专题02 二次根式（难点）-2023-2024学年八年级数学上学期期末高效复习（沪教版，上海专用）

这是一份专题02 二次根式（难点）-2023-2024学年八年级数学上学期期末高效复习（沪教版，上海专用），文件包含专题02二次根式难点原卷版docx、专题02二次根式难点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
1．已知，则的化简结果是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二次根式的定义可得，即，再根据二次根式的性质，求解即可．
【解析】解：由题意可得：，
∴
∵
∴
∴，
故选：B
【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的有关性质．
2．已知x是实数，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．或或
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件可知，即，再由可得x的值，然后代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴且，解得：，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义和代数式为0的条件，解得x的取值范围后得到x的值是解题的关键．
3．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．
【解析】
∴a的小数部分为，
∴b的小数部分为，
∴，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
4．当时，的值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】A
【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．
【解析】解：原式=
将代入得，
原式
.
故选：A.
【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．
5．在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则
；
．
下列选项中正确的有（ ）个．
①若a是的小数部分，则的值为；
②若（其中b、c为有理数），则；
③．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】由，可得，则，再根据分母有理化即可判断①；由可得，以此得到方程组，求解即可判断②；证明，再对原式裂项即可判断③．
【解析】解：由题意得：，
∵，是的小数部分，
∴，则，故①正确；
∵，
∴，
即
∴，即，
∵b、c为有理数
∴，解得，
∴，故②正确；
∵
，
∴
，故③正确，
故正确的有①②③，共3个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式的应用、等式的性质，灵活利用题干所给方法进行解决问题是解题关键．
6．已知，则的值为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【分析】由的值进行化简到=，再求得，把式子两边平方，整理得到，再把两边平方，再整理得到，原式可变形为，利用整体代入即可求得答案．
【解析】解∵
=
=
∴
∴
整理得
∴
∵
∴
整理得
∴
∴
∴
=
=
=
=
=
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的化简，乘法公式，提公因式法因式分解等知识，关键在于熟练掌握相关运算法则和整体代入的方法．
7．若a、b、c为有理数，且等式成立，则2a＋999b＋1001c的值是（ ）
A．1999B．2000C．2001D．不能确定
【答案】B
【解析】因 =，所以a=0，b=1，c=1，即可得2a＋999b＋1001c=999+1001=2000，故选B.
点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．
8．已知，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴
．
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．
9．设S=，则不大于S的最大整数[S]等于( )
A．98B．99C．100D．101
【答案】B
【分析】由，代入数值，求出S=+++ …+=99+1-，由此能求出不大于S的最大整数为99．
【解析】∵
=
=，
∴S=+++ …+
=
=
=100-，
∴不大于S的最大整数为99．
故选B.
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道是解答本题的基础．
10．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（ ）
①只存在一组和使得；
②只存在两组和使得；
③不存在和使得；
④若只存在三组和使得，则的值为49或64
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案．
【解析】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式，
，
，
当时，
故该选项①正确；
②，
当，则
当则．
故选项②正确；
③，
当时，
，所以不存在，
故该选项③正确；
④，
，
当时，，
，
，
有无数和满足等式，故该选项④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键．
二、填空题
11．已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ．
【答案】5
【分析】先进行分母有理化，因为，由此得到，即可求解．
【解析】解：
故答案为：5 ．
【点睛】此题考查估算无理数的大小，解题关键在于得到的整数部分．
12．古希腊著名数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载着一个重要公式：指三角形的面积，是三角形各边长，为周长的一半．海伦对这个公式做出了证明，所以后人称这个公式为海伦公式．已知的边长分别为2，3，4，根据海伦公式求得的面积为 ．
【答案】
【分析】根据题目中的海伦公式，将的边长代入计算即可．
【解析】解：若一个三角形的三边长分别为2，3，4，
，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．
13．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数．
【答案】
【分析】根据完全平方公式展开，化简二次根式即可得出答案．
【解析】解：，
，
，
所以，是型无理数，
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握是解题的关键．
14．观察下列等式：
第1个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
按上述规律，计算 ．
【答案】/
【分析】首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．
【解析】解：第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
第个等式：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
15．已知a，b都是实数，m为整数，若，则称a与b是关于m的一组“平衡数”．
（1）与 是关于1的“平衡数”；
（2）与 是关于3的“平衡数”；
（3）若，，判断与 （是或否）为关于某数的一组“平衡数”．
【答案】 / / 是
【分析】（1）设与x是关于1的“平衡数”，根据平衡数的定义可列出关于x的方程，解出x的值即可；
（2）设与y是关于3的“平衡数”， 根据平衡数的定义可列出关于y的方程，解出y的值即可；
（3）求出，，即可求出，即说明与是关于19的一组“平衡数”．
【解析】解：（1）设与x是关于1的“平衡数”，
根据平衡数的定义可得：，
解得：，
∴与是关于1的“平衡数”．
故答案为：；
（2）设与y是关于3的“平衡数”，
根据平衡数的定义可得：，
解得：，
∴与是关于3的“平衡数”．
故答案为：；
（3）∵，，
∴，，
∴，
∴与关于19的一组“平衡数”．
故答案为：是．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，对“平衡数”的定义的理解．读懂题意，理解“平衡数”的定义是解题关键．
16．小明在解方程时采用了下面的方法：由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解．请你学习小明的方法，解方程，则 ．
【答案】
【分析】参照题中给出的解题方法，按步骤进行解题即可．
【解析】解：∵
，
而，
∴，
两式相减得，即，
两边平方得到，
∴，经检验是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
17．若是正整数，除以的余数为，则称是“阿二数”．例如：是正整数，，则是“阿二数”；是正整数，且，则不是“阿二数”，对于任意四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．有一个四位正整数是“阿二数”，的千位数字比百位数字少，十位数字与个位数字的和为，且为有理数，则满足条件的的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意得出，得出,符合题意，代入验证即可求解．
【解析】解：依题意，，，，
则
∵正整数是“阿二数”
∴能被整除
∴能被13整除，
设
∵是正整数，则是9的倍数，
∴,符合题意，
∵是有理数
∴是平方数，
当，时，符合题意，
∴
则
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，二元一次方程组的应用，根据题意分析，掌握整除的应用解题的关键．
18．如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则 ．
【答案】33或127/127或33
【分析】根据“神奇区间”的定义，还有二元一次方程正整数解这两个条件，寻找符合的情况．
【解析】解：“神奇区间”为，
、为连续正整数，
，， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，
符合条件的，有，，；，，．
，，时，，，
，
，
，，时，，，
，
，
故的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查新定义，估算无理数大小，二元一次方程整数解相关知识，综合考查学生分析、计算能力．
三、解答题
19．计算．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（2）根据二次根式乘除法法则计算即可．
【解析】（1）解：
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除法法则是解题的关键．注意法则的准确运用以及符号的判定．
20．已知：，，求：的值．
【答案】
【分析】把原式根据二次根式的性质计算化简，代入计算即可．
【解析】解：∵，，
∴，
∴
，
当时，原式．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
21．计算（＋）÷（＋－）（a≠b）．
【答案】－
【解析】解：原式＝÷
＝÷
＝·
＝－．
22．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值.
【答案】.
【分析】已知等式右边成立，x﹣a≥0，a﹣y≥0，即y﹣a≤0；由等式左边成立可知，a=0，已知等式可变为0，移项、开平方得x=﹣y，利用代入法求式子的值．
【解析】∵在实数范围内成立，
∴x﹣a≥0，a﹣y≥0，即y﹣a≤0，
又a（y﹣a）≥0．a（x﹣a）≥0，
∴a=0，原等式可变为0，
解得：x=﹣y，∴．
【点睛】本题考查了二次根式的意义的运用，关键是通过分析左右两边四个二次根式有意义，得出a的值．
23．阅读下面计算过程：
；
；
．
试求：
(1)的值；
(2)（为正整数）的值；
(3)的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）先找出有理化因式，最后求出即可；
（2）先找出有理化因式，最后求出即可；
（3）先分母有理化，再合并即可．
【解析】（1），
（2）原式，
（3）原式，
，
，
．
【点睛】此题考查了分母有理化，能正确分母有理化是解题的关键．
24．阅读理解：
阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；（一）
；（二）
；（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．（四）
请解答下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)猜想：的值．（直接写出结果）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先把分子的2改写成，然后仿照题意进行求解即可；
（2）仿照（1）把三项式子分别分母有理化即可得到答案；
（3）先仿照（1）求出，据此逐项分母有理化进行化简即可．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
∴
．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，正确理解题意掌握分母有理化的方法是解题的关键．
25．（1）式子与的值与有否关系? 请说明理由；当取不同的值时，代数式的值会发生什么变化?
（2）设，易知，如果还有，问之间应满足什么关系? 指出结论，再说明理由
【答案】（1）与无关系，与有关系；当时，，当时，，当时，；（2）
【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简，最后去绝对值计算即可；
（2）由可得，再变形处理即可．
【解析】（1）与有关系，与无关系．理由如下：
，与无关系；
，与有关系；
，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，
当时，，
当时，，
（2），理由如下：
∵，，
∴，
∴，
两边平方，再整理得：，
继续平方，得：，
∴
∵，
∴．
【点睛】本题考查了考查了二次根式的化简求值：．也考查了绝对值的含义以及代数式的变形能力．