苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第18讲 反比例函数（学生版）

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知识精讲
知识点 反比例函数的概念
1.反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例。即，或表示为，其中是不等于零的常数。
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数。
【微点拨】
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点。
（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件。
（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式。
2.确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为： ()；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数的值；
（4）把求得的值代回所设的函数关系式 中。
【即学即练1】下列函数中，为反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义逐项分析即可．
【解析】解：A.是正比例函数；B.不是反比例函数；C. 不是反比例函数；D. 是反比例函数；故选D．
【即学即练2】如果一个反比例函数的图像经过点，那么下列各点中在此函数图像上的点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数中，k＝xy为定值即可判断．
【解析】解：设反比例函数解析式为，
∵反比例函数的图象经过点（3，2），
∴k＝3×2＝6，
∵−3×（−2）＝6，
∴A选项符合题意；
-1×（-5）=5，2×（-3）=-6，5×1=5，
∴B、C、D选项不符合题意；故选：A．
能力拓展
考法 反比例函数解析式的求解
【典例】已知y与x的函数解析式是y＝，
（1）求当x＝4时，函数y的值；
（2）求当y＝﹣2时，函数自变量x的值．
【答案】（1）－3；（2）x＝5
【分析】（1）把x＝4代入解析式，即可求得y的值；
（2）y＝−2代入解析式，即可求得自变量x的值．
【解析】解：（1）当x＝4时，函数y＝；
（2）当y＝﹣2时，则﹣2＝，
解得x＝5．
分层提分
题组A 基础过关练
1．点A（﹣2，m）在函数的图象上，则m的值是（ ）
A．B．C．2D．﹣2
【答案】B
【分析】将x＝﹣2代入一次函数解析式中求出y值，此题得解．
【解析】解：∵点A（﹣2，m）在函数的图象上，
∴．
故选：B．
2．下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．B．C．y＝2x＋1D．2y＝x
【答案】A
【分析】根据反比例函数的定义直接可得
【解析】反比例函数的一般形式为：，据此只有A选项符合。故选A
3．在函数图像上的点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别将四个选项的横坐标代入到反比例函数解析式中，求出对应的纵坐标再去进行比较即可．
【解析】解：∵函数是反比例函数，
∴图象与坐标轴无交点，故A错误；
∵，
∴此点不在反比例函数图象上，故B错误；
∵，
∴此点不在反比例函数图象上，故C错误；
∵，
∴此点在反比例函数图象上，故D正确；
故选：D．
4．反比例函数的比例系数是（ ）
A．-1B．-2C．D．
【答案】C
【分析】将函数解析式变为，根据反比例函数的定义即可得出答案．
【解析】解：∵，
∴反比例函数的比例系数是．故选：C．
5．如果函数为反比例函数，则m的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的定义，可得2m-1=-1，解得m的值即可．
【解析】如果函数为反比例函数，那么2m-1=-1，解得：m=0，故选：B．
6．函数的自变量的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数自变量不为0，即可得解.
【解析】解:∵ 函数为反比例函数,其自变量不为0,
∴
∴
故答案为A.
7．若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣4的值为_____．
【答案】-9
【分析】由点A在反比例函数图象上，可得出ab=-5，将其代入代数式ab-4中即可得出结论．
【解析】解：∵点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上
∴ab=-5
∴ab-4=-5-4=-9．
故答案为：-9．
8．在函数中，自变量的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义，即可得到答案．
【解析】解：由题意得：在函数中，，
故答案是：．
9．已知菱形的面积是12cm2，菱形的两条对角线长分别为和，则与之间的函数关系是 。
【答案】
【分析】根据菱形面积＝×对角线的积，可列出关系式．
【解析】解：由题意得：xy＝12，可得：，
故答案为：．
10．若双曲线y=经过点(3，b)，则b= 。
【答案】2
【分析】直接将点代入双曲线中即可求出b的值．
【解析】∵双曲线经过点 ，
∴，故答案为：2．
题组B 能力提升练
1．反比例函数的图像向下平移1个单位，与轴交点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先得出平移后的解析式，再令即可得解；
【解析】∵反比例函数的图像向下平移1个单位，
∴平移后的解析式为：，
令，则，
∴；
∴与x轴的坐标为；
故答案选D．
2．点是反比例函数图象上一点，则此函数图象必经过点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得m2+2m=3×4=12，再分别计算出四个选项中每个点的横纵坐标的积是否等于12即可．
【解析】解：∵点（3，4）是反比例函数图象上一点，
∴m2+2m=3×4=12，A、2×6=12，因此（2，6）在反比例函数的图象上；B、2×（-6）=-12，因此（2，-6）不在反比例函数的图象上；C、4×（-3）=-12，因此（4，-3）不在反比例函数的图象上；D、3×（-4）=-12，因此（3，-4）不在反比例函数的图象上；故选：A．
3．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的定义式对各项进行判断即可得到结论．
【解析】解：A、由得：xy=，即x与y成反比例，y是x的反比例函数，正确；B、由知，y与x2成反比例；y不是x的反比例函数，故不合题意； C、由知y与x+3成反比例，y不是x的反比例函数，故不合题意；D、由知，y-2与x成反比例，y不是x的反比例函数，故不合题意；故选：A ．
4．下列函数中，反比例函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的概念可直接进行排除选项．
【解析】A、是一次函数，不是反比例函数，故错误；B、是反比例函数，故正确；C、是一次函数，不是反比例函数，故错误；D，是二次函数，不是反比例函数，故错误；故选B．
5．若是反比例函数，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．无法确定
【答案】A
【分析】利用反比例函数的定义得到m+2≠0且m2﹣5＝﹣1，然后解方程即可．
【解析】解；根据题意得m2﹣5＝﹣1，解得m＝2或m=-2．
又∵m+2≠0，即m≠-2，
∴m＝2
故选：A．
6．给出六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是的反比例函数的是（ ）.
A．①②③④⑥B．③⑤⑥C．①②④D．④⑥
【答案】D
【分析】根据反比例函数的定义解答即可.
【解析】①，⑤，y是x的一次函数；
④，⑥，是的反比例函数；
②，y是x+2的反比例函数；③，y是x2的反比例函数.
故选D.
7．函数y＝中，自变量x的取值范围为____________．
【答案】x≠1
【分析】结合题意，根据反比例函数的性质分析，即可得到答案．
【解析】∵函数y＝
∴
∴自变量x的取值范围为：x≠1
故答案为：x≠1．
8．函数是反比例函数，则m的值为______．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义．即，只需令，即可．
【解析】解：由题意得：且，；
解得，又；
．
故答案是：．
9．已知点P（a，b）是反比例函数图像上异于点（－1，－1）的一个动点，则＝_________．
【答案】2
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标性质得出，再利用分式的混合运算法则求出即可．
【解析】解：点是反比例函数图象上异于点的一个动点，
，
．
故答案为2．
10．已知，，，都在反比例函数的图象上．若，则的值为___．
【答案】-9．
【分析】根据反比例函数上点的特征得到、分别与、的关系，再把它们相乘，最后把代入即可．
【解析】将点A和B代入反比例函数得：，，
所以．
故答案为-9。
题组C 培优拔尖练
1．若函数y=（3﹣k）是反比例函数，那么k的值是（ ）
A．0B．3C．0或3D．不能确定
【答案】A
【分析】直接利用反比例函数的定义分析得出答案．
【解析】解：∵函数y=（3﹣k）是反比例函数，
∴k2﹣3k﹣1=﹣1，3﹣k≠0，
解得：k1=0，k2=3，（不合题意舍去）
那么k的值是：0．
故选：A．
2．若函数的图像经过点，则下列各点中不在图像上的是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由图象经过点A，确定k的值，然后再确定所给点的横纵坐标的积是否等于k即可．
【解析】∵函数的图象经过点，
∴k=xy=（-3）×8=-24，A. 4×6=24，故不在该函数图象上；B. 3×(−8)=−24，在该函数图象上；C. 4×(−6)=-24，在该函数图象上；D. (−4)×6=-24，在该函数图象上.故选A.
3．下列函数：①，②，③，④，y是x的反比例函数的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据反比例函数解析式的一般式y＝（k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式可知．
【解析】①和②是正比例函数；③是反比例函数；④是y是x+1的反比例函数，故此选项错误．
所以y是x的反比例函数的个数有1个．故选B．
4．已知函数y=（m-2）是反比例函数，则m的值为（ ）
A．2B．-2C．2或-2D．任意实数
【答案】B
【分析】根据反比例函数的定义可得出关于m的一元一次不等式以及一元二次方程，解之即可得出m的值，此题得解．
【解析】∵函数是反比例函数，
∴，
解得m=-2，
故选B．
5．已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式．
【答案】y＝（x+1）+
【分析】根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解
【解析】解：（1）设y1＝k1（x+1）（k1≠0），y2＝（k2≠0），
∴y＝k1（x+1）+ ．
∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4，
∴，
∴，
∴y关于x的函数解析式是：y＝（x+1）+；
6．已知，与成反比例，与成正比例，并且当时，；当时，．求：y关于x的函数解析式．
【答案】
【分析】首先根据题意，分别表示出y 1与x，y 2与x的函数关系式，再进一步表示出y与x的函数关系式；然后根据已知条件，得到方程组，即可求解．
【解析】设=，=（x+2），
∵，
∴y=+（x+2），
由时，；时，，得
，解得，
∴y关于x的函数解析式是．
7．己知y-1与x+2成反比例函数关系，且当x=-1时，y=3．求：
(1)y与x的函数关系式；
(2)当x=0时，y的值．
【答案】（1）y=+1；（2）y=2．
【分析】（1）根据反比例函数表达式设y-1=，代入即可求出表达式．
（2）由（1）可直接代入求值．
【解析】（1）设y-1=，把x=-1，y=3代入得3-1=，解得k=2；
则函数解析式是y-1=即y=+1；
（2）把x=0代入得：y=2．
8．反比例函数的图像经过、两点.
（1）求m，n的值；
（2）根据反比例图像写出当时，y的取值范围.
【答案】（1），；（2）当时，．
【分析】（1）将点 , 的坐标分别代入已知函数解析式,列出关于m,n 的方程组,通过解方程=组来求m,n的值即可;
（2） 利用（1）中的反比例函数的解析式画出该函数的图象,根据图象直接回答问题.
【解析】(1)根据题意，得

解得m=−2，n=−2，即m，n的值都是−2.
(2)由(1)知，反比例函数的解析式为y=−，其图象如图所示：
根据图象知，当−2