示其阴影面积．右边图形的阴影是梯形，可先用a表示出其上下底及高，再运用梯形面积公式表示出其面积，最后化简即得答．
【解析】由于题目已知三个图形的阴影面积相同，故只需把最右边图形的面积用a表示即可．如下图
知梯形的上底长为，高为，下底长为a
所以阴影部分的面积为==．
故选：B．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别根据负整数指数幂、积的乘方、单项式乘单项式、单项式除法的运算法则计算即可判断．
【解析】A、，原计算不正确；B、，原计算不正确；C、，原计算不正确；D、，原计算正确；故选：D．
4．下列计算不正确的是（ ）
A．(－3a2b)·(－2ab2)=6a3b3B．(15a3b2+10a2b3)÷（5a2b2）=3a+2b
C．(12a2+8a3－4a)÷(－2a)=6a－4a2+2D．(4×104)2÷(8×106)=2×102
【答案】C
【分析】分别根据单项式乘以单项式的法则、多项式除以单项式的法则、单项式除以单项式的法则计算各项，进而可得答案．
【解析】解：A、(－3a2b)·(－2ab2)=6a3b3，故本选项计算正确，不符合题意；B、(15a3b2+10a2b3)÷（5a2b2）=3a+2b，故本选项计算正确，不符合题意；C、(12a2+8a3－4a)÷(－2a)=﹣6a－4a2+2，故本选项计算错误，符合题意；D、(4×104)2÷(8×106)= (16×108)÷(8×106)=2×102，故本选项计算正确，不符合题意．故选：C．
5．已知单项式9am+1bn+1与﹣2a2m﹣1b2n﹣1的积与5a3b6是同类项，求mn的值（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】直接利用单项式乘以单项式运算性质得出关于m，n的等式，进而求出m，n的值，进而得出答案．
【解析】∵单项式9am+1bn+1与﹣2a2m﹣1b2n﹣1的积与5a3b6是同类项，
∴，
解得：，
故mn＝12＝1．
故选：D．
6．2x(﹣3xy)2的计算结果是（ ）
A．﹣18x3y2B．18x3y2C．18xy2D．6x3y2
【答案】B
【分析】根据积的乘方和单项式的乘法法则，直接得出结果．
【解析】2x（﹣3xy）2＝2x•9x2y2＝18x3y2．故选：B．
7．若，则a、b、c之间满足的等量关系不成立的是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，依此即可得到a、b、c之间的关系．
【解析】解：∵22b−1=102÷2=50=2c，
∴2b−1=c，故A正确；
∵2a=5，2b=10，
∴2a×2b=2a+b=5×10=50，
∵2c=50，
∴a+b=c，故B正确；
∵2a+1=5×2=10=2b，
∴a+1=b，故C正确；
∴错误的为D．
故选D．
8．如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两个正方形和两个长方形．若去掉边长为2b的小正方形后，再将剩余部分拼成一个矩形，则矩形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，先将剩余部分拼成长方形，再根据图形的边长关系将新矩形的长和宽表示出来，就可以计算周长．
【解析】解：如下图所示，
可以将图①拼到到图②的位置，就构成了长方形：
该长方形的长为：3a+2b，宽为：3a-2b，
则周长为：（3a+2b+3a-2b）×2=12a，
故选C．
9．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据整式的运算即可求解.
【解析】==，故选C.
10．若，适合此等式的的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】单项式与单项式相乘,只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在
一个单项式中出现的字母,则连同它的指数一起作为积的一个因式.
【解析】根据单项式与单项式的乘法法则,得
(mx4)·(4xk)=4mx4+k
又因为(mx4)(4xk)=12x12,所以可得
4mx4+k=12x12
故可得
4m=12,4+k=12
解方程组可得
m=3,k=8.
故答案选B.
11．计算：﹣a2b•a2b3•（﹣a2b2）2
【答案】
【分析】先判断结果的符号，再计算系数，对于字母，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方运算进行计算即可．
【解析】﹣a2b•a2b3•（﹣a2b2）2
12．计算：（1） （2）
【答案】（1）10；（2）
【分析】（1）分别根据有理数绝对值 ，零指数幂，负整数指数幂的运算法则化简各数 ，再进行加减运算即可得到答案；
（2）原式第一项进行积的乘方运算，第二项进行积的乘方运算再单项式乘法，最后合并即可．
【解析】解：（1）
=
=；
（2）
=．
13．计算：
（1）（）﹣1+（﹣3）0﹣（﹣2）；
（2）（﹣3a3）2+2a2•a4﹣a8÷a2．
【答案】（1）6；（2）10a6．
【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、有理数的加减法运算法则进行计算；
（2）根据积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式的运算法则进行计算．
【解析】解：（1）（）﹣1+（﹣3）0﹣（﹣2）
=3+1+2
=6；
（2）（﹣3a3）2+2a2•a4﹣a8÷a2
=9a6+2a6 -a6
=10a6．
14．（1）；（2）
【答案】（1）；（2）；
【分析】（1）由零指数幂、负整数指数幂、以及乘方的运算法则进行计算，即可得到答案；
（2）由单项式乘以单项式，单项式除以单项式进行计算，即可得到答案．
【解析】解：（1）
=
=；
（2）
=
=；
题组C 培优拔尖练
1．计算______．
【答案】
【分析】利用同底数幂的乘法计算．
【解析】原式，
故答案为：．
2．如图，把一个大长方形分割成5小块，其中长方形①号和②号，③号和④号的形状和大小分别相同，⑤号是正方形，则⑤中的面积与大长方形的面积之比为_______．
【答案】8∶21．
【分析】设长方形①号和②号的长为a，宽为b，根据长方形的对边相等及正方形的四边相等分别表示出相关线段长，最后根据AB＝CD得到a＝3b，由此可得⑤号正方形的边长为4b，大长方形ABCD的长为7b，宽为6b，由此即可求得答案．
【解析】解：如图，
设长方形①号和②号的长为a，宽为b，
则CE＝FG＝FM＝a，CG＝EF＝FH＝b，
∴⑤号正方形的边长DK＝DE＝ME＝FM＋EF＝a＋b，
长方形③号和④号的宽AK＝LM＝BL＝HG＝FG－FH＝a－b，
∴大长方形ABCD的宽BC＝AD＝AK＋DK＝a－b＋a＋b＝2a，
∴长方形③号和④号的长AL＝BG＝BC－CG＝2a－b，
∴AB＝AL＋BL＝2a－b＋a－b＝3a－2b，CD＝DE＋CE＝a＋b＋a＝2a＋b
∵大长方形ABCD的长AB＝CD，
∴3a－2b＝2a＋b，
解得：a＝3b，
∴⑤号正方形的边长DK＝a＋b＝4b，
大长方形ABCD的长CD＝2a＋b＝7b，
大长方形ABCD的宽AD＝2a＝6b，
∴⑤中的面积与大长方形的面积之比＝（4b）2∶（6b·7b）
＝16b2∶42b2
＝8∶21，
故答案为：8∶21．
3．若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝_____．
【答案】8
【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则计算，然后根据相同字母的指数相等列方程组即可求出m、n．
【解析】解：，
∴，
解方程组得：，
，
故答案为：8．
4．如果单项式与单项式的乘积为，则__________．
【答案】-5
【分析】根据已知条件可求得，约分可得，根据单项式相乘的原则：底数不变，指数相加可得求解即可.
【解析】单项式与单项式的乘积为，即
两边约分后可得
根据底数不变，指数相加原则可得
可求得.
故答案为-5.
5．若且为正整数,则__.
【答案】
【分析】根据单项式的乘法法则和同底数幂的乘法计算.
【解析】解：
故答案为
6．已知单项式3x2y3与﹣5x2y2的积为mx4yn，那么m﹣n＝_____．
【答案】﹣20.
【分析】将两单项式相乘后利用待定系数即可取出m与n的值．
【解析】解：3x2y3×（﹣5x2y2）＝﹣15x4y5，
∴mx4yn＝﹣15x4y5，
∴m＝﹣15，n＝5
∴m﹣n＝﹣15﹣5＝﹣20
故答案为﹣20
7．光的速度约为3×105km/s，太阳光照到地球上要5×102s，那么太阳与地球的距离为__________km(用科学记数法表示)．
【答案】1.5×108
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，
3×105×5×102=1.5×108，
故答案为1.5×108.
8．若－2xay·(－3x3yb)=6x4y5，则a=_______，b=_______．若(mx4)·(4xk)＝－12x12，则m=____，k=______.
【答案】1； 4； -3； 8.
【分析】根据单项式乘以单项式的乘法法则计算即可解答.
【解析】∵－2xy·(－3x3y4)=6x4y5，
∴a=1，b=4；
∵(-3x4)·(4x8)＝－12x12，
∴m=-3，k=8.
故答案为1，4，-3，8.
9．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1） ；（2） ；（3）31；（4）12
【分析】（1）由题意依据同底数幂乘法和幂的乘方运算法则进行计算即可；
（2）由题意依据积的乘方和同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（3）根据题意利用有理数的混合运算法则和去绝对值原则进行计算即可；
（4）由题意先计算乘方和去绝对值继而运算乘法，最后计算加减法即可.
【解析】解：（1）
=
=
（2）
=
=
=
（3）
=（-）×（-16）+×（-16）-24÷8
=40-6-3
=31．
（4）


.
10．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）分别计算零指数幂、绝对值和负整式指数幂，再依次相加减即可；
（2）分别计算乘方、零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算减法即可；
（3）利用同底数幂的乘除法公式计算即可；
（4）分别计算同底数幂的除法、积的乘方、单项式乘单项式，再合并同类项即可．
【解析】解：（1）原式=
=；
（2）原式=
=
=；
（3）原式=
=；
（4）原式=
=
=．
11．如图，长方形长为，宽为，现从四个角割去四个边长为的小正形，然后折叠成一个无盖的长方体．
（1）求长方体的体积（用含有m的代数式表示）
（2）当时，求此时长方体体积．
【答案】（1） （2）2
【分析】（1）先求出长方体的长、宽、高，然后由体积公式即可求出答案；
（2）把代入计算，即可求出答案．
【解析】解：（1）根据题意，
长方体的长为：，
长方体的宽为：，
长方体的高为：，
∴长方体的体积为：；
（2）根据题意，
当时，则
此时长方体体积为：．
12．刚上中学的小明，星期天到爸爸单位参观，发现一位叔叔在检验一批同一包装的产品时，对抽取的5件产品分别称重，记录如下，-1，-2，+3，+1，+2（单位为千克）．
（1）如果产品说明书上标明每件产品标准质量为a千克，根据你所学的知识，叔叔记录的“-2”表示什么意思？
（2）如果每件产品标准质量是a千克，则这5件产品称重的总质量是多少？市场上该产品售价是每千克m元，则抽取的这5件产品总价是多少？（均用代数式表示）
（3）小明通过叔叔了解到，该产品标准质量，市场上这种产品售价是元每千克，则抽取的这5件产品总价多少元？
【答案】（1）“-2”代表此箱比标准少2kg，为；（2）这5箱总质量为，总价为元；（3）这5件总价6045元
【分析】（1）根据正负数的意义解答即可；
（2）分别表示出五件产品的质量，相加即可求出总质量，根据用单价乘以质量数即可求出总价；
（3）把，代入代数式即可求解．
【解析】解：（1）“-2”代表此箱比标准少2kg，为，
（2），
元，
答：这5箱总质量为，总价为元．
（3）当，时，
（元），
答：这5件总价6045元．
课程标准
课标解读
能进行简单的整式乘法运算
1.理解整式乘法的交换律和结合律；
2.掌握单项式乘单项式的法则；