苏科版八年级数学上册同步精品讲义 第28讲 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式（学生版+教师版）

这是一份苏科版八年级数学上册同步精品讲义 第28讲 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式（学生版+教师版），文件包含苏科版八年级数学上册同步精品讲义第28讲一次函数一元一次方程和一元一次不等式教师版docx、苏科版八年级数学上册同步精品讲义第28讲一次函数一元一次方程和一元一次不等式学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共41页， 欢迎下载使用。


知识点01 一次函数和一元一次方程的关系
1. 一次函数和一元一次方程的关系
当一次函数y＝kx＋b（k≠0）中的函数值为0时，可得0＝kx＋b即kx＋b＝0，这在形式上变成了求关于x的一元一次方程，也就是说，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；若从图象上来看，则可看做函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标，即为方程kx＋b＝0的解．由此可见，方程与函数是密不可分的．
2.从“数”的角度看，由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0（a，b为常数，且a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值为0时，求相应的自变量的值；反之，求自变量x为何值时，一次函数y＝ax＋b的值为0，只要求出方程ax＋b＝0的解即可．由于任何一元一次不等式都可以转化为类似ax＋b＞0或ax＋b＜0的形式，所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围；反之，求一次函数y＝ax＋b的值何时大（小）于0时，只要求出不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集即可． 从一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系可以看出，三者最终能用函数观点统一起来，并且达到一种完美的结合，这种结合，又常常在一些考题中得以体现
【微点拨】
1、一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
2、从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
【知识拓展】
现代数学上的三大难题：
一、是有20棵树，每行四棵，古罗马、古希腊在16世纪就完成了16行的排列，18 世纪高斯猜想能排18行，19世纪美国劳埃德完成此猜想，20世纪末两位电子计算机高手完成20行纪录，跨入21世纪还会有新突破吗?
二、是相邻两国不同着一-色，任-地图着色最少可用几色完成着色?五色已证出,四色至今仅美国阿佩尔和哈肯，罗列了很多图谱，通过电子计算机逐一理论完成，全面的逻辑的人工推理证明尚待有志者。
三、是任三人中可证必有两人同性，任六人中必有三人互相认识或互相不认识(认识用红线连，不认识用蓝线连，即六质点中二色线连必出现单色三角形)。近年来国际奥林匹克数学竞赛也围绕此类热点题型遴选后备攻坚力量。(如十七个科学家讨论三课题，两两讨论一个题，证至少三个科学家讨论同一题;十八个点用两色连必出现单色四边形;两色连六个点必出现两个单色三角形，等等。)单色三角形研究中，尤以不出现单色三角形的极值图谱的研究更是难点中之难点，热门中之热门。
归纳为20棵树植树问题，四色绘地图问题，单色三角形问题。通称现代数学三大难题。
【即学即练1】如图所示，一次函数的图象经过点，则方程的解是（ ）
A．B．C．D．无法确定
知识点02 一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
【微点拨】
求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
【即学即练2】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，且点的纵坐标是2，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
知识点03 如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
【即学即练3】如图，直线与（）的交点的横坐标为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
考法01 求不等式组的解集
把各个不等式的解集表示在数轴上，观察公共部分。
不等式组的解集不外乎以下4种情况：
若a当x>b时；（同大取大） 当x当xb时无解，（大大小小无处找）
【典例1】一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
考法02 不等式的解集怎么求
求不等式的解集可以先把各个不等式的解集表示在数百度轴上，观察公共部分。然后去括号，移项，合并同类项，系数化为一时要注意到底是除以了一个正数还是负数。
一、步骤
去分母（注意乘以一个正数的公分母，这样就不变号），去括号，移项，合并同类项，系数化为一（这里注意到底是除以了一个正数还是负数）
二、重点：
一元一次不等式组的解法，求公共解集的方法；
三、难点：
1、含有字母系数的不等式组的解集的讨论；
2、一元一次不等式组与二元一次方程组的综合问题。
四、不等式确定解集：
1、比两个值都大，就比大的还大(同大取大）；
2、比两个值都小，就比小的还小(同小取小）；
3、比大的大，比小的小，无解（大大小小取不了）；
4、比小的大，比大的小，有解在中间（小大大小取中间）。
5、三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。
【典例2】如图，一次函数y＝2x+8的图象经过点A(－2，4)，则不等式2x+8＞4的解集是（ ）
A．x＜－2B．x＞－2C．x＜0D．x＞0
题组A 基础过关练
1．如图，直线经过点A和点B，直线过点A，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，一次函,y＝﹣x－2，与的图像交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，函数的图象经过点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，直线经过点，则关于的不等式解集为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，一次函数的图象过点（1，0），那么关于x的不等式的解集是_____．
6．如图，已知直线y1=ax+b与y2=mx+n相交于点A（2，﹣1），则不等式ax+b≤mx+n的解集是_______．
7．已知，，当取哪些值时，？你是怎样做的？与同伴交流．
题组B 能力提升练
1．如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，当时，自变量x的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
2．如图，函数的图像与x轴、y轴分别相交于点和点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，一次函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则不等式组的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．若函数和函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
5．已知一次函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为______．
6．直线与x轴的交点为，则关于x的不等式的解集是______．
7．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（n，2），则不等式2x≥ax+4的解集为________．
18．已知一次函数y＝mx+n，若y与x的部分对应值如表：
则关于x的方程mx+n＝0的解是 _____．
9．一次函数与y轴交点纵坐标为，与x轴交点的横坐标为．
(1)在坐标系中画出一次函数的图象；
(2)结合图象解答下列问题：
①当时，y的取值范围是_________；
②当时，x的取值范围是_______；
10．定义运算：当时，；当时，．如：；；．根据该定义完成下列问题：
(1)_________，当时，_________；
(2)若，求x的取值范围；
(3)如图，己知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出x的取值范围；
题组C 培优拔尖练
1．如图，直线与的交点的坐标为，则关于的不等式的整数解为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法：
①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第四象限；
③不等式的解集是；④．
其中正确的是（ ）
A．2个B．1个C．3个D．4个
3．一次函数与的图象在同一平面直角坐标系中的位置如器所示，一位同学根据图象写出以下信息，其中下列信息错误的是（ ）
A．B．不等式的解集是
C．方程组的解是D．与的交点是
4．已知关于x，y的二元一次方程ax+b＝y，当x分别取x1、x2、x3、1、x4、x5（x1＜x2＜x3＜1＜x4＜x5）时对应y的值如表所示，则关于x的不等式ax+b＞0的解集为（ ）
A．x＞1B．x＜1C．x＞0D．x＜0
5．设，分别是函数C1、C2图像上的点，使得恒成立x的范围是，称函数C1、C2的“逼近区间”是，那么函数、的“逼近区间”是______．
6．一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表：
下列结论中一定正确的是______．
①方程的解为x＝2；
②若n>0，则；
③若关于x的一元一次不等式的解集为，则n＝2
④当直线y＝kx＋b与的函数图象只有一个公共点时，k的所有取值范围为k<－1或k>1
7．已知关于x，y的方程组的解是，则在同一平面直角坐标系中存在两条直线：与，当时，则x的取值范围______.
8．定义运算min{a，b}，当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a；如：min{4，0}＝0；min{2，2}＝2；min{﹣3，﹣1}＝﹣3．根据该定义运算完成下列问题：
(1)min{﹣3，2}＝ ，当x≤2时，min{x，2}＝ ；
(2)如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣2相交于点P（﹣2，1），若min{x+m，kx﹣2）＝kx﹣2，结合图象，直接写出x的取值范围是 ．
(3)在（2）的基础上，直线y1＝x+m交x轴于点C，交y轴于点A，直线y2＝kx﹣2交x轴于点B，求△ABP的面积．
9．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像由函数y＝x的图像向下平移1个单位长度得到．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x≥-2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值总是大于一次函数y＝kx＋b的值，则m的取值范围是 ．
(3)设一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像与x轴，y轴分别交于A，B两点，则在y轴上是否存在一点P，使得∠ABO＝2∠BPA，如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
10．某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图象和性质做了探究．
下面是该学习小组的探究过程，请补充完整；
(1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：
表格中m的值为__________，n的值为___________．
(2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图）
(3)请观察函数的图象，直接写出如下结论；
①当自变量x________时，函数y随x的增大而增大；
②方程的解是____________；
③不等式的解集为________．
课程标准
课标解读
1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．
2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．
3.对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系进行揭示
1、经历实际问题中的数量关系的分析、抽象初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系。
2、了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系。
3、探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间内在关系。
x
……
﹣2
﹣1
0
1
2
……
y
……
10
8
6
4
2
……
x
…
x1
x2
x3
1
x4
x5
…
y
…
2022
520
3
0
﹣1
﹣2
…
x
－1
2
y
n
0
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
m
0
n
2
3
…