初中数学苏科版七年级下册11.2 不等式的解集学案

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知识精讲
知识点 不等式的解集
1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；
2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集；
3.不等式解集的表示方法：
（1）用最简的不等式表示，一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围；
（2）用数轴表示，不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，形象的表明不等式的无限个解（注意：边界点和方向）。
①确定边界点：若边界点是不等式的解，则用实心点；若边界点不是不等式的解，则用空心点；
②确定方向：对边界点而言，当或时，向右画；当或时，向左画。
【即学即练1】下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0
D．是不等式的一个解
【答案】C
【分析】解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判断．
【解析】解：A、不等式x−3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意．故选：C．
【即学即练2】下列关系式中不含这个解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】把x=-1代入各个代数式，满足关系式成立时，它就是该关系式的解．
【解析】解：当x=-1时，2x+1=-1，-2x+1=3≥3，-2x-1=1≤3，
所以x=-1满足选项A、C、D，因为-1不大于-1，所以x=-1不满足B．
故选：B．
能力拓展
考法 不等式的解集
【典例1】若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质3，两边都除以m-1后得到x＞1，可知m-1＜0，解之可得．
【解析】∵不等式（m-1）x＜m-1的解集为x＞1，
∴m-1＜0，即m＜1，
故选：B．
【典例2】若关于x的不等式mx- n＞０的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解不等式mx- n＞０，根据解集可判断m、n都是负数，且可得到m、n之间的数量关系，再解不等式可求得
【解析】解不等式：mx- n＞０
mx＞n
∵不等式的解集为：
∴m＜0
解得：x＜
∴，∴n＜0，m=5n
∴m+n＜0
解不等式：
x＜
将m=5n代入得：
∴x＜
故选；B
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列各数是不等式的解的是（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据不等式解的定义判断即可．
【解析】解：2是不等式x<3的解．故选：A．
2．x=3是下列不等式（ ）的一个解．
A．x+1<0B．x+1<4C．x+1<3D．x+1<5
【答案】D
【分析】直接将x=3代入各个不等式，不等式成立的即为所选.
【解析】解：A、3+1=4>0，故A不成立；B、3+1=4，故B不成立；C、3+1=4>3，故C不成立；D、3+1=4<5，故D成立；故选：D.
3．a与-x2的和的一半是非负数，用不等式表示为（ ）
A．<0B．C．>0D．
【答案】D
【分析】理解运算顺序：和的一半，是先和，再一半．不等关系：非负数，即大于或等于0．
【解析】解：由题意知，该不等式为，
故选：D．
4．不等式的解可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据不等式解的定义进行分析解答即可.
【解析】A选项中，因为当时，，所以是的解；B选项中，因为当时，，所以不是的解；C选项中，因为当时，，所以不是的解；D选项中，因为当时，，所以不是的解.
故选：A.
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．x=2是不等式3x>5的一个解B．x=2是不等式3x>5的唯一解
C．x=2是不等式3x>5的解集D．x=2不是不等式3x>5的解
【答案】A
【解析】A.x=2是不等式3x＞5的一个解，正确；B.不等式3x＞5的解有无数个，则B错误；C.x=2是不等式3x＞5的解，则C错误；D.x=2是不等式3x＞5的解，则D错误，故选A.
6．下列数值中不是不等式5x≥2x＋9的解的是( )
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【解析】解：移项得，5x﹣2x≥9，合并同类项得，3x≥9，系数化为1得，x≥3，所以，不是不等式的解集的是x=2．故选D．
7．当x____________时，代数式2x－3的值是正数．
【答案】＞
【分析】先由题意列出不等式，再根据不等式的基本性质即可得到结果．
【解析】由题意得2x－3＞0，解得x＞.
8．写出一个不等式，使它的正整数解为1、2、3：__________________
【答案】x＜4等，答案不唯一.
【分析】可借助数轴，把它的正整数解在数轴上找到，据此写出不等式即可.
【解析】根据题意，把不等式的正整数解在数轴上表示为如图所示，
故满足条件的不等式有x＜4等.
9．对于一个数，我们用表示小于的最大整数 ，例如：，，如果，则的取值范围为__________．
【答案】﹣3＜x≤﹣2或3＜x≤4
【分析】根据的定义和绝对值的意义分两种情况列出关于x的不等式，解不等式即可．
【解析】解：当x＜0时，
∵，
∴x＞﹣3
∴﹣3＜x≤﹣2；
当x＞0时，
∵，
∴x＞3，
∴3＜x≤4，
综上所述，x的取值范围是﹣3＜x≤﹣2或3＜x≤4。
题组B 能力提升练
1．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a＞1C．a＜0D．a＞0
【答案】A
【分析】先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出k﹣4的符号，再求出k的取值范围即可．
【解析】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：A．
2．若不等式的解集是，则必满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由不等式的解集是，不等式的方向发生了改变，从而可得：＜ 于是可得答案．
【解析】解： 不等式的解集是，
＜
＜
故选：
3．不等式的非负整数解的个数是
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】先根据x＜4不等式，写出非负整数解，注意：非负整数是指正整数和零，不要把零忘记了．
【解析】不等式x＜4的非负整数解有3，2，1，0，共4个．故选A．
4．用不等式表示图中的解集，其中正确的是（ ）
A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x＜﹣2D．x＞﹣2
【答案】D
【分析】根据不等式的解集表示方法即可求解．
【解析】解：∵表示不等式的解集的折线向右延伸，且表示﹣2的点是空心圆点
∴x＞﹣2
故选：D．
5．在﹣2、3、﹣4、0、1、、﹣中能使不等式x﹣2＞2x成立的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】直接解不等式，进而得出符合题意的个数．
【解析】解：x﹣2＞2x，
解得：x＜﹣2，
故符合题意的有：﹣4，﹣共2个．
故选：C．
6．不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先去括号，再移项，然后合并同类项，最后系数化为1，即可得出答案.
【解析】解：
6x+15>8x+6
6x-8x>6-15
-2x>-9
x<4.5
因此答案选择B.
7．如图所示，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有整数为________．
【答案】-1，0，1
【分析】由数轴可知被污染的部分是-1.3至1.6．
【解析】解：由数轴可知：设被污染的部分的数为x，
∴-1.3≤x≤1.6
∴x=-1或0或1，
故答案为-1，0，1．
8．若（a﹣1）x＜1﹣a可变形为x＞﹣1，则a的取值范围是_____．
【答案】a＜1．
【分析】运用不等式的性质求解即可．
【解析】∵（a﹣1）x＜1﹣a可变形为x＞﹣1，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1．
故答案为：a＜1．
9．若关于x的不等式3m﹣2x＜5的解集如图所示，则m的值为_____．
【答案】m=3
【分析】由图像可以知道，x＞2，只需要3m﹣2x＜5写出x的解析式即可求出m的值.
【解析】解：∵3m﹣2x＜5，
∴ ，
由图像可知x＞2，
∴，
解得m=3
10．大于________的每一个数都是不等式5x＞15的解.
【答案】3
【解析】解不等式5x＞15得x＞3，故答案为3.
题组C 培优拔尖练
1．下列各数中，能使不等式成立的是（ ）
A．6B．5C．4D．2
【答案】D
【分析】将A、B、C、D选项逐个代入中计算出结果，即可作出判断.
【解析】解：当时，=1＞0，
当x=5时，=0.5＞0，
当x=4时，=0，
当x=2时，=-1＜0，
由此可知，可以使不等式成立．
故选D．
2．下列各数中，是不等式的解的是
A．B．0C．1D．3
【答案】D
【分析】判断各个选项是否满足不等式的解即可.
【解析】满足不等式x>2的值只有3，
故选D．
3．如图，表示了某个不等式的解集，该解集中所含的自然数解有( )
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】B
【分析】由图可知，这个不等式组的解集为-2＜x≤4，然后计算解集内自然数的个数即可解答.
【解析】解：由图可知，不等式组的解集为-2＜x≤4，该解集中所含的自然数有0，1，2，3，4，共5个．故选B．
4．下列说法中，错误的是( )
A．不等式x＜5的整数解有无数多个B．不等式x＞－5的负整数解集有有限个
C．不等式－2x＜8的解集是x＜－4D．－40是不等式2x＜－8的一个解
【答案】C
【分析】对于A、B选项，可分别写出满足题意的不等式的解，从而判断A、B的正误；
对于C、D，首先分别求出不等式的解集，再与给出的解集或解进行比较，从而判断C、D的正误.【解析】A. 由x＜5，可知该不等式的整数解有4，3，2，1，-1，-2，-3，-4等，有无数个，所以A选项正确，不符合题意；B. 不等式x>−5的负整数解集有−4，−3，−2，−1.故正确,不符合题意；C. 不等式−2x<8的解集是x>−4,故错误.D. 不等式2x<−8的解集是x<−4包括−40，故正确,不符合题意；故选:C.
5．下列说法中，正确的是 ( )
A．x＝1是不等式－2x<1的解集B．x＝1是不等式－2x<1的解
C．x＝－是不等式－2x<1的解D．不等式－2x<1的解是x＝1
【答案】B
【分析】根据不等式的解的概念，将x的值代入不等式的左边进行计算以及利用不等式的性质解不等式，从而得到答案.
【解析】把x＝1代入不等式－2x<1中，不等式成立，所以x＝1是不等式－2x<1的解，但不能说x＝1是不等式－2x<1的解集，也不能说不等式－2x<1的解是x＝1，故A，D错误，B正确；把 x＝－代入不等式－2x<1中，不等式不成立，故选项C错误.故答案选B.
6．下列说法：①是不等式的一个解；②不是不等式的解；③不等式的解有无数个．其中正确的有( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】分别判断①②③是否正确即可解答.
【解析】解：①把代入不等式，成立，故是不等式的一个解，正确；②把代入不等式，不成立，故不是不等式的解，正确；
③不等式的解有无数个，正确．
故选D.
7．如图所示是某个不等式组的解集在数轴上的表示，它是下列四个不等式组①；②；③；④中的_____（只填写序号）
【答案】④
【分析】根据不等式组的表示方法，可得答案
【解析】解： ，即﹣3＜x≤2，
则不等式组的解集在数轴上表示即为所示，
故答案为④
8．满足不等式x≥2的x的最小值是a，满足不等式x≤－6的x的最大值是b，则a＋b＝______.
【答案】-4
【分析】由满足不等式x≥2的x的最小值是a，得a=2,由满足不等式x≤－6的x的最大值是b，得b=-6,从而可求出a+b的值.
【解析】根据题意得，a=2，b=-6,
∴a+b=2+(-6)=-4.
故答案为-6.
9．已知关于x的不等式3x-5k>-7的解集是x>1，则k的值为________.
【答案】2
【解析】试题分析：不等式可变形为：3x＞5k－7，
x＞，
∵关于x的不等式3x－5k>－7的解集是x>1，
∴＝1，
解得：k＝2．
故答案为2．
10．已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是____．
【答案】a≤-1.
【分析】根据x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，列出不等式，求出解集，即可解答．
【解析】解：∵x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，
∴4a-3a-1＜0，
解得：a＜1，
∵x=2不是这个不等式的解，
∴2a-3a-1≥0，
解得：a≤-1，
∴a≤-1，
故答案为a≤-1．
11．阅读下列材料解决问题：
两个多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则称这两个多位数互为“调和数”．例如： 37与82，它们各数位上的数字和分别为，，∵，∴37与82互为“调和数”；又如：123与51，它们各数位上的数字和分别为，，∵，∴123与51互为“调和数”．
（1）若两个三位数、（，且，，为整数）互为“调和数”，且这两个三位数之和是17的倍数，求这两个“调和数”；
（2）若、是两个不相等的两位数，，，、互为“调和数”，且与之和是与之差的3倍，求证：．
【答案】（1）243，216或343，235；（2）见解析
【分析】（1）先利用“调和数”得出c＝a−b＋5，再求出
利用两个三位数之和是17的倍数，得出a＋8b＋7＝17或34或51或68或85，最后利用0≤b≤a≤9，0≤c≤9且a，b，c为整数，讨论即可得出结论；
（2）先利用“调和数”，得出x＋y＝m＋n①，再用A与B之和是B与A之差的3倍，得出10m＋n＝20x＋2y②，即可得出，最后利用1≤m≤9，0≤n≤9，讨论即可得出结论．
【解析】解：（1）∵两个三位数、互为“调和数”，
∴c＝a−b＋5，
∴，为17的倍数，
∵0≤b≤a≤9，∴7≤a＋8b＋7≤88，
∴a＋8b＋7＝17或34或51或68或85
∴或或或或，
∴或或或或，
∵0≤b≤a≤9，
∴或，
∴或，
∴或，
即：这两个“调和数”为：243，216或343，235；
（2），，、互为“调和数”，
∴x＋y＝m＋n①，
∵A与B之和是B与A之差的3倍，
∴10m＋n＝20x＋2y②，
由①②知，，
∵ m，n是两位数的十位数字和个位数字，
∴1≤m≤9，1≤n≤9，
∴1≤8m−n≤72，
∵x是两位数的十位数字，
∴1≤x≤9，
∴，
∴，且8m−n是18的倍数，
∴8m−n＝18或36或54或72，
∴或或或，
∵1≤m≤9，0≤n≤9，
∴或或或，
∴，
∴ x+y＝m+n，
∴ y＝﹣x+9．
课程标准
课标解读
结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质
1.理解不等式的解与不等式的解集的概念；
2.理解不等式解集的表示方法；