苏科版八年级数学上册同步精品讲义 第27讲 一次函数与二元一次方程（学生版+教师版）

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知识点01 一次函数与二元一次方程
一次函数的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上.
【即学即练1】在平面直角坐标系中，以方程2x﹣3y＝6的解为坐标的点组成的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将方程转换成，找出直线与坐标轴的交点，即可确定以方程的解为坐标的点组成的图象．
【详解】解：由可得，
，
当时，，
∴直线与y轴的交点为；
当时，，
∴直线与x轴的交点为．
故选：B．
知识点02 一次函数与二元一次方程组
在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法.
【微点拨】
1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
【即学即练2】如图所示，在直角坐标系中的两条直线分别是和，那么方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两直线的交点，即为二元一次方程组的解即可得到答案．
【详解】解：∵，在直角坐标系中的两条直线分别是和，且它们的交点为（2，-1），
∴方程组的解是，
故选A．
知识点03 方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
【即学即练3】如图，在平面直角坐标系xOy中，如果将关于x，y的二元一次方程的一个解，看做一个点的坐标，其中x的值为横坐标，y的值为纵坐标，那么根据一个二元一次方程的所有解，可以在平面直角坐标系中画出一条直线．有一个点的坐标可以用来表示关于x、y的二元一次方程组的解，那么这个点是（ ）．
A．MB．NC．ED．F
【答案】C
【分析】由题意知，二元一次方程组的解为一次函数表示的两直线的交点坐标的横、纵坐标，观察图象，进而可得答案．
【详解】解：由题意知，二元一次方程组的解为一次函数表示的两直线的交点坐标的横、纵坐标，
∴由图象可知，点即为二元一次方程组的解
故选C．
考法01 两直线的交点与二元一次方程的解
二元一次方程组的解与点的坐标的关系
（1）二元一次方程组的解（x，y）在直角坐标系中对应的点都在一条直线上；这条直线上的点的坐标确定的数对都是该方程组的解.
（2）二元一次方程组的两个方程所对应的两直线相交，两直线相交有唯一交点，且交点坐标适合两个方程，所以此方程组有唯一解；若两直线平行，则方程组无解；若两直线重合，则方程组有无数解.反之，利用方程组解的情况，可以推断方程所对应直线的交点的个数.
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与直线l2：交于点A（，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先把点A代入直线求出b，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可；
【详解】∵直线l1：与直线l2：交于点A（，b），
∴，
∴，
∴，
∴关于x，y的方程组的解为；
故选：B．
考法02 求直线围成的图形面积
1、利用数形结合思想画出图像，求出直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求解
2、正比例函数y=kx图像将一次函数y=2x-4图像与两坐标轴围成的三角形分成了面积相等的两部分，求此正比例函数的解析式.
3、变式：正比例函数y=kx图像将一次函数y=2x-4图像与两坐标轴围成的三角形分成了面积为1:2的两部分，求此正比例函数的解析式.
【典例2】如图，两条直线和相交于点，两直线与x轴所围成的的面积是（ ）
A．B．C．75D．15
【答案】A
【分析】先根据交点坐标求得，进而求得点的坐标，的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可
【详解】两条直线和相交于点，
解得
，
令，解得
由，令，解得，
故选A
题组A 基础过关练
1．在平面直角坐标系中，一次函数和图象交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】联立两个函数解析式，组成方程组求解即可．
【详解】由题意得
解得
则交点坐标为(2，3)故选D．
2．已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由二元一次方程组的解对应两个方程所表示的一次函数的交点坐标，从而可得答案．
【详解】解：方程组的解为，
直线与直线的交点坐标为，
故选：D．
3．函数y＝ax＋b与函数y＝cx＋d的图象是两条相交直线，则二元一次方程组有（ ）解．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】函数所表示的直线的交点即为函数所组成的方程组的解，方程组有几个解就是要看有几个交点．据此即可得答案．
【详解】函数y=ax+b与函数y=cx+d的图象是两条相交直线，
∴只有一个交点，
∴二元一次方程组有唯一解，即1个解，
故选：B．
4．如图，直线与相交于点(2，－1)，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意直接利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行分析解决问题．
【详解】解：∵一次函数和相交于点（2，-1），
∴关于x、y的方程组的解为．
故选：C．
5．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则由图象可知关于x的方程kx＋b＝0的解为____．
【答案】x＝﹣3
【分析】关于x的方程kx + b =0的解其实就是求当函数值为0时x的值，据此可以直接得到答案．
【详解】解：从图象上可知则关于x的方程kx+b＝0的解为的解是：x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
6．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点（2，﹣1），则关于x，y的方程组的解是______．
【答案】
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
【详解】解：∵一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点（2，﹣1），
∴关于x，y的方程组的解是．
故答案为．
7．已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过与两点.
（1）求这个一次函数解析式；
（2）若此一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积.
【答案】（1）；（2）4
【分析】（1）根据一次函数的图象经过（3，2）与（-1，-6）两点，可以求得该函数的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式和题意，可以求得点A和点B的坐标，从而可以求得△AOB的面积．
【详解】解：（1）设这个一次函数解析式为（）
∵的图象过点与
∴
解这个方程组得
∴这个一次函数解析式为；
（2）令，则
∴点坐标为
令，则
∴点坐标为
∴．
故答案为（1）；（2）4．
题组B 能力提升练
1．如图，已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出直线过点A、B的k值，再结合图象即可求得k的取值范围．
【详解】解：当直线过点A（1，3）时，则k+1=3，解得：k=2，
当直线过点B（5，1）时，则5k+1=1，解得：k=0，
当x=0时，y=1，则直线经过定点（0，1），
∵直线与线段有公共点，
∴0≤k≤2，
故选：D．
2．如果直线与交点坐标是（a，b），则是下面哪个方程组的解（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】两直线的交点为两直线的解析式所组成的二元一次方程组的解，由此即可得．
【详解】解：由题意，是方程组的解，
这个方程组可变形为，
故选：D．
3．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y=x+5与直线l2：y=x-1的交点坐标为（ ）
A．（4，1）B．（1，-4）C．（-1，-4）D．（-4，1）
【答案】D
【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可．
【详解】∵二元一次方程组的解为，
∴直线l1：y=x+5与直线l2：y=x-1的交点坐标为（-4，1）．
故选：D．
4．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可．
【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2），
∴方程组的解是，
故选：B．
5．若直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为______．
【答案】(3，5)
【分析】观察直线的解析式，得到直线l1与直线l2分别向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到直线l3与直线l4，故直线l3与直线l4的交点坐标为点(-1， 2)向右平移4个单位，再向上平移3个单位对应的点的坐标．
【详解】解：直线l1： y= kx +b(k≠0)与直线l2：y= 8x+t(s≠0)分别向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到
直线l3：y=k(x-4)+b+ 3(k≠0)与直线l4：y=s(x-4)+t+3(s≠0)，
∵直线l1： y= kx+ b(k≠0)与直线l2：y= sx+ t(s≠0)的交点坐标为(-1，2)，
∴直线l3： y=k(x-4)+b+3(k≠0)与直线l4： y= s(x-4)+t+ 3(s≠0)的交点坐标为(-1 +4，2+3)，即(3， 5)，
故答案为(3， 5)．
6．如图，一次函数与交于点A，则方程组的解是______．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组的解即为两直线的交点坐标解答．
【详解】解：∵一次函数与交于点A（2，−1），
∴方程组的解是，
故答案为：．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：ymx2与直线l2：yxn相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是_________．
【答案】
【分析】直接利用一次函数与二元一次方程组之间的关系求解即可．
【详解】解：由图象观察可知，点P，
∴该二元一次方程组的解是，
故答案为：．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线y1＝﹣x+a与直线y2＝bx﹣4相交于点P，则下列结论中：
①a＜b；
②当0＜x＜1时，y1＜y2＜0；
③关于x，y的方程组的解是；
所有正确结论的序号是 _____．
【答案】①③
【分析】根据一次函数的基本性质及二元一次方程组与一次函数交点的关系依次判断即可得．
【详解】解：根据图像可得：y1和y2都经过（1，-3），
分别代入y1和y2的解析式可得，a=-2,b=1,
由图可得a