初中数学苏科版七年级下册9.3 多项式乘多项式学案及答案

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知识精讲
知识点 多项式乘多项式
多项式乘多项式的推导：
上图面积；
或者；
联立得：=
法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即：；
【微点拨】
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积；
③多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，运算过程中要注意先确定积中各项的符号；
④相乘后，若有同类项应该合并。
【即学即练1】计算
（1）3m2•（2m2n）2÷6m5；
（2）a（3a﹣1）＋（1﹣a）（3a＋2）；
（3）5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2＋3a2b）；
（4）﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）＋2mn]．
【答案】（1）2mn2；（2）2；（3）3a2b﹣ab2；（4）mn
【分析】（1）先计算乘方，再从左往右计算，即可求解；
（2）先算乘法，再合并同类项，即可求解；
（3）先去括号，再合并同类项，即可求解；
（4）先去括号，再合并同类项，即可求解．
【解析】（1）解：3m2•（2m2n）2÷6m5
＝3m2•4m4n2÷6m5
＝12m6n2÷6m5
＝2mn2；
（2）解：a（3a﹣1）+（1﹣a）（3a+2）
＝3a2﹣a+3a+2﹣3a2﹣2a
＝2；
（3）解：5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2＋3a2b）
＝15a2b﹣5ab2+4ab2﹣12a2b，
＝3a2b﹣ab2；
（4）解：﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）＋2mn]
＝﹣2mn+6m2﹣m2+5mn﹣5m2﹣2mn，
＝mn．
【即学即练2】在一个长方形中截去2个相同的小正方形所得的图形（如图所示）试根据图中所注各边的长度，解答下列问题：
（1）分别用含a，b的式子表示阴影部分的周长L和面积S；
（2）当a=1，b=3时，求周长L和面积S．
【答案】（1）周长：4a+2b，面积：2ab-2a2；（2）周长：10，面积：4
【分析】（1）先用表示出，进而求得周长和面积；
（2）将字母的值代入求解即可
【解析】解：（1）依题意，得x=b-2a
∴L=b+6a+b-2a
=4a+2b．
S=ba+(b-2a)a
=ba+ab-2a2
=2ab-2a2
(2) 当a=1，b=3时，L=4×1+2×3=10
S=2×1×3-2×12=4
能力拓展
考法 多项式乘多项式
【典例1】填空： ； ；
； ；
（1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果： ；
（2）运用上述结果，写出下列各题结果：
① ；
②
【答案】填空：，，，；（1）；（2）①；②．
【分析】填空：根据多项式乘以多项式的法则即可得；
（1）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得；
（2）①运用（1）的规律即可得；②运用（1）的规律即可得．
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：，，，；
（1）由上面的计算可知，，
故答案为：；
（2）①，
，
故答案为：；
②，
，
故答案为：．
【典例2】观察下列各式：
……
（1）根据以上规律，______；
（2）你能否由此归纳出一般规律：______；
（3）根据以上规律求的结果．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据已知等式的规律即可求出结论；
（2）根据已知等式的规律即可求出结论；
（3）将x=2，n=2018代入（2）的公式中即可求出结论．
【解析】解：（1）根据已知等式的规律可得：
故答案为：；
（2）
故答案为：；
（3）令x=2，n=2018
由（2）可得．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知多项式2x³－8x²＋x－1与多项式3x³＋2mx²－5x＋3的和不含二次项，则m的值为（ ）
A．－4B．－2C．2D．4
【答案】D
【分析】先把两多项式相加，令x的二次项为0即可求出m的值．
【解析】解：2x³－8x²＋x－1+3x³＋2mx²－5x＋3
=，
依题意：，
解得：，
故选择：D
2．若x2﹣bx﹣10＝（x+5）（x﹣a），则ab的值是（ ）
A．﹣8B．8C．﹣ D．
【答案】C
【分析】由题意对右边的式子进行去括号后合并同类项，进而一一对应即可求出答案.
【解析】解： x2﹣bx﹣10＝（x+5）（x﹣a），
x2-bx-10=x2+5x-ax-5a，
x2-bx-10=x2+（5-a）x-5a，
-b=5-a，-10=-5a，
∴a=2，b=-3，
∴ ab =2-3=- ，
故选：C．
3．如果（x+a）（x+b）的结果中不含x的一次项，那么a、b满足（ ）
A．a＝bB．a＝0C．a＝﹣bD．b＝0
【答案】C
【分析】根据题意，将（x+a）（x+b）展开，令一次项系数为0，进而确定的关系．
【解析】（x+a）（x+b）中不含x的一次项，
，
即．
故选C．
4．计算：(16a3﹣12a2+4a)÷(-4a)等于（ ）
A．﹣4a2+3aB．4a2﹣3aC．4a2﹣3a+1D．﹣4a2+3a﹣1
【答案】D
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则进行运算即可．
【解析】解：原式
，
故选：D．
5．如图（图中长度单位：m）阴影部分的面积是_____m2（用含的式子表示），面积表达式是_____次三项式．
【答案】 二
【分析】由阴影部分的面积等于大的长方形的面积减去小的长方形的面积可得第一空的答案；再结合多项式的项与次数可得第二空的答案.
【解析】解：阴影部分的面积

有三项，最高次项是
所以是二次三项式，
故答案为：，二
6．计算：（x2﹣3）（x2＋5）＝___．
【答案】
【分析】根据多项式乘以多项式进行计算即可．
【解析】（x2﹣3）（x2＋5）
故答案为：．
7．若二项式3x+a与x+2相乘，化简后结果中不出现一次项，则a的值是 ___．
【答案】-6
【分析】利用多项式乘以多项式法则将已知多项式化简，合并同类项后令一次项系数等于0，即可求出a的值．
【解析】解：（3x+a）（x+2）=3x2+6x+ax+2a=3x2+（a+6）x+2a，
∵此多项式不含x的一次项，
∴a+6=0，即a=-6．
故答案为：-6．
8．若（为常数），则______，______．
【答案】3 -10
【分析】直接利用多项式乘多项式进而计算得出答案．
【解析】解：∵（x-2）（x+5）=x2+mx+n（m、n为常数），
∴x2+3x-10=x2+mx+n（m、n为常数），
∴m=3，n=-10，
故答案为：3，-10．
9．计算
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）按照同底数幂的除法与同底数幂的乘法的法则进行运算，再确定符号即可得到答案；
（2）按照多项式乘以多项式的法则进行计算即可得到答案．
【解析】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
10．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可；
（2）第一项根据单项式乘多项式的运算法则化简，第二项根据积的乘方运算法则化简，再合并同类项即可．
【解析】解：（1）原式．
．
（2）原式．
．
11．计算:
【答案】
【分析】先用平方差公式展开，再用完全平方公式展开，即可得出答案.
【解析】解：原式=
=
12．计算:(1) (2)
【答案】（1）3x+1；（2）.
【分析】（1）先算括号里面的，再去括号，最后合并同类项即可得出答案；
（2）先算括号和除法，再合并同类项即可得出答案.
【解析】解：（1）原式=
=
=3x+1
（2）原式=
题组B 能力提升练
1．如图是一个由5张纸片拼成的一个大长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张大正方形纸片大小一样，面积记为S1，另外两张长方形纸片大小一样，面积记为S2，中间一张小正方形纸片的面积记为S3，则这个大长方形的面积一定可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设S3的边长为x，S2的长为y，则S1的边长为y-x，S2的宽为y-2x，然后根据长方形面积公式结合整式混合运算的运算法则进行分析计算．
【解析】解：设S3的边长为x，S2的长为y，则S1的边长为y-x，S2的宽为y-2x，
∴大长方形的长为2y-x，大长方形的宽为2y-3x，
∴S大长方形=（2y-x）（2y-3x）
=4y2-6xy-2xy+3x2
=4y2-8xy+3x2
=3（x2-2xy+y2）+（y2-2xy），
又∵S1=（y-x）2=y2-2xy+x2，S2=y（y-2x）=y2-2xy，
∴S大长方形=3S1+S2，
故选：A．
2．如图，长为50cm，宽为x(cm)的大长方形被分割成7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y(cm)．要使阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，则定值y为( )
A．5B．C．D．10
【答案】B
【分析】根据图中的关系先分别表示出A长方形的长、宽及B长方形的长、宽，再根据长方形的面积公式表示出阴影A的面积及阴影B的面积，然后作差得到关于x、y的式子，根据“不会随着x的变化而变化”得50-6y=0，求解即可得出答案．
【解析】解：由题意可知
A长方形的长为（50-3y）cm，宽为（x-2y）cm，B长方形的长为3ycm，宽为x-50+3y，
∴阴影A的面积为（50-3y）（x-2y）=50x-100y-3xy+6y2，
阴影B的面积为3y（x-50+3y）=3xy-150y+9y2,
∴阴影A的面积-阴影B的面积=（50x-100y-3xy+6y2）-（3xy-150y+9y2）=（50-6y）x+50y-3y2，
∵阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，
∴50-6y=0
解之：．
故答案为：B．
3．聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出m的值，代入原式求出答案．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
解得：；
把代入原式得：
．
故选：A．
4．已知a，b为常数，对于任意x的值都满足（x﹣10）（x﹣8）＋a＝（x﹣9）（x﹣b），则a＋b的值为（ ）
A．8B．10C．﹣8D．﹣10
【答案】B
【分析】将等式两边用多项式乘以多项式法则展开，再比较二次项、一次项、常数项，列方程解得a、b的值，从而可得答案．
【解析】解：∵（x﹣10）（x﹣8）+a＝x2﹣18x+80+a，（x﹣9）（x﹣b）＝x2﹣（9+b）x+9b，
又∵（x﹣10）（x﹣8）+a＝（x﹣9）（x﹣b），
∴x2﹣18x+80+a＝x2﹣（9+b）x+9b，
，，
解得，，
∴a+b＝10，
故选：B．
5．已知（m﹣n）2＝15，（m＋n）2＝5，则m2＋n2的值为（ ）
A．10B．6C．5D．3
【答案】A
【分析】先将根据多项式乘多项式展开（m﹣n）2＝15，（m＋n）2＝5，然后观察特点进行解答即可．
【解析】解： ，
把两式相加可得，则．故选A．
6．若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据多项式乘多项式法则，可得，从而求出a，b的值，进而即可求解．
【解析】解：∵，，
∴=，
∴-5+a=b，-5a=-10，
∴a=2，b=-3，
∴=-6-2-3=-11，
故选A．
7．设（2x﹣1）3＝ax3＋bx2＋cx＋d，则下列结论：①a＝8；②a＋b＋c＋d＝1；③a＋c＝14；④b＋d＝﹣13．正确的有（ ）
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
【答案】D
【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd可解决此题．
【解析】解：∵（2x−1）3
＝（2x−1）2（2x−1）
＝（4x2＋1−4x）（2x−1）
＝8x3−4x2＋2x−1−8x2＋4x
＝8x3−12x2＋6x−1，
∴a＝8，b＝−12，c＝6，d＝−1．
∴a＋b＋c＋d＝1，a＋c＝14，b＋d＝−13．
∴①②③④均正确．
故选：D．
8．若，则的值是（ ）
A．－11B．－7C．－6D．－5
【答案】A
【分析】根据多项式乘多项式的法则先把（x+m）（x﹣5）整理成x2+（m﹣5）x﹣5m，再根据（x+m）（x﹣5）＝x2+nx﹣10得出﹣5m＝﹣10，m﹣5＝n，进而可得m＝2，n＝﹣3，最后将m＝2，n＝﹣3代入mn﹣m+n即可求得答案．
【解析】解：∵（x+m）（x﹣5）＝x2+nx﹣10，
∴x2+mx﹣5x﹣5m＝x2+nx﹣10，
∴x2+（m﹣5）x﹣5m＝x2+nx﹣10，
∴﹣5m＝﹣10，m﹣5＝n，
∴m＝2，n＝﹣3，
∴mn﹣m+n＝2×（﹣3）﹣2+（﹣3）＝﹣11，
故选：A．
9．形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，那么当时，则为（ ）
A．17B．18C．19D．20
【答案】D
【分析】先根据题意得出（m-1）（m+1）-（m+2）（m-3）=25，再根据多项式乘以多项式法则展开，最后求出方程的解即可．
【解析】解：根据题意，由可得
（m-1）（m+1）-（m+2）（m-3）=25，
m2-1-m2+3m-2m+6=25，
3m-2m=25+1-6，
m=20，
故选：D．
10．观察下列各式及其展开式
(a+b)2＝a2+2ab+b2
(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
请你猜想(2x﹣1)8的展开式中含x2项的系数是（ ）
A．224B．180C．112D．48
【答案】C
【分析】观察数字规律，发现各组数据的首尾均为1，中间数字分别为上一组数据相邻两个数字之和，分别写出左边式子的指数分别为6，7，8 的等式右边各项的系数，结合括号内含x项的次数为2，即可得出答案．
【解析】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为：
1，6，15，20，15，6，1；
1，7，21，35，35，21，7，1；
1，8，28，56，70，56，28，8，1；
故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112．
故选：C．
11．先化简，再求值：，其中，
【答案】，1
【分析】先利用整式乘法计算括号内的运算，然后合并同类项，得到最简整式，再把，代入计算，即可得到答案．
【解析】解：
；
当，
原式．
12．先化简，再求值：，其，．
【答案】，
【分析】根据乘法公式展开，通过合并同类项化简，代入求值即可；
【解析】原式，
，
，
把，代入上式，
原式；
13．计算：
（1）a•a5﹣2a2•a4；
（2）（﹣3a2bc3）2•（﹣ab2）﹣a5b4c6；
（3）﹣2x3y2•（5x3y﹣3xy3+2）+（﹣x2y）3．
（4）（﹣2x2+3xy）（4x2y﹣5y2x）﹣（﹣2）3x4y．
【答案】（1）﹣a6；（2）﹣10a5b4c6；（3）﹣11x6y3+6x4y5﹣4x3y2；（4）22x3y2﹣15x2y3
【分析】（1）根据同底数幂的乘法可以解答本题；
（2）根据积的乘方和同底数幂的乘法可以解答本题；
（3）根据积的乘方和单项式与单项式的乘法可以解答本题；
（4）根据多项式乘多项式可以解答本题．
【解析】解：（1）a•a5﹣2a2•a4
＝a6﹣2a6
＝﹣a6；
（2）（﹣3a2bc3）2•（﹣ab2）﹣a5b4c6
＝9a4b2c6•（﹣ab2）﹣a5b4c6
＝﹣9a5b4c6﹣a5b4c6
＝﹣10a5b4c6；
（3）﹣2x3y2•（5x3y﹣3xy3+2）+（﹣x2y）3
＝﹣10x6y3+6x4y5﹣4x3y2+（﹣x6y3）
＝﹣11x6y3+6x4y5﹣4x3y2；
（4）（﹣2x2+3xy）（4x2y﹣5y2x）﹣（﹣2）3x4y
＝﹣8x4y+10x3y2+12x3y2﹣15x2y3﹣（﹣8）x4y
＝﹣8x4y+10x3y2+12x3y2﹣15x2y3+8x4y
＝22x3y2﹣15x2y3．
14．下图为某校教学楼的俯视图，根据图中信息，解决下列问题：
（1）求出图中阴影部分面积（用含a、b的式子来表示）；
（2）若米，米，求阴影部分面积；
（3）在（2）的条件下，连接A、B两点，若长方形ABCD的面积是长方形EFGH面积的，求长方形EFGH的面积．
【答案】（1）2ab+4a²；（2）6800平方米；（3）2400平方米．
【分析】（1）观察图形很容易得出阴影部分的面积为4ab-(4a-2a)(b-2a)，化简即可；
（2）把米，米，代入求解即可；
（3）根据长方形ABCD的面积是长方形EFGH面积的，列出关系式求解即可．
【解析】解：（1）根据图形可观察出：4ab-(4a-2a)(b-2a)=2ab+4a²；
（2）当米，米时，
阴影部分面积为：2ab+4a²=2×20×130+4×20²=6800(平方米)；
（3）长方形EFGH的面积为：(4a-2a)(b-2a)×＝2400(平方米)．
题组C 培优拔尖练
1．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（ ）
A．2020B．2019C．191D．190
【答案】D
【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数；
【解析】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1），
∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+19=190，
故选：D．
2．如图，观察表1，寻找规律，表1、表2、表3分别是从表1中截取的一部分，其中m为整数且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】从图表中找出规律，并根据规律计算求解．
【解析】解：由表1可知，第x行，第y列的数为xy，（x，y均为正整数），
由表2可知，第一列数依次为12=3×4,15=3×5，则a在第3行第6列，即a=3×6=18，
由表3可知，在第m行第m列，则上一行的数b在第（m-1）行第m列，所以，
由表4可知，设18在第x行第y列，则18=xy，35在第（x+2）行第（y+1）列，则，x，y均为整数，则x=3，y=6，c在第（x+1）行，第（y+1）列，，
∴，
故选：C．
3．观察下列各式及其展开式：；；；…，请你猜想的展开式第三项的系数是（ ）
A．36B．45C．55D．66
【答案】C
【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出的展开式第三项的系数．
【解析】解：
依据规律可得到：
第三项的系数为1，
第三项的系数为，
第三项的系数为，
第三项的系数为：．
故选：C．
4．观察下列两个多项式相乘的运算过程：
根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（ ）
A．，B．，4C．3，D．3，4
【答案】A
【分析】根据题意可得规律为，再逐一判断即可.
【解析】根据题意得，a，b的值只要满足即可，
A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意；
B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意；
C.3+（-4）=-1,3×（-4）=-12，不符合题意；
D.3+4=7,3×4=12，不符合题意.
故答案选A.
5．已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（ ）个
A．4B．5C．8D．10
【答案】B
【分析】先根据整式的乘法可得，再根据“为整数”进行分析即可得．
【解析】，
，
，
根据为整数，有以下10种情况：
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当时，；
（4）当时，；
（5）当时，；
（6）当时，；
（7）当时，；
（8）当时，；
（9）当时，；
（10）当时，；
综上，符合条件的m的值为，共有5个，
故选：B．
6．如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形(正方形和正方形)．3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为( )
A．100B．96C．90D．86
【答案】C
【分析】设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积如何表示，根据，可整体求得的值，即长方形的面积．
【解析】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得：
的长为：，宽为：，故
的长为：，宽为：，故；
的长为：，宽为：，故．
∵，
整理得
故选：．
7．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______．
【答案】
【分析】根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出与面积，求面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得，，利用已知条件进行多项式的化简即可得出答案．
【解析】如图所示，对需要的交点标注字母：
，
，
，
∴，
，
∵，
∴，
化简得：，
∴，
故答案为：．
8．若，其中均为整数，则m的值为_______．
【答案】或
【分析】先根据整式的乘法运算可得，再根据“均为整数”分情况求解即可得．
【解析】，
，
，
，
均为整数，
分以下8种情况：
①当时，，
②当时，，
③当时，，
④当时，，
⑤当时，，
⑥当时，，
⑦当时，，
⑧当时，，
综上，m的值为或，
故答案为：或．
9．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”，他的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数，例如：展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的数字；展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字……．请认真观察此图，根据前面各式的规律，写出的展开式：______．
【答案】a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
【分析】利用已知各项系数变化规律进而得出答案．
【解析】解：可得：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
10．已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.
①；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
【答案】④
【分析】根据新定义进行推理论证便可判断正误．
【解析】解：①，
，
故①正确；
②，，
，、为整数），
由两式相加可得：，为整数），
，
故②正确；
③，，
，、为整数），
，，
由两式相乘可得：，
，为整数，
，
故③正确；
④，，
，，
，，
两式相除得，，
，
不一定是整数，
不一定正确，
故④错误．
答案为④．
11．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．
例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）5展开式的系数和是 ；（a+b）n展开式的系数和是 ．
（2）当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是 ；（a+b）n展开式的系数和是 ．
【答案】（1）25； 2n；（2）35；3n．
【分析】（1）经过求和计算和变形，观察发现展开式的各项系数之和为当a=1,b=1时的代数式的值，按此规律便可求解
（2）利用知识迁移，用a=2，b=1求和（a+b）5展开式的系数和（2+1）5计算即可，同样方法求（a+b）n展开式的系数和（2+1）n即可
【解析】解：（1）1=10=（1+1）0，
1，1，1+1=2=21=（1+1）1，
1，2，1，1+2+1=22=（1+1）2，
1，3，3，1，1+3+3+1=8=23=（1+1）3
1，4，6，4，1，1+4+6+4+1=16=24=（1+1）4
……
当a=1,b=1时，(a+b)n展开式的系数和（1+1）n
展开式的系数和是25，
∴（a+b）5展开式的系数和是当a=1,b=1时（1+1）5=25；
∴（a+b）5展开式的系数和是25；
当a=1,b=1时，（a+b）n=（1+1）n=2n，
（a+b）n展开式的系数和是2n，
故答案为：25； 2n；
（2）当a＝2时，b=1,（a+b）5=（2+1）5=35
当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是35；
当a＝2时，b=1, （a+b）n=（2+1）n=3n
（a+b）n展开式的系数和是3n．
故答案为：35；3n．
12．观察下列各式：
（1）根据以上的规律得：（为正整数）
（2） 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：
①
②（﹣2）50＋（﹣2）49＋（﹣2）48＋…＋（﹣2）＋1
【答案】（1）xm-1；（2）①；②
【分析】（1）归纳出一般规律可得；
（2）①原式乘（2-1），用规律即可得出结论；
②将原式变形为，再依照所得规律计算即可．
【解析】解：（1）（x-1）（xm-1+xm-2+…+x+1）═xm-1（m为正整数）；
（2）①
=
=；
②
=
=
=
13．阅读思考：我们知道：
；
；
；
．
观察以上等式，可以发现，两个两位数相乘，若它们的十位数字相同，个位数字之和为10，可以先用这两个两位数的十位数字乘以比它们十位数字大1的数，并把所得的结果乘以100；再加上这两个两位数个位数字相乘的积，所得的结果就是这两个两位数相乘的积．
解决问题：
（1）请用观察到的规律直接写出：
①；
②；
（2）十位数字为a，个位数字分别为m，n的两个两位数相乘，则这两个两位数可以分别表示为．如果，上述规律可表示为，请说明这个等式成立的合理性；
（3）个位数字为c，十位数字分别为a，b的两个两位数相乘，如果，请仿照（2）写出其规律等式，并说明这个等式成立的合理性．
【答案】（1）①，②；（2）合理性见解析；（3），合理性见解析．
【分析】（1）根据观察到的规律直接计算可得；
（2）通过多项式相乘的运算直接计算可得；
（3）直接通过计算出的结果即可得出．
【解析】解：（1）①，
②．
（2）
，
，
．
（3）仿照写出其规律等式为：，
理由如下：
，
．
14．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．

请你利用上述方法解决下列问题：
（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式；

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2；
（拓展应用）
提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．
（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： ．
【答案】（1）图（1）：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2，图（3）：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2；（2）作图见解析；拓展应用：作图见解析，几何建模步骤见解析；归纳提炼：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果
【分析】（1）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案；
（2）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案；
拓展应用：根据题意，根据图形和数字规律的性质分析，即可得到答案；
归纳提炼：根据拓展运用的结论，根据数字规律的性质分析，即可得到答案．
【解析】（1）根据题意，图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，
图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2
图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2；
（2）根据题意，几何图形如图所示：
；
拓展应用：
示意图如下：
用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果，即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；
归纳提炼：
十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
故答案为：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果．
课程标准
课标解读
能进行简单的整式乘法运算
1.理解多项式乘多项式的推导；
2.理解并掌握多项式乘多项式的法则