苏科版九年级数学上册同步精品讲义 第10讲 正多边形与圆（学生版+教师版）

这是一份苏科版九年级数学上册同步精品讲义 第10讲 正多边形与圆（学生版+教师版），文件包含苏科版九年级数学上册同步精品讲义第10讲正多边形与圆教师版docx、苏科版九年级数学上册同步精品讲义第10讲正多边形与圆学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共38页， 欢迎下载使用。
目标导航
知识精讲
知识点01 正多边形的概念
1.各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
【微点拨】
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：
（1）各边相等；
（2）各角相等；缺一不可
2.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
3.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
4.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是.
【即学即练1】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CBD的度数是（ ）
A．30°B．36°C．60°D．72°
【答案】B
【解析】解：∵正五边形ABCDE中，
∴∠BCD==108°，CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=（180°-108°）=36°，
故选：B．
知识点02 正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
【即学即练2】正十边形的中心角是（ ）
A．18°B．36°C．72°D．144°
【答案】B
【解析】正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36°
故选：B
知识点03 正多边形的画法
1.用量角器等分圆:由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆:对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图(以正四、八边形为例)。

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。
【微点拨】画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
【即学即练3】尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【解析】如图，正方形ABCD即为所求．
能力拓展
考法01 正多边形
【典例1】如图，分别是正五边形各边的中点．求证：五边形是正五边形．
【解析】证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，
又∵H，I，J，K，L分别是各边的中点，
∴AH＝HB＝BI＝IC＝CJ＝JD ＝DK＝KE＝EL＝AL．
∴△AHL≌△BIH≌△CIJ≌△DJK≌△ELK（SAS），
∴HL＝LK＝KJ＝JI＝IH，∠AHL=∠BIH=∠CJI=∠DKJ=∠ELK,∠ALH=∠BHI=∠CIJ=∠DJK=∠EKL，
∵180°-∠AHL-∠ALH=180°-∠BIH-∠BHI=180°-∠CJI-∠CIJ=180°-∠DKJ-∠DJK=180°-∠ELK-∠EKL，
∴∠LHI＝∠HIJ＝∠IJK＝∠JKL＝∠KLH，
∴五边形HIJKL是正五边形．
考法02 尺规作图：正多边形
【典例2】如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中的边上求作点，使；
(2)在图2中的边上求作点，使．
【解析】(1)连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；
理由：
∵⊙O为正五边形的外接圆，
∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．
∵点M在直线AO上，
∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，
∴CF与DG关于直线AO对称．
∴DG=CF．
(2)在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
分层提分
题组A 基础过关练
1．我国魏晋时期的数学家刘徽发现在圆的内接正多边形边数加倍的过程中，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，他首创了利用圆的内接正多边形确定圆周率．这种确定圆周率的方法称为（ ）
A．正负术B．方程术C．割圆术D．天元术
【答案】C
【解析】解：由题意可知：利用圆的内接正多边形确定圆周率．这种确定圆周率的方法称为“割圆术”．
故选：C．
2．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（ ）
A．72°B．60°C．48°D．36°
【答案】A
【解析】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为，
故选：A．
3．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆B．任何三角形有且只有一个内切圆
C．相等的圆心角所对的弧相等D．正多边形一定是中心对称图形
【答案】B
【解析】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
B、任何三角形有且只有一个内切圆，正确；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
D、边数是偶数的正多边形一定是中心对称图形，故错误；
故选：B．
4．如图，四边形ABCD是园内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=110°，则∠DCE的大小是（ ）
A．70°B．105°C．110°D．120°
【答案】C
【解析】解：四边形ABCD是圆内接四边形



故选C
5．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为_____°．
【答案】54
【解析】解：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD==72°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=×（180°-72°）=54°，
故答案为：54．
6．一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．
【答案】12
【解析】解：∵一个正多边形的中心角是30°，
∴这个多边形是：360°÷30°＝12，即正十二边形，
故答案为：12．
7．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是__________．
【答案】六
【解析】解：设正多边形的边数为n．
由题意得，＝60°，
∴n＝6，
故答案为：六．
8．如图，把分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果的周长为，那么该正六边形的边长是______．

【答案】6
【解析】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
∵正六边形ABCDEF，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，
∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，
∵的周长为，
∴的半径为，
正六边形的边长是6；
9．如图，正方形和正六边形均内接于，连接；若线段恰好是的一个内接正边形的一条边，则_______．
【答案】12．
【解析】解：如图所示，连接OA、OD、OH，
∵正方形和正六边形均内接于，
∴∠AOD=，
∠AOH=，
∴∠DOH=∠AOD-∠AOH=90︒-60︒=30︒，
∴n=,
故答案为：12．
10．如图，四边形的顶点都在上，， 则_____________
【答案】
【解析】解：∵四边形的顶点都在上，
∴，
，
故答案为：
题组B 能力提升练
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．正多边形都是中心对称图形B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．边数大于3的正多边形的对角线长都相等D．各边相等的圆外切多边形是正多边形
【答案】B
【解析】解：A、边数是偶数的正多边形都是中心对称图形，边数是奇数的正多边形不是中心对称图形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、正六边形的边长等于其外接圆的半径，本选项说法正确，符合题意；
C、边数大于3的正多边形的对角线长不都相等，可以以正八边形为例得出对角线长不都相等，故本选项说法错误，不符合题意；
D、各边相等的圆外切多边形不一定是正多边形，例如，圆外切菱形边数正多边形，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
2．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．40°B．41°C．49°D．50°
【答案】A
【解析】如图所示，∵六边形为正六边形
∴∠1+∠3=120°，∠5=60°
∵∠1=20°
∴∠3=100°
∵∠3=∠4+∠5
∴∠4=100°-60°=40°
∵光线平行
∴∠2=∠4=40°．
故选A．
3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为弧DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD等于（ ）
A．36°B．40°C．60°D．72°
【答案】A
【解析】解：如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD==72°，
∴∠CPD=∠COD=36°，
故选：A．
4．如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【解析】解：连接OB，OC，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，
故选：C．
5．如图，在正六边形中，连接，则____________度．
【答案】30
【解析】
连接BE，交CF与点O，连接OA，
在正六边形中，
，
，
故答案为：30．
6．已知正六边形的边长为，那么它的边心距等于__________．
【答案】
【解析】解：如图，在正六边形中，边长AB=6cm，O为正六边形的中心，过点O作OG⊥AB于点G，连接OA、OB，
根据题意得：∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AG=BG=3，OA=OB=AB=6cm，
在中，，
即它的边心距等于cm．
故答案为：
7．半径为6的圆内接正三角形的边心距为__________．
【答案】3
【解析】如图所示，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，
则∠ODC=90°，
∵∠BOC= ，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴,
即边心距为3，
故答案为：3．
8．如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n=_______．
【答案】12
【解析】解：连接OA、OB、OC，如图，
∵AC，AB分别为⊙O的内接正方形与内接正三角形的一边，
∴∠AOC==90°，∠AOB==120°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°，
∴n==12，
即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为：12．
9．如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．

【答案】亭子地基的周长为24m，地基的面积为41.6m2．
【解析】如图，连接．因为六边形是正六边形，所以它的中心角∠BOC等于是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．
因此，亭子地基的周长．
作，垂足为P．在中，∠POC=90°-60°=30°
∴，
利用勾股定理，可得边心距．
亭子地基的面积．
10．如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D．
（1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___．
（2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图：
①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．
②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．

【答案】（1）；（2）①见解析，②见解析
【解析】（1），
∵O为三角形的外心，
∴O为三角形三边中垂线的交点，
又∵三角形为等边三角形，
∴可得CD垂直平分AB，
根据垂径定理可得：；
（2）①如图所示，在（1）的基础之上，连接AO，并延长至E，连接BO，并延长至F，顺次连接圆周上各点即可；
②如图所示：（方法不唯一）
题组C 培优拔尖练
1．如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】D
【解析】解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图

符合条件的格点C的个数是6个
故选：D．
2．用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在上任取一点A，连接AO并延长交于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交于C，D两点；③连接CO，DO并延长分别交于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，EF，交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A．的内心与外心都是点GB．
C．点G是线段EF的三等分点D．
【答案】D
【解析】解：如图，
在正六边形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，
∵OF=OA=OE=OD，
∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形，
∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，
∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，
∴AD⊥OE，EF⊥OA，
∴△AOE的内心与外心都是点G，故A正确，
∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，
∴∠FAD=90°，
∵∠AFE=30°，
∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正确，
∵∠GAE=∠GEA=30°，
∴GA=GE，
∵FG=2AG，
∴FG=2GE，
∴点G是线段F的三等分点，故C正确，
∵AF=AE，∠FAE=120°，
∴EF=AF，故D错误，
故选：D．
3．如图，正五边形ABCDE内接于，PD与相切于点D，连接OE并延长，交PD于点P，则∠P的度数是（ ）
A．36°B．28°C．20°D．18°
【答案】D
【解析】如图：连接
与相切于点
正五边形内接于
所对的圆心角的度数为：
故选：
4．如图，用四根长为8cm的铁丝，首尾相接围成一个正方形（接点不固定），要将它的四边按图中的方式向外等距离移动a cm，同时添加另外四根长为8cm的铁丝（虚线部分）得到一个新的正八边形，则a的值为（ ）
A．7cmB．8cmC．D．
【答案】C
【解析】解：如图，由题意可知：△ABC是等腰直角三角形，AB=8，AC=BC=a．
则有：a2+a2=82，
∴a=或-（舍弃）
故选：C．
5．已知一个正六边形外接圆的半径为8cm，则该正六边形的边心距长为 _____．
【答案】cm
【解析】解：如图：连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G
∵在Rt△AOG中，OA=8，∠AOG=30°，
∴AG=4
∴OG= ．
故答案为：cm．
6．如图，在正五边形ABCDE中，AD与BE相交于点O，则∠AOB的大小为______度．
【答案】72
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB=∠ABC=，
∵BA=BC，
∴∠ABE=∠AEB=36°，
同理∠EAD=36°，
∴∠AOB=∠AEB+∠EAD=36°+36°=72°，
故答案为：72°．
7．请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：⊙O，点A在圆上．
求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．
【答案】见解析
【解析】如图，四边形ABCD即为所求作．
8．如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M．
（1）求证：AC∥ED；
（2）求证：ME＝AE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】解：∵正多边形必有外接圆，
∴作出正五边形的外接⊙O，则的度数为，
∵ ∠EAC的度数等于的度数的一半，
∴ ∠EAC＝，
同理，∠AED＝×72°×3＝108°，
∴ ∠EAC+∠AED＝180°，
∴ ED∥AC；
（2）∵∠AEB的度数等于的度数的一半，
∴∠AEB=36°，
∴∠EMA＝180°－∠AEB－∠EAC＝72°，
∴ ∠EAM＝∠EMA＝72°，
∴ EA＝EM．
9．已知等腰中，AB＝AC．
（1）如图1，若为的外接圆，求证：；
（2）如图2，若，，I为的内心，连接IC，过点I作交AC于点D，求ID的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接OB、OC，∵AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上
又∵OB＝OC，∴O也在BC的垂直平分线上
∴
（2）连接AI并延长交BC于点F，过点I分别作于点G，于点H

∵，I为的内心，∴，，
∴
设，由
可得：
∴
设，则，
∴
解得： 即
∵，平分
∴
∴设，
在中，
∴解得：
∴
10．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是 90°，图③中∠APB的度数是 72°；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
【答案】（1）120°；（2）=，=；（3）能，∠APB=
【解析】（1）∠APB=120°（如图①）
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°；
（2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°．
（3）由（1），（2）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，∠APB=．
课程标准
课标解读
了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
1.了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系
2.能够运用尺规作图画正多边形。