贵州省三穗县民族高级中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学（理）试题

这是一份贵州省三穗县民族高级中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学（理）试题，共13页。试卷主要包含了已知，且，则向量与向量的夹角为，三边分别对应于角，则，“”是“直线与圆相切”的，若关于的不等式等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．下列命题中的假命题是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，且，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．如图1所示，在空间四边形中，，点在上，且为的中点，则（ ）
图1
A．B．
C．D．
5．三边分别对应于角，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．若直线与圆相交，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．在正方体中，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
10．若关于的不等式（为常数）的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
11．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．80B．30C．26D．16
12．已知椭圆的焦点为，过的直线与交于两点．若，，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知变量满足线性约束条件则的最小值是______．
14．若命题“”的否定是假命题，则实数的取值范围是______．
15．若三点共线，则______．
16．已知在长方体中，为的中点，则一质点自点出发，沿着长方体的表面到达点的最短路线的长为______cm．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知：关于的方程有实数根．
（I）若为真命题，求实数的取值范围；
（II）若为真命题，为真命题，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）
为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机调在了5对父子的身离，统计数据如表所示．
（I）从这五对父子中任意选取两对，用编号表示出所有可能取得的结果，并求随机事件“两对父子中儿子的身高都不低于父亲的身高”发生的概率；
（II）由表中数据，利用“最小二乘法”求关于的回归直线的方程．
参考公式：，回归直线：．
19．（本小题满分12分）
已知数列的前项和满足，且．
（I）求数列的通项公式；
（II）记，求数列的前项和．
20．（本小题满分12分）
已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为为坐标原点．
（I）求的轨迹方程；
（II）当时，求直线的方程及的面积．
21．（本小题满分12分）
如图2，在直棱柱中，．
图2
（I）证明：
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆，设为椭圆上一点，且．
（I）求；
（II）若，是否存在以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，请求出共有几个？若不存在，请说明理由．
三穗县民族高级中学20212022学年度第一学期期末质量检测考试
高二理科数学参考答案
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】
1．因为，所以．又，所以，故选C．
2．对于B：当时，，因此B中命题是假命题，故选B．
3．设向量与向量的夹角为，得．又，又，故选B．
4．如图1，，故选C．
图1
5．由正弦定理可得，可得，，故选D．
6．，焦点到渐近线的距离为，则，则双曲线的方程为，故选B．
7．圆的标准方程为，圆心为，半径．直线与圆相交，，解得或，故选D．
8．因为直线与圆相切，所以，则．所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件，故选A．
9．以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图2所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，可得，，由中点坐标公式可得，则．设两异面直线所成角为，则，则，故异面直线与所成角的正切值为，故选C．
图2
10．由题设条件得解得所求不等式，即为，解得或不等式的解集是，故选A．
11．方法一：等比数列的前项和为，两式相除得，即或（舍），把代入中，得到，故选B．
方法二：也构成等比数列，设新等比数列的公比为，则，或等比数列的各项均为正数，，，，，故选B．
12．法一：如图3，由已知可设，则，，由椭圆的定义有，．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆的方程为，故选C．
图3
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得又互补，
，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选C．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
13．作出不等式组所表示的可行域如图4所示：联立解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即．
图4
14．因为命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，即不等式对恒成立，又在上为增函数，所以，即，故实数的取值范围是．
15．，且三点共线，存在实数，使得．即解得
16．讨论：第一种情况：将长方体沿剪开，使平面和平面在同一个平面内，连接，如图5．在Rt中，，由勾股定理，得，则．
图5
第二种情况：将长方体沿剪开，使平面和平面在同一个平面内，连接，如图6，在Rt中，，由勾股定理，得，则．
图6
第三种情况：将长方体沿剪开，使平面和平面在同一个平面内，连接，如图7，在Rt中，，由勾股定理，得，则．综上可知，故沿着长方体的表面到达点的最短路线的长为．
图7
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（I）方程有实数根，
得，得．
（II）为真命题，为真命题，
为真命题，为假命题，即得．
18．（本小题满分12分）
解：（I）从这五对父子中任意选取两对，全部基本事件有，，共10个．
其中事件所包含的基本事件有，，共3个，．
（II），
，
，，
关于的线性回归方程为．
19．（本小题满分12分）
解：（I）由已知有数列为等差数列，
又，即．当时，．
又也满足上式，．
（II）由（I）知，，
．
20．（本小题满分12分）
解：（I）法1（定义法）：圆心，由垂径定理可知，于是点在以为直径的圆上，
所以的轨迹方程为，即．
法2（直接法）：设的坐标为，由，可得．
，于是，即．
法3（参数法）：当的斜率不存在时，其直线方程为，于是，所以点的坐标为．
当的斜率存在时，设直线方程为．
联立消去可得，
于是，将代入，消去参数，可得，整理
可得．综上所述，的轨迹方程为．
（II）法1：由可知点在以原点为圆心，为半径的圆上．
联立解得于是点的坐标为，
于是直线的方程为，即．
的面积为．
法2：由可知点在的垂直平分线上，而的垂直平分线过圆心，所以直线的斜率为，直线方程为，即．
因为，点到直线的距离为，所以，于是的面积为．
21．（本小题满分12分）
（I）证明：易知，两两垂直．如图8，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．设，
则有，，
图8
所以．
因为，所以，
解得或（舍去），
所以．
因为，所以，即．
（II）解：由（I）知，．
设是平面的一个法向量，则即
令，则．设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
22．（本小题满分12分）
解：（I）设，由椭圆定义得，
设椭圆的半焦距为，则，
对由余弦定理得：
，
解得，又，结合，得．
（II）可得椭圆的标准方程为，
当中一个斜率为零，一个斜率不存在显然不符合题意；
设，不妨设，联立直线和椭圆方程得，
两根为，
由，得，
把中的换成，可得，
由，得，
结合化简得，整理得，
解得，均符合，
符合条件的的个数有3个．编号
A
B
C
D
E
父亲身高
174
176
176
176
178
儿子身高
175
175
176
177
177
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
C
D
B
D
A
C
A
B
C
题号
13
14
15
16
答案
4
－3