广东省深圳市深圳实验学校光明部2023—-2024学年上学期八年级第二次阶段质量检测数学试卷（12月月考）

这是一份广东省深圳市深圳实验学校光明部2023—-2024学年上学期八年级第二次阶段质量检测数学试卷（12月月考），共19页。试卷主要包含了的算术平方根是，下列计算正确的是，已知下列命题等内容，欢迎下载使用。

1．在实数、0、、、π+1、、0.1中，无理数的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．的算术平方根是（ ）
A．﹣2B．±2C．D．2
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两条直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直；⑥若a＞b，则a2＞b2．其中真命题的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
5．若m，n是两个连续的整数且，则m+n＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．已知k＜0，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠E＝30°，则∠C等于（ ）
A．30°B．40°C．60°D．70°
9．若x＝4，是方程x﹣2y＝m的解，则m的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
10．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象，有以下结论：
①m＝1；
②a＝40；
③甲车从A地到B地共用了7小时；
④当两车相距50km时，乙车用时为h．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二．填空题（每题3分，共15分）
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．点P（﹣3，2）到x轴的距离是 ．
13．直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是 ．
14．已知直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，则第三边长为 ．
15．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为，如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为，即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则3a+b的值等于 ．
三．解答题（共55分）
16．（8分）计算：
（1）﹣（π﹣3）0；
（2）．
17．（9分）解方程组：
（1）；
（2）．
18．（6分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为 ；
（3）在y轴上确定一点P（注：不写作法，只保留作图痕迹），使△APB的周长最小，最小值为 ．
19．（7分）如图，已知点D是△ABC中BC边上的一点，DE⊥AC于点E，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若AF＝3，AB＝4，求BF的长．
20．（8分）某商场第1次用39万元购进A，B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润＝单件利润×销售量）：
（1）该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原进价购进A，B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原售价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则B种商品是按几折销售的？
21．（8分）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n），
（1）求n，k，b的值；
（2）若函数y＝kx+b的函数值不大于函数y＝x+1的函数值，直接写出x的取值范围 ；
（3）求△ACD的面积．
22．（9分）【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在实数、0、、、π+1、、0.1中，无理数的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：是分数，属于有理数；
0，＝3，＝3，是整数，属于有理数；
0.1是循环小数，属于有理数；
无理数有：﹣，π+1共2个．
故选：A．
2．的算术平方根是（ ）
A．﹣2B．±2C．D．2
【解答】解：∵，2的算术平方根是，
∴的算术平方根是．
故选：C．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵﹣＝﹣9，
∴A选项正确；
∵＝4，
∴B选项的结论不正确；
∵＝3，≠3，
∴C选项的结论不正确；
∵＝|﹣2|＝2，
∴D选项的结论不正确；
故选：A．
4．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两条直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直；⑥若a＞b，则a2＞b2．其中真命题的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【解答】解：相等的角不一定为对顶角，所以①错误；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以②错误；
90°的两个角互补，所以③错误；
平行于同一条直线的两条直线平行，所以④正确；
邻补角的平分线互相垂直，所以⑤正确；
当a＝1，b＝﹣2，则a2＜b2．所以⑥错误．
故选：B．
5．若m，n是两个连续的整数且，则m+n＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：∵9＜14＜16，
∴3＜＜4，
∵m，n是两个连续的整数且，
∴m＝3，n＝4，
∴m+n＝3+4＝7，
故选：C．
6．已知k＜0，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+k的图象经过一、三、四象限；
故选：D．
7．甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意可得，顺水速度＝x+y，逆水速度＝x﹣y，
∴根据所走的路程可列方程组为，
故选：A．
8．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠E＝30°，则∠C等于（ ）
A．30°B．40°C．60°D．70°
【解答】解：AE与CD交于F点，
∵AB∥CD，∠A＝70°，
∴∠EFD＝70°，
∵∠E＝30°，
∴∠C＝40°，
故选：B．
9．若x＝4，是方程x﹣2y＝m的解，则m的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
【解答】解：∵x＝4，是方程x﹣2y＝m的解，
∴，
∴m＝3．
故选：D．
10．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象，有以下结论：
①m＝1；
②a＝40；
③甲车从A地到B地共用了7小时；
④当两车相距50km时，乙车用时为h．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：由题意，得m＝1.5﹣0.5＝1，故①结论正确；
120÷（3.5﹣0.5）＝40（km/h），则a＝40，故②结论正确；
设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得：
，
解得，
当y＝260时，260＝40x﹣20，
解得：x＝7，
∴甲车从A地到B地共用了7小时，故③结论正确；
当1.5＜x≤7时，y＝40x﹣20．
设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k'x+b'，由题意得：
，
解得，
∴y＝80x﹣160．
当40x﹣20﹣50＝80x﹣160时，
解得：x＝，
当40x﹣20+50＝80x﹣160时，
解得：x＝，
∴，，
所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km，故④结论错误．
∴正确结论的个数是3个．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≤3 ．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
12．点P（﹣3，2）到x轴的距离是 2 ．
【解答】解：点P（﹣3，2）到x轴的距离是2．
故答案为：2．
13．直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是 （1，0） ．
【解答】解：直线y＝2x﹣4沿y轴向上平移2个单位，
则平移后直线解析式为：y＝2x﹣4+2＝2x﹣2，
当y＝0时，则x＝1，
故平移后直线与x轴的交点坐标为：（1，0）．
故答案为：（1，0）．
14．已知直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，则第三边长为 5cm或cm ．
【解答】解：设第三边为x cm，
当4cm是直角边时，则第三边x是斜边，由勾股定理得，32+42＝x2，解得：x＝5；
若4cm是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，32+x2＝42，解得x＝，
故答案为：5cm或cm．
15．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为，如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为，即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则3a+b的值等于 ．
【解答】解：根据题意得：G（，），
∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，
∴，
解得（舍去），或，
∴3a+b＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
16．计算：
（1）﹣（π﹣3）0；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝﹣1
＝﹣1
＝﹣1﹣1
＝﹣2；
（2）原式＝+3×﹣3
＝+﹣3
＝﹣．
17．解方程组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
②﹣①，得（x+y）﹣（x﹣3y）＝15﹣3，
整理得：4y＝12，
解得：y＝3，
把y＝3代入②，得x+3＝15，
解得：x＝12，
所以方程组的解是；
（2），
原方程组化为：，
①+②，得（3x+2y）+（3x﹣2y）＝4+8，
整理得：6x＝12，
解得：x＝2，
把x＝2代入①，得6+2y＝4，
解得：y＝﹣1，
所以方程组的解是．
18．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 直线x＝0 ，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为 （﹣2，3） ；
（3）在y轴上确定一点P（注：不写作法，只保留作图痕迹），使△APB的周长最小，最小值为 ．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线x＝0，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为（﹣2，3）；
故答案为：直线x＝0，（﹣2，3）；
（3）如图，点P即为所求，△APB的周长最小＝AB+AB2＝+＝+．
19．如图，已知点D是△ABC中BC边上的一点，DE⊥AC于点E，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若AF＝3，AB＝4，求BF的长．
【解答】（1）证明：∵∠AGF＝∠ABC，
∴FG∥CB，
∴∠1＝∠3，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴DE∥BF；
（2）解：∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠BFA＝∠DEA＝90°，
∵AF＝3，AB＝4，
∴BF＝＝＝．
20．某商场第1次用39万元购进A，B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润＝单件利润×销售量）：
（1）该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原进价购进A，B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原售价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则B种商品是按几折销售的？
【解答】解：（1）设该商场第1次购进A商品x件，购进B商品y件，
依题意，得：，
解得：．
答：该商场第1次购进A商品200件，B商品150件．
（2）设B种商品是打m折销售，
依题意，得：200×（1350﹣1200）+150×2×（1200×﹣1000）＝54000，
解得：m＝9．
答：B种商品是打9折销售的．
21．如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n），
（1）求n，k，b的值；
（2）若函数y＝kx+b的函数值不大于函数y＝x+1的函数值，直接写出x的取值范围 x≤1 ；
（3）求△ACD的面积．
【解答】解：（1）把点D的坐标为（1，n）代入y＝x+1得：1+1＝n，
∴n＝2，
∴点D的坐标为（1，2），
将点B（0，﹣1），点D（1，2）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝3x﹣1，
∴n的值为2，k的值为3，b的值为﹣1；
（2）由（1）得点D的坐标为（1，2），
∴由图象可得：当x≤1时，函数y＝kx+b的函数值不大于函数y＝x+1的函数值，
故答案为：x≤1；
（3）如图所示，过点D作DE⊥x轴交x轴于点E，
则点E的坐标为（1，0），
∵函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，
∴当x＝0时，y＝1，
∴点A的坐标为（0，1），
∵一次函数y＝3x﹣1的图象与x轴交于点C，
∴当y＝0时，3x﹣1＝0，
解得，
∴点C的坐标为，
∴S△ACD＝S梯形OADE﹣S△CDE﹣S△AOC
＝
＝
＝
＝，
∴△ACD的面积为．
22．【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1所示：
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC＝180°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BEC＝90°，
又∵∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△CDA和△BEC中，
，
∴△CDA≌△BEC（AAS）；
（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴
于点D，如图2所示：
∵CD⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°，
又∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
又∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝CB，
在△ABO和∠BCD中，
，
∴△ABO≌∠BCD（AAS），
∴AO＝BD，BO＝CD，
又∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），
∴AO＝2，BO＝3，
∴BD＝2，CD＝3，
∴点C的坐标为（﹣3，5），
设l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
点A、C两点在直线l2上，依题意得：
，
解得：，
∴直线l2的函数表达式为y＝﹣5x﹣10；
（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，
①若点P为直角时，如图3甲所示：
设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，
∵∠CPD＝90°，CP＝PD，
∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，
∴∠CPM+∠PDH＝90°，
又∵∠CPM+∠DPM＝90°，
∴∠PCM＝∠PDH，
在△MCP和△HPD中，
，
∴△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM＝PH，PM＝HD，
∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，
解得：m＝，
即点D的坐标为（，﹣）；
②若点C为直角时，如图3乙所示：
设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，
CA＝CD，
同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM＝CH，MC＝HD，
∴点D的坐标为（4+n，﹣7），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，
解得：n＝0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（4，﹣7）；
③若点D为直角时，如图3丙所示：
设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4+k，
CD＝PD，
同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），
∴MD＝PQ，MC＝DQ，
∴点D的坐标为（，），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2×＝，
解得：k＝，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（，﹣）；
综合所述，点D的坐标为（，﹣）或（4，﹣7）或（，﹣）
价格
商品
进价（元/件）
售价（元/件）
A
1200
1350
B
1000
1200
价格
商品
进价（元/件）
售价（元/件）
A
1200
1350
B
1000
1200