苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第22讲 二次根式的乘除（学生版）

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知识精讲
知识点 二次根式的乘除法
（一）二次根式的乘法及积的算术平方根
1.乘法法则：,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘。
【微点拨】
(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)。
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简。
2.积的算术平方根:
,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
【微点拨】
(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
(2)与都是的算术平方根；
(3)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面。
（二）二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除。
【微点拨】
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0；
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根:
，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
【微点拨】与都是的算术平方根。
（三）最简二次根式
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（2）被开方数中不含有分母；
（3）分母中不含有根号。
满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式。
【微点拨】二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式。
【即学即练1】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)0 (2)1
【分析】(1)运用二次根式的除法运算法则，求一个数的立方根计算即可．
(2) 按照平方差公式进行计算即可．
【解析】(1)
=2+1-3
=0．
(2)（）（）
=
=3-2
=1．
【即学即练2】计算：
(1)．
(2)﹣2×+|1﹣|．
【答案】(1)0 (2)-3
【分析】（1）先化简每一个二次根式，然后再进行计算即可；
（2）先化简各数，然后再进行计算即可．
【解析】(1)解：+
＝+
＝+
＝-+
＝0．
(2)解：﹣2×+|1﹣|
＝﹣2﹣2×+﹣1
＝﹣2﹣+﹣1
＝﹣3．
能力拓展
考法01 二次根式的乘除法
【典例1】材料1：因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．比如：π，等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
材料2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5−2得来的．
材料3：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如，是因为．
根据上述材料，回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值．
（3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，求x+4y的倒数．
【答案】（1）4，；（2）13；（3）
【分析】（1）先估算在哪两个整数之间，即可确定的整数部分和小数部分；
（2）先估算出的整数部分，再利用不等式的性质即可确定答案；
（3）先求出的整数部分，得到3+的整数部分即为x的值，从而表示出y，求出x+4y的结果，再求x+4y的倒数即可．
【解析】解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是-4，
故答案为：4，；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴a=6，b=7，
∴a+b=13；
（3）∵1＜＜2，
∴1+3＜3+＜2+3，
∴4＜3+＜5，
∴x=4，
y=3+-4=，
x+4y=4+4(-1）=4，
∴x+4y的倒数是．
考法02 最简二次根式
【典例2】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：______，______；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、，符合．______ ______ ______ ______
（3）若，且、、、均为正整数，求的值．
【答案】（1），；（2）4、2、1、1；（3）或13
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）先取m＝1，n＝1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝4和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【解析】解：（1）∵，
∴，
∴，，
故答案为，；
（2）设，，∴，
故答案为4、2、1、1；
（3）由题意，得：，
∵，且、为正整数，
∴，或者，，
∴，或
∴或13．
分层提分
题组A 基础过关练
1．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据进行化简即可．
【解析】解：，故选：D．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，判断即可．
【解析】解：A、是最简二次根式，符合题意；B、不是最简二次根式，不符合题意；C、不是最简二次根式，不符合题意；D、不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．
3．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】按照最简二次根式的定义对选项进行逐个分析即可．
【解析】解：A.是最简二次根式，不符合题意；B.是最简二次根式，不符合题意；
C. 是最简二次根式，不符合题意；D. ，不是最简二次根式，符合题意；故选：D．
4．已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ）
A．3B．C．2D．4
【答案】C
【分析】用长方形的面积除以一边长，可得另一边长．
【解析】解：÷=，故答案为：C。
题组B 能力提升练
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的两个条件逐项判定即可．
【解析】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；C、被开方数含分母，故C不符合题意；D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意．故选：A．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．＝4C．D．＝4
【答案】A
【分析】根据立方根的定义、算术平方根的定义、二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
【解析】解：A、原式=，故该选项符合题意；B、≠4，故该选项不符合题意；C、原式==2，故该选项不符合题意；D、原式=2，故该选项不符合题意．故选：A．
3．已知、均为有理数，且，则、的值为（ ）
A．2，-5B．5，2C．5，-2D．-2，5
【答案】C
【分析】根据完全平方公式和二次根式乘法的性质，计算得，结合有理数的性质分析，即可得到答案．
【解析】
∵、均为有理数，且
∴，
故选：C．
4．估计的值在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间
C．4到5之间D．5到6之间
【答案】B
【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，进而根据无理数大小估计求解即可
【解析】解：∵
又
∴
故选B
5．请同学们猜一猜的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【答案】B
【分析】先计算二次根式的除法，再根据无理数的估算即可得．
【解析】解：，
，
，
，
即的值在3和4之间，
故选：B．
6．化简计算：=_________．
【答案】40
【分析】首先把被开方数转化为42（62+82）=42×100，然后化简即可.
【解析】解： ，
答案为40.
7．计算：=_________．
【答案】1
【分析】利用平方差公式计算．
【解析】解：
=
=3-2
=1．
故答案为1
8．＝_____．
【答案】
【分析】根据二次根式乘除运算法则计算即可．
【解析】原式=
故答案为：．
9．分母有理化_______．
【答案】
【分析】分子，分母同乘以，利用平方差公式化简解题．
【解析】解：
故答案为：．
题组C 培优拔尖练
1．下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用二次根式的性质，除法法则和加减法则进行计算即可．
【解析】解：A、，故原题计算正确；B、=3，故原题计算错误；C、和不能合并，故原题计算错误；D、=|-4|=4，故原题计算错误；故选：A．
2．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解析】解：A、被开方数里含有分母，故本选项错误；B、，被开方数里含有能开得尽方的因式，故本选项错误；C、被开方数里含有能开得尽方的因数9，故本选项错误；D、符合最简二次根式的条件，故本选项正确．故选：D．
3．当时，化简二次根式，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判断 再利用进行化简即可.
【解析】解：


故选D
4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的方格的边长均为1，则点到边的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作于点，由勾股定理得出，再根据面积法可得的长．
【解析】解：过点作于点，
由勾股定理得：，
，
∴，
，
故选：C．
5．等式成立的条件是（ ）
A．B．且
C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义，分式有意义的条件列出不等式求解即可．
【解析】解：根据题意得，，
∴，
∴
故选D．
6．下列等式：①；②＝2＋；③＝4，其中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】利用负整数指数幂的含义及二次根式的除法运算可判断①，利用二次根式的除法运算可判断②，利用二次根式的化简可判断③，从而可得答案．
【解析】解： 故①错误；
故②错误；
故③正确，
故选：
7．使等式成立的条件时，则的取值范围为 ___．
【答案】
【分析】由二次根式有意义的条件可得再解不等式组即可得到答案.
【解析】解： 等式成立，

由①得：
由②得：
所以则的取值范围为
故答案为：
8．已知：若的整数部分为a，小数部分为b，则3a﹣（b+3）2＝_____．
【答案】-1
【分析】先估算无理数的范围，求出a、b的值，代入求出即可．
【解析】解：∵3＜＜4，
∴整数部分a＝3，小数部分b＝﹣3，
∴3a﹣（b+3）2＝3×3﹣（﹣3+3）2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
9．化简的结果是 ___．
【答案】
【分析】直接根据二次根式的除法法则进行化简即可得到答案．
【解析】＝＝．
故答案为：
10．已知m是的小数部分，求＝ ___________．
【答案】2
【分析】根据题意知m=-1，将所求式子进行通分化简，再将m的值代入即可求解．
【解析】解：由题意，知m=-1，
=
=
当m=-1时，原式=====2．
故答案为2．
11．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）15；（2）．
【分析】（1）根据二次根式的乘除运算性质计算即可；
（2）根据二次根式的性质化简即可；
【解析】（1）原式=．
（2）原式= ．
12．先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，即，，那么便有
例如：化简：
解：首先把化为，这里，
因为，
即，
所以
根据上述方法化简：（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】根据，，即，代入计算即可；
【解析】（1）根据题意，可知，，因为，，
即，，
所以；
（2）根据题意，可知，，因为，
即，，
所以．
13．小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．，．这样小明就找到了把总分的代数式化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若，用含m、n的代数式分别表示a、b，则：______，_________；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：．
（3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值．
【答案】（1）m2＋3n2，，2mn；（2）13，4，1，2；（3）13或7
【分析】（1）已知等式右边利用完全平方公式展开，表示出a与b即可；
（2）令m＝1，n＝2，确定出a与b的值即可；
（3）根据第（1）题的结论，结合a、m、n均为正整数，即可求解．
【解析】解：（1）∵，
又∵，
∴a＝m2＋3n2，b＝2mn；
故答案为m2＋3n2，，2mn；
（2）令m＝1，n＝2，则a＝m2＋3n2＝1＋3×4＝13，b＝2mn＝4，
∴13＋4＝（1＋2）2；
故答案为13，4，1，2；
（3）由（1）可知：a＝m2＋3n2，4＝2mn，
∴a＝m2＋3n2，mn=2，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=2或m=2，n=1，
∴a＝12＋3×22=13或a＝22＋3×12=7，即a=13或7．
14．由得，；如果两个正数a，b，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当，式子的最小值为______________；当，则当__________时，式子取到最大值；
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值．
【答案】（1）2；-3；（2）长为8，宽为4；最短篱笆为16；（3）32+8．
【分析】（1）直接套公式计算，取相反数后，套用公式计算即可；
（2）设篱笆的长为，则宽为，则篱笆的周长为，套用公式计算即可；
（3）设点B到AC的距离BE=，点D到OC的距离DF=，用，，表示四边形的面积，后套用公式计算即可．
【解析】（1）∵，
∴，
∴式子的最小值为为2，
故答案为：2；
∵，
∴＞
∴，
当且仅当，时，等号成立，
解得不符合题意，舍去，取，
∴，
∴，
∴当时，式子取到最大值，
故答案为：-3；
（2）设篱笆的长为，则宽为，∴篱笆的周长为,
∵，
∴，
当且仅当，时，等号成立，解得或（舍去），
∴=4，
∴长方形的长为8米、宽为4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米；
（3）设点B到AC的距离BE=，点D到OC的距离DF=，
∵、的面积分别是8和14，
∴OA=，OC=，
∴AC=OA+OC=+，
∴
(+)
=++，
∵，
∴+，
∴++，
∴四边形面积的最小值．
课程标准
课标解读
理解二次根式的乘、除运算
1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算。
2.了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简。