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山东省济南市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（学生版）
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这是一份山东省济南市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（学生版），共7页。
数学试题
本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟，
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 等差数列中，已知，，则( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
2. 已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为( )
A. B. C. 或D.
3. 直线与直线的位置关系是( )
A. 垂直B. 相交且不垂直C. 平行D. 平行或重合
4. 一种卫星接收天线(如图1)，其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分(如图2)，已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则该抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
5. 在等比数列中， ，其前三项的和，则数列的公比 ( )
A B.
C. 或1D. 或1
6. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，P为的中点，则( )
A. B. 1C. D.
7. 若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作圆D的切线与C的两支分别交于M，N两点，且，则C的离心率为( )
A B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知直线与圆，则下列说法正确的是( )
A. 直线l恒过定点B. 圆M的圆心坐标为
C. 存在实数k，使得直线l与圆M相切D. 若，直线l被圆M截得的弦长为2
10. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线交C于点，(其中)，与C的准线交于点D．下列结论正确的是( )
A. B.
C. F为线段AD中点D. 的面积为
11. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数(互素是指两个整数的公约数只有1)，例如，．下列说法正确的是( )
A. B. 数列为递增数列
C. 数列为等比数列D. 数列的前n项和为，则
12. 《瀑布》(图1)是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”(图2).在棱长为2的正方体中建立如图3所示的空间直角坐标系(原点O为该正方体的中心，x，y，z轴均垂直该正方体的面)，将该正方体分别绕着x轴，y轴，z轴旋转，得到的三个正方体，，2，3(图4，5，6)结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”(图7).在图7所示的“三立方体合体”中，下列结论正确的是( )
A. 设点的坐标为，，2，3，则
B. 设，则
C. 点到平面的距离为
D. 若G为线段上的动点，则直线与直线所成角最小为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，，其中，若，则的值为_________．
14. 各项均为正数的等差数列的前n项和是，若，则的值为_________．
15. 已知点，，若圆上存在点Р满足，则实数a取值范围是_______．
16. 设是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足，记的外接圆和内切圆半径分别是R，r，则的值为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知圆C经过点和且圆心在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)若点P为圆C上的任意一点，求点P到直线距离的最大值和最小值．
18. 已知双曲线经过，两点．
(1)求C的标准方程；
(2)若直线与C交于M，N两点，且C上存在点P﹐满足，求实数t的值．
19. 如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，，，M，N分别为PB，CD中点．
(1)求证：面；
(2)求直线PB与平面所成角的正弦值．
20. 已知数列的前n项和，且，数列满足，其中．
(1)求和通项公式；
(2)设，求数列的前20项和．
21. 已知椭圆的长轴长是4，离心率为．
(1)求的方程；
(2)若点P是圆上的一动点，过点P作的两条切线分别交圆O于点A，B．
①求证：；
②求面积的取值范围．
22. 对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中．
(1)已知数列的通项公式为，数列的前n项和为．
①求；
②记数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，求实数的值．
(2)北宋数学家沈括对于上底有ab个，下底有cd个，共有n层的堆积物(堆积方式如图)，提出可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”．试证明上述求和公式．
数学试题
本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟，
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 等差数列中，已知，，则( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
2. 已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为( )
A. B. C. 或D.
3. 直线与直线的位置关系是( )
A. 垂直B. 相交且不垂直C. 平行D. 平行或重合
4. 一种卫星接收天线(如图1)，其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分(如图2)，已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则该抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
5. 在等比数列中， ，其前三项的和，则数列的公比 ( )
A B.
C. 或1D. 或1
6. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，P为的中点，则( )
A. B. 1C. D.
7. 若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作圆D的切线与C的两支分别交于M，N两点，且，则C的离心率为( )
A B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知直线与圆，则下列说法正确的是( )
A. 直线l恒过定点B. 圆M的圆心坐标为
C. 存在实数k，使得直线l与圆M相切D. 若，直线l被圆M截得的弦长为2
10. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线交C于点，(其中)，与C的准线交于点D．下列结论正确的是( )
A. B.
C. F为线段AD中点D. 的面积为
11. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数(互素是指两个整数的公约数只有1)，例如，．下列说法正确的是( )
A. B. 数列为递增数列
C. 数列为等比数列D. 数列的前n项和为，则
12. 《瀑布》(图1)是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”(图2).在棱长为2的正方体中建立如图3所示的空间直角坐标系(原点O为该正方体的中心，x，y，z轴均垂直该正方体的面)，将该正方体分别绕着x轴，y轴，z轴旋转，得到的三个正方体，，2，3(图4，5，6)结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”(图7).在图7所示的“三立方体合体”中，下列结论正确的是( )
A. 设点的坐标为，，2，3，则
B. 设，则
C. 点到平面的距离为
D. 若G为线段上的动点，则直线与直线所成角最小为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，，其中，若，则的值为_________．
14. 各项均为正数的等差数列的前n项和是，若，则的值为_________．
15. 已知点，，若圆上存在点Р满足，则实数a取值范围是_______．
16. 设是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足，记的外接圆和内切圆半径分别是R，r，则的值为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知圆C经过点和且圆心在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)若点P为圆C上的任意一点，求点P到直线距离的最大值和最小值．
18. 已知双曲线经过，两点．
(1)求C的标准方程；
(2)若直线与C交于M，N两点，且C上存在点P﹐满足，求实数t的值．
19. 如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，，，M，N分别为PB，CD中点．
(1)求证：面；
(2)求直线PB与平面所成角的正弦值．
20. 已知数列的前n项和，且，数列满足，其中．
(1)求和通项公式；
(2)设，求数列的前20项和．
21. 已知椭圆的长轴长是4，离心率为．
(1)求的方程；
(2)若点P是圆上的一动点，过点P作的两条切线分别交圆O于点A，B．
①求证：；
②求面积的取值范围．
22. 对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中．
(1)已知数列的通项公式为，数列的前n项和为．
①求；
②记数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，求实数的值．
(2)北宋数学家沈括对于上底有ab个，下底有cd个，共有n层的堆积物(堆积方式如图)，提出可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”．试证明上述求和公式．
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