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苏科版八年级数学上册同步精品讲义 第14讲 勾股定理的简单应用（学生版+教师版）
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知识点01 勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.
【微点拨】勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
【即学即练1】如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
【答案】C
【分析】设米，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设米，
米，米，
（米，米，
在中，米，米，米，
根据勾股定理得：，
解得：，
则秋千的长度是5米．
故选：C．
知识点02 勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理
如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。
②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
【微点拨】勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.
【即学即练2】《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+52＝（x+1）2B．x2+102＝（x+1）2
C．x2﹣52＝（x﹣1）2D．x2﹣102＝（x﹣1）2
【答案】C
【分析】首先设芦苇长x尺，则水深为（x−1）尺，根据勾股定理可得方程（x−1）2＋52＝x2．
【详解】解：设芦苇长x尺，由题意得：
（x−1）2＋52＝x2，
即x2﹣52＝（x﹣1）2
故选：C．
知识点03 勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决。
【微点拨】勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；，8,15,17等
③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）； （为正整数）；
【即学即练3】如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2＋62＝102B．（10－x）2＋62＝x2
C．x2＋（10－x）2＝62D．x2＋62＝（10－x）2
【答案】D
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+62=（10-x）2．
故选D
考法01 勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题
【典例1】1．如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点处，底端在水平地面的点处．保持梯子底端的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点处．测得顶端距离地面的高度为2米，为1.5米．
(1)求梯子的长；
(2)若顶端距离地面的高度比多0.4米，求的长．
【答案】(1)2.5米；(2)2.2米
【分析】（1）根据勾股定理可求出梯子的长；
（2）根据勾股定理可得出BD的长，进而可求解．
【详解】(1)解：由题意可得：AD2=32+12=10，
在Rt△AOB中，
∵∠AOB=90°，AO=2米，OB=1．5米，BO2+AO2=AB2，
∴AB2=22+1．52=6.25，
∴AB=±2.5，
∵AB＞0，
∴AB=2.5米，
即梯子的长为2.5米；
(2)由题意得CD=AO+0.4=2.4米，BC=AB=2.5米，
∴BD2=2.52-2.42=4.9，
∴BD=0.7米，
∴OD=OB+BD=1.5+0.7=2.2米．
题组A 基础过关练
1．如图，一木杆在离地面4m的A处折断，木杆顶端落在离木杆底端3m的B处．则A木杆折断之前的长度为（ ）．
A．6mB．7mC．8mD．9m
【答案】D
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面4m处折断，树的顶端落在离树杆底部3m处，
∴折断的部分长为： ，
∴折断前高度为5+4=9（米）．
故选：D．
2．如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，.如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（ ）尺
A．7.5B．8C．D．9
【答案】A
【分析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度为x尺，根据勾股定理解答即可．
【详解】解：设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x-1）尺，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：x=7.5，
即芦苇的长度为：7.5尺，
故选：A．
3．如图，一棵大树在一次强台风中在距地面8m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为15m，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．12mB．17mC．23mD．25m
【答案】D
【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【详解】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC＝8m，AB＝15m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
，
∴AC＝（m），
∴这棵树原来的高度＝BC+AC＝8+17＝25（m）．
即这棵大树在折断前的高度为25m．
故选：D．
4．如图，小明和小华同时从A处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（ ）
A．70mB．80mC．90mD．100m
【答案】D
【分析】根据题意可得∠APB=180°-30°-60°=90°，，，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°，
，，
∴，
即20s后他们之间的距离为．
故选：D
5．如图，一个长为10米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的长为8米，如果梯子的顶端A沿墙下滑2米到点C处，那么梯子底端B将外移到D，则线段BD的长为_________________米．
【答案】2
【分析】梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后所构成的两直角三角形即可．
【详解】解：在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴BD=OD-OB=8-6=2（米），
故答案为：2．
6．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长至少要_______米
【答案】17
【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，根据题中已知条件，利用勾股定理求出水平距离即可．
【详解】解：根据勾股定理得楼梯水平长度为＝米，则红地毯至少要米，
故答案为：．
7．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=100m，AC=60m，求A，B两点间的距离
【答案】80m
【分析】由勾股定理即可完成．
【详解】解：在Rt△ABC中，，BC=100m，AC=60m，由勾股定理得：
，
即A、B两点间的距离为80m．
题组B 能力提升练
1．如图，韩彬同学从家（记作点A）出发向北偏东30°的方向行走了4000米到达超市（记作点B），然后再从超市出发向南偏东60°的方向行走3000米到达卢飞同学家（记作点C），则韩彬家到卢飞家的距离为（ ）
A．5000米B．6000米C．7000米D．8000米
【答案】A
【分析】根据题意可得∠ABC=90°，AB=4000米，BC=3000米，然后利用勾股定理求得AC．
【详解】解：如图，连接AC，
依题意得：∠ABC=30°+60°=90°，AB=4000米，BC=3000米，
则由勾股定理，得米，
即韩彬家到卢飞家的距离为5000米．
故选：A．
2．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．5≤h≤12B．12≤h≤19C．11≤h≤12D．12≤h≤13
【答案】C
【分析】先找到筷子在杯内最短和最长时筷子所处的位置，再利用勾股定理求解，进而得到h的范围．
【详解】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24-12=12cm．
当筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时h最小，
此时杯内筷子长度cm，
h最小=24-13=11cm．
故h的取值范围是11≤h≤12．
故选C．
3．如图，有一长、宽、高分别是5cm，4cm，4cm的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的中点B处，则需要爬行的最短路径长为（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
【答案】A
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，
AB=cm，
∴需要爬行的最短路径长为cm，
故选：A．
4．如图，一轮船以12海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，一小时后另一轮船以7海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，又过了一个小时后，两船的距离为（ ）
A．海里B．24海里C．25海里D．海里
【答案】C
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了24，7．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠MAN=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了AM=12×2=24，AN=7×1=7海里，
根据勾股定理得： （海里）．
故选：C．
5．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”翻译成数学问题是：如图所示，中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为________（方程不用化简）．
【答案】
【分析】设AC=x，则AB=10-x，再由即可列出方程．
【详解】解：∵，且，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理有：，
即：，
故可列出的方程为：，
故答案为：．
6．一个无盖的圆柱形杯子的展开图如图所示，现将一根长18cm的吸管放在杯子中，则吸管露在杯子外面的部分至少有 __cm．
【答案】3
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：=15，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：18﹣15＝3（cm）．
故答案为：3．
7．如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为3cm，4cm，5cm，盒子高为9cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是_______cm．
【答案】15
【分析】将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可．
【详解】解：如图，右侧为三棱柱的侧面展开图，AA′＝3+4+5＝12cm，A′B＝9cm，∠AA′B＝90°，
∴AB＝ ＝15cm，
故答案为：15．
8．学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为1米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为______米．
【答案】7.5；
【分析】旗杆、拉直的绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
【详解】
解：如图，设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42=（x+1）2，
解得：x=7.5，
∴旗杆的高度为7.5m，
故答案为7.5．
19．如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 25米，结果他在水中实际划了65米，求该河流的宽度．
【答案】该河流的宽度为60米
【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．
【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：
AB60（米）．
∴该河流的宽度为60米．
10．如图是长、宽、高的长方体容器．
(1)求底面矩形的对角线的长；
(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
【答案】(1)5cm；(2)13cm
【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果．
（2）根据题意连接BD、ED，两次运用勾股定理即可得出结果．
【详解】(1)解：∵、，∠ABC=90°，
∴对角线的长=cm；
(2)解：如图所示：
连接BD、ED，
在Rt△BCD中，
∵、，∠ABC=90°，
∴BD=cm；
在Rt△EBD中，ED＝cm．
故这个盒子最长能放13cm的棍子．
题组C 培优拔尖练
1．如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，筷子长度为（ ）
A．10B．12C．13D．14
【答案】C
【分析】设杯子的高度是x cm，那么筷子的高度是（x+1）cm，因为直径为10cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解．
【详解】设杯子的高度是x cm，那么筷子的高度是（x+1）cm，
∵杯子的直径为10cm，
∴杯子半径为5cm，
∴x2+52=（x+1）2，
解得x=12，
12+1=13（cm）．
即筷子长13cm．
故选：C．
2．如图，斜靠在墙上的一根竹竿，AB＝10m，BC＝6m，若A端沿垂直于地面的方向AC下移2m，则B端将沿CB方向移动的距离是（ ）米．
A．1.6B．1.8C．2D．2.2
【答案】C
【分析】直接利用勾股定理得出AC的长，再利用勾股定理得出CB'，进而得出B端将沿CB方向移动．
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB= 90°
∵AB=10，BC=6，
∴AC=，
当AC下移2m后，A'C=8-2=6，
在Rt∆A'B'C中，∠A'CB' = 90°
B'C=，
B'C- BC=8-6= 2
∴移动了2m
故选：C.
3．将一根长25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．0≤h≤13B．12≤h≤13C．11≤h≤12D．13≤h≤25
【答案】B
【分析】根据杯子内筷子长度的取值范围得出杯子外面筷子长度的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：∵将一根长为25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于以杯子高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度，
∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时长度为12cm，
最长时等于以杯子高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度是：，
∴h的取值范围是：25−13⩽h⩽25−12，
即12⩽h⩽13，
故选：B．
4．如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如图，
因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，
所以AC2=DC2+AD2=20，
所以AC=，
故选：D．
5．A、B、C、D四个小城镇，它们之间（除B、C外）都有笔直的公路相连接（如图），公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：A﹣B：10元，A﹣C：12.5元，A﹣D：8元，B﹣D：6元，C﹣D：4.5元，为了B、C之间交通方便，在B、C之间建成笔直的公路，请按上述标准计算出B、C之间公共汽车的票价为_____元．
【答案】7.5
【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABD为直角三角形，则△BDC也为直角三角形，再根据勾股定理计算BC的长，从而算出B、C之间的票价．
【详解】根据题意，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比，
设其比例系数为（k≠0），即票价＝×路程，则路程＝k票价；
在△ABD中，AB＝10k，AD＝8k，BD＝6k，
∵AD2 + BD2 = (8k)2+(6k)2=100k2=AB2
∴△ABD为直角三角形
∴∠ ADB＝90°，
则∠ BDC＝90°；
则在Rt△BDC中，BD＝6k，CD＝4.5k；
由勾股定理可得BC2=BD2+DC2==56.25k2
∴BC＝7.5k，
则B、C之间公共汽车的票价为7.5元．
故答案为7.5
6．如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高_____．
【答案】(4+6)m
【分析】过C作CD⊥AB于D，由题意知BC=10，CD=6，根据勾股定理可得BD=8，从而得到AD的长，再利用勾股定理可得AC的长，即可得到树原来的高度．
【详解】解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D，
由题意知BC=10m，CD=6m，
根据勾股定理得：BD=8m，
∵AB=4m，
∴AD=8+4=12m，
AC===6m，
∴这棵数原来的高度=（4+6）m，
故答案为：（4+6）m．
7．《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为______．
【答案】
【分析】设甲、乙二人出发后相遇的时间为x ，然后利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设经 x秒二人在C处相遇，这时乙共行 AC =3x，甲共行AB +BC =7x，
∵AB =10，
∴ BC =7x -10，
又 ∵∠A =90°，
∴BC2= AC2 + AB2，
∴(7x -10)2=(3x)2+102，
故答案是：(7x -10)2= (3x)2+102．
8．如图，，点C在OA边上，OA=36cm，OB=12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？
【答案】20cm
【分析】由题意知：BC=AC，设BC=x cm，则OC=（36-x） cm．在 Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
9．某天，暴雨突然来袭，两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A、B两地发出求救信号．于是，第一艘搜救艇以20海里/时的速度离开港口O沿北偏东40°的方向向A地出发，同时，第二艘搜救艇也从港口O出发，以15海里/时的速度向B地出发，2小时后，他们同时到达各自的目标位置．此时，他们相距50海里．
(1)求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？（求的大小）
(2)由于B地需要被援救的人数较多，故需要搭载人数较少的第一艘搜救艇改道去到B地支援，在从A地前往到B地的过程中，与港口O最近的距离是多少？
【答案】(1)50度；(2)24海里
【分析】（1）根据题意求出OA、OB，根据勾股定理的逆定理推证出即得；
（2）根据垂线段定理即得.
【详解】(1)由题得：海里/时×2小时海里；海里/时×2小时海里，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∵由题知，
∴，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度.
(2)过点O作，此时OE的长度即为最近距离，
由（1）知，，，
∴在中，有，
即，
∴，
答：与港口O最近的距离是24海里.
10．如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C．
(1)若米，米．
①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？
②竹竿的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）．
(2)若，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小．
【答案】(1)①米；②竹竿的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由见解析
(2)不可能相等，顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离．
【分析】（1）先根据勾股定理可得AC=6米，①根据题意得：，可得到米，由勾股定理可得的长，即可求解；②设从A处沿墙下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据勾股定理，列出方程，即可求解；
（2）设AC=BC=a，从A处沿墙下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则，根据勾股定理，列出方程，可得，即可求解．
【详解】(1)解：∠C=90°，米，
∴米，
①根据题意得：，
∴米，
∴米，
∴米，
即点B将向外移动米；
②竹竿的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由如下：
设从A处沿墙下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据题意得：
，
解得：（舍去），
∴从A处沿墙下滑的距离为3.5米时，点B也向外移动的距离为3.5米，
即竹竿的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等；
(2)解：不可能相等，理由如下：
设AC=BC=a，从A处沿墙下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则，根据题意得：
，
整理得：，
即，
∵a、m、n都为正数，
∴，即．
∴顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离．
课程标准
课标解读
1. 理解勾股数的含义；
2. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.
1.会用勾股定理进行简单的运算
2.通过探究，会用勾股定理解释生活中的实际问题
知识点01 勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.
【微点拨】勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
【即学即练1】如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
【答案】C
【分析】设米，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设米，
米，米，
（米，米，
在中，米，米，米，
根据勾股定理得：，
解得：，
则秋千的长度是5米．
故选：C．
知识点02 勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理
如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。
②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
【微点拨】勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.
【即学即练2】《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+52＝（x+1）2B．x2+102＝（x+1）2
C．x2﹣52＝（x﹣1）2D．x2﹣102＝（x﹣1）2
【答案】C
【分析】首先设芦苇长x尺，则水深为（x−1）尺，根据勾股定理可得方程（x−1）2＋52＝x2．
【详解】解：设芦苇长x尺，由题意得：
（x−1）2＋52＝x2，
即x2﹣52＝（x﹣1）2
故选：C．
知识点03 勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决。
【微点拨】勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；，8,15,17等
③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）； （为正整数）；
【即学即练3】如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2＋62＝102B．（10－x）2＋62＝x2
C．x2＋（10－x）2＝62D．x2＋62＝（10－x）2
【答案】D
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+62=（10-x）2．
故选D
考法01 勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题
【典例1】1．如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点处，底端在水平地面的点处．保持梯子底端的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点处．测得顶端距离地面的高度为2米，为1.5米．
(1)求梯子的长；
(2)若顶端距离地面的高度比多0.4米，求的长．
【答案】(1)2.5米；(2)2.2米
【分析】（1）根据勾股定理可求出梯子的长；
（2）根据勾股定理可得出BD的长，进而可求解．
【详解】(1)解：由题意可得：AD2=32+12=10，
在Rt△AOB中，
∵∠AOB=90°，AO=2米，OB=1．5米，BO2+AO2=AB2，
∴AB2=22+1．52=6.25，
∴AB=±2.5，
∵AB＞0，
∴AB=2.5米，
即梯子的长为2.5米；
(2)由题意得CD=AO+0.4=2.4米，BC=AB=2.5米，
∴BD2=2.52-2.42=4.9，
∴BD=0.7米，
∴OD=OB+BD=1.5+0.7=2.2米．
题组A 基础过关练
1．如图，一木杆在离地面4m的A处折断，木杆顶端落在离木杆底端3m的B处．则A木杆折断之前的长度为（ ）．
A．6mB．7mC．8mD．9m
【答案】D
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面4m处折断，树的顶端落在离树杆底部3m处，
∴折断的部分长为： ，
∴折断前高度为5+4=9（米）．
故选：D．
2．如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，.如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（ ）尺
A．7.5B．8C．D．9
【答案】A
【分析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度为x尺，根据勾股定理解答即可．
【详解】解：设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x-1）尺，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：x=7.5，
即芦苇的长度为：7.5尺，
故选：A．
3．如图，一棵大树在一次强台风中在距地面8m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为15m，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．12mB．17mC．23mD．25m
【答案】D
【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【详解】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC＝8m，AB＝15m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
，
∴AC＝（m），
∴这棵树原来的高度＝BC+AC＝8+17＝25（m）．
即这棵大树在折断前的高度为25m．
故选：D．
4．如图，小明和小华同时从A处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（ ）
A．70mB．80mC．90mD．100m
【答案】D
【分析】根据题意可得∠APB=180°-30°-60°=90°，，，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°，
，，
∴，
即20s后他们之间的距离为．
故选：D
5．如图，一个长为10米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的长为8米，如果梯子的顶端A沿墙下滑2米到点C处，那么梯子底端B将外移到D，则线段BD的长为_________________米．
【答案】2
【分析】梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后所构成的两直角三角形即可．
【详解】解：在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴BD=OD-OB=8-6=2（米），
故答案为：2．
6．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长至少要_______米
【答案】17
【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，根据题中已知条件，利用勾股定理求出水平距离即可．
【详解】解：根据勾股定理得楼梯水平长度为＝米，则红地毯至少要米，
故答案为：．
7．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=100m，AC=60m，求A，B两点间的距离
【答案】80m
【分析】由勾股定理即可完成．
【详解】解：在Rt△ABC中，，BC=100m，AC=60m，由勾股定理得：
，
即A、B两点间的距离为80m．
题组B 能力提升练
1．如图，韩彬同学从家（记作点A）出发向北偏东30°的方向行走了4000米到达超市（记作点B），然后再从超市出发向南偏东60°的方向行走3000米到达卢飞同学家（记作点C），则韩彬家到卢飞家的距离为（ ）
A．5000米B．6000米C．7000米D．8000米
【答案】A
【分析】根据题意可得∠ABC=90°，AB=4000米，BC=3000米，然后利用勾股定理求得AC．
【详解】解：如图，连接AC，
依题意得：∠ABC=30°+60°=90°，AB=4000米，BC=3000米，
则由勾股定理，得米，
即韩彬家到卢飞家的距离为5000米．
故选：A．
2．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．5≤h≤12B．12≤h≤19C．11≤h≤12D．12≤h≤13
【答案】C
【分析】先找到筷子在杯内最短和最长时筷子所处的位置，再利用勾股定理求解，进而得到h的范围．
【详解】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24-12=12cm．
当筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时h最小，
此时杯内筷子长度cm，
h最小=24-13=11cm．
故h的取值范围是11≤h≤12．
故选C．
3．如图，有一长、宽、高分别是5cm，4cm，4cm的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的中点B处，则需要爬行的最短路径长为（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
【答案】A
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，
AB=cm，
∴需要爬行的最短路径长为cm，
故选：A．
4．如图，一轮船以12海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，一小时后另一轮船以7海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，又过了一个小时后，两船的距离为（ ）
A．海里B．24海里C．25海里D．海里
【答案】C
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了24，7．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠MAN=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了AM=12×2=24，AN=7×1=7海里，
根据勾股定理得： （海里）．
故选：C．
5．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”翻译成数学问题是：如图所示，中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为________（方程不用化简）．
【答案】
【分析】设AC=x，则AB=10-x，再由即可列出方程．
【详解】解：∵，且，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理有：，
即：，
故可列出的方程为：，
故答案为：．
6．一个无盖的圆柱形杯子的展开图如图所示，现将一根长18cm的吸管放在杯子中，则吸管露在杯子外面的部分至少有 __cm．
【答案】3
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：=15，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：18﹣15＝3（cm）．
故答案为：3．
7．如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为3cm，4cm，5cm，盒子高为9cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是_______cm．
【答案】15
【分析】将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可．
【详解】解：如图，右侧为三棱柱的侧面展开图，AA′＝3+4+5＝12cm，A′B＝9cm，∠AA′B＝90°，
∴AB＝ ＝15cm，
故答案为：15．
8．学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为1米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为______米．
【答案】7.5；
【分析】旗杆、拉直的绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
【详解】
解：如图，设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42=（x+1）2，
解得：x=7.5，
∴旗杆的高度为7.5m，
故答案为7.5．
19．如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 25米，结果他在水中实际划了65米，求该河流的宽度．
【答案】该河流的宽度为60米
【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．
【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：
AB60（米）．
∴该河流的宽度为60米．
10．如图是长、宽、高的长方体容器．
(1)求底面矩形的对角线的长；
(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
【答案】(1)5cm；(2)13cm
【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果．
（2）根据题意连接BD、ED，两次运用勾股定理即可得出结果．
【详解】(1)解：∵、，∠ABC=90°，
∴对角线的长=cm；
(2)解：如图所示：
连接BD、ED，
在Rt△BCD中，
∵、，∠ABC=90°，
∴BD=cm；
在Rt△EBD中，ED＝cm．
故这个盒子最长能放13cm的棍子．
题组C 培优拔尖练
1．如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，筷子长度为（ ）
A．10B．12C．13D．14
【答案】C
【分析】设杯子的高度是x cm，那么筷子的高度是（x+1）cm，因为直径为10cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解．
【详解】设杯子的高度是x cm，那么筷子的高度是（x+1）cm，
∵杯子的直径为10cm，
∴杯子半径为5cm，
∴x2+52=（x+1）2，
解得x=12，
12+1=13（cm）．
即筷子长13cm．
故选：C．
2．如图，斜靠在墙上的一根竹竿，AB＝10m，BC＝6m，若A端沿垂直于地面的方向AC下移2m，则B端将沿CB方向移动的距离是（ ）米．
A．1.6B．1.8C．2D．2.2
【答案】C
【分析】直接利用勾股定理得出AC的长，再利用勾股定理得出CB'，进而得出B端将沿CB方向移动．
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB= 90°
∵AB=10，BC=6，
∴AC=，
当AC下移2m后，A'C=8-2=6，
在Rt∆A'B'C中，∠A'CB' = 90°
B'C=，
B'C- BC=8-6= 2
∴移动了2m
故选：C.
3．将一根长25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．0≤h≤13B．12≤h≤13C．11≤h≤12D．13≤h≤25
【答案】B
【分析】根据杯子内筷子长度的取值范围得出杯子外面筷子长度的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：∵将一根长为25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于以杯子高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度，
∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时长度为12cm，
最长时等于以杯子高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度是：，
∴h的取值范围是：25−13⩽h⩽25−12，
即12⩽h⩽13，
故选：B．
4．如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如图，
因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，
所以AC2=DC2+AD2=20，
所以AC=，
故选：D．
5．A、B、C、D四个小城镇，它们之间（除B、C外）都有笔直的公路相连接（如图），公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：A﹣B：10元，A﹣C：12.5元，A﹣D：8元，B﹣D：6元，C﹣D：4.5元，为了B、C之间交通方便，在B、C之间建成笔直的公路，请按上述标准计算出B、C之间公共汽车的票价为_____元．
【答案】7.5
【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABD为直角三角形，则△BDC也为直角三角形，再根据勾股定理计算BC的长，从而算出B、C之间的票价．
【详解】根据题意，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比，
设其比例系数为（k≠0），即票价＝×路程，则路程＝k票价；
在△ABD中，AB＝10k，AD＝8k，BD＝6k，
∵AD2 + BD2 = (8k)2+(6k)2=100k2=AB2
∴△ABD为直角三角形
∴∠ ADB＝90°，
则∠ BDC＝90°；
则在Rt△BDC中，BD＝6k，CD＝4.5k；
由勾股定理可得BC2=BD2+DC2==56.25k2
∴BC＝7.5k，
则B、C之间公共汽车的票价为7.5元．
故答案为7.5
6．如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高_____．
【答案】(4+6)m
【分析】过C作CD⊥AB于D，由题意知BC=10，CD=6，根据勾股定理可得BD=8，从而得到AD的长，再利用勾股定理可得AC的长，即可得到树原来的高度．
【详解】解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D，
由题意知BC=10m，CD=6m，
根据勾股定理得：BD=8m，
∵AB=4m，
∴AD=8+4=12m，
AC===6m，
∴这棵数原来的高度=（4+6）m，
故答案为：（4+6）m．
7．《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为______．
【答案】
【分析】设甲、乙二人出发后相遇的时间为x ，然后利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设经 x秒二人在C处相遇，这时乙共行 AC =3x，甲共行AB +BC =7x，
∵AB =10，
∴ BC =7x -10，
又 ∵∠A =90°，
∴BC2= AC2 + AB2，
∴(7x -10)2=(3x)2+102，
故答案是：(7x -10)2= (3x)2+102．
8．如图，，点C在OA边上，OA=36cm，OB=12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？
【答案】20cm
【分析】由题意知：BC=AC，设BC=x cm，则OC=（36-x） cm．在 Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
9．某天，暴雨突然来袭，两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A、B两地发出求救信号．于是，第一艘搜救艇以20海里/时的速度离开港口O沿北偏东40°的方向向A地出发，同时，第二艘搜救艇也从港口O出发，以15海里/时的速度向B地出发，2小时后，他们同时到达各自的目标位置．此时，他们相距50海里．
(1)求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？（求的大小）
(2)由于B地需要被援救的人数较多，故需要搭载人数较少的第一艘搜救艇改道去到B地支援，在从A地前往到B地的过程中，与港口O最近的距离是多少？
【答案】(1)50度；(2)24海里
【分析】（1）根据题意求出OA、OB，根据勾股定理的逆定理推证出即得；
（2）根据垂线段定理即得.
【详解】(1)由题得：海里/时×2小时海里；海里/时×2小时海里，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∵由题知，
∴，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度.
(2)过点O作，此时OE的长度即为最近距离，
由（1）知，，，
∴在中，有，
即，
∴，
答：与港口O最近的距离是24海里.
10．如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C．
(1)若米，米．
①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？
②竹竿的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）．
(2)若，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小．
【答案】(1)①米；②竹竿的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由见解析
(2)不可能相等，顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离．
【分析】（1）先根据勾股定理可得AC=6米，①根据题意得：，可得到米，由勾股定理可得的长，即可求解；②设从A处沿墙下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据勾股定理，列出方程，即可求解；
（2）设AC=BC=a，从A处沿墙下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则，根据勾股定理，列出方程，可得，即可求解．
【详解】(1)解：∠C=90°，米，
∴米，
①根据题意得：，
∴米，
∴米，
∴米，
即点B将向外移动米；
②竹竿的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由如下：
设从A处沿墙下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据题意得：
，
解得：（舍去），
∴从A处沿墙下滑的距离为3.5米时，点B也向外移动的距离为3.5米，
即竹竿的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等；
(2)解：不可能相等，理由如下：
设AC=BC=a，从A处沿墙下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则，根据题意得：
，
整理得：，
即，
∵a、m、n都为正数，
∴，即．
∴顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离．
课程标准
课标解读
1. 理解勾股数的含义；
2. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.
1.会用勾股定理进行简单的运算
2.通过探究，会用勾股定理解释生活中的实际问题
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