苏科版九年级数学上册同步精品讲义 第12讲 圆锥的侧面积（学生版+教师版）

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知识精讲
知识点01 圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积?侧=???2360=???，
圆锥的全面积:S全=S侧+S底=πrl+πr2.
【微点拨】
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【即学即练1】若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．2cm2B．24cm2C．D．
【答案】C
【解析】解：∵圆锥底面半径为3cm，母线长为4cm，
∴圆锥的侧面积为．
故选：C．
【即学即练2】如图，一个圆锥形漏斗的底面半径OA＝5cm，高OC＝12cm．则它的侧面积是（ ）
A．130cm2B．65cm2C．60cm2D．30cm2
【答案】B
【解析】解：Rt△AOC中，AC=，
圆锥侧面积，
故选： B．
能力拓展
考法 圆锥侧面积的有关计算
【典例1】如图，从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为多少？
【答案】cm
【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r cm，
根据题意得2πr＝，
解得r＝6，
所以这个圆锥的高＝（cm）．
【典例2】如图，有一直径是的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC．
(1)求AB的长；
(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径．
【答案】(1)1；(2)
【解析】(1)连接BC，如图
∵，
∴BC为⊙O的直径，其，
∴；
(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得，
解得：．
分层提分
题组A 基础过关练
1．一个圆锥的底面半径是2，母线长是4，则这个圆锥的表面积为（ ）
A．4πB．20π
C．8πD．12π
【答案】D
【解析】圆锥的表面积为：，
故选：D．
2．某圆锥母线长为60，其侧面展开图是圆心角为108°的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．36B．18C．D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面圆半径为rcm，
根据题意得，
解得r=18，
即圆锥的底面圆半径为18cm．
故选 B．
3．底面半径为3，高为4的圆锥侧面积为（ ）
A．15πB．20πC．25πD．30π
【答案】A
【解析】∵圆锥的底面半径为3，高为4
∴母线长为
∴圆锥侧面积．
故本题选A
4．若圆锥的侧面展开图是一个半圆，该半圆的直径是4cm，则圆锥底面的半径是（ ）
A．0.5cmB．1cmC．2cmD．4cm
【答案】B
【解析】解：由题意，底面圆的周长为：，
∴底面圆的半径为：（cm），
故选：B
5．已知圆锥的母线长为6，侧面展开图的面积是12π，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】解：∵母线为6，设圆锥的底面半径为x，
∴圆锥的侧面积=π6x=12π．
解得：x=2．
故选：B．
6．为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽，生日帽的底面圆半径为，高为，则该扇形纸片的面积为________．
【答案】
【解析】解：生日帽的底面圆半径为，高为，
∴圆锥的母线长为，
∵底面圆半径为，
∴底面周长为，
∴该扇形纸片的面积为：．
故答案为：．
7．第十四届全运会在陕西西安开幕，九年级（2）班李明同学利用扇形彩色纸，制作了一个圆锥形火炬模型，如图是火炬模型的侧面展开图（接痕忽略不计），已知扇形彩色纸的半径为45cm，圆心角为40°，则这个圆锥的侧面积_______．（结果保留）
【答案】225π
【解析】解：∵扇形的面积=()．
∴圆锥的侧面积为225π，
故答案为：225π．
8．若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是，则该圆锥的母线长为________．
【答案】4
【解析】解：设该圆锥的母线长为l，根据题意得：
，
解得：，
即该圆锥的母线长为4．
故答案为：4
9．若圆锥的底面圆半径为2cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为______．
【答案】10π
【解析】解：这个圆锥侧面展开图的面积=•2π•2•5=10π．
故答案为：10π．
10．如图，在△BOC中，∠COB=90°，OC=12，OB=5，将△BOC绕边OC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的全面积是________．
【答案】90π
【解析】解：由已知得，母线长l=13，半径r为5，
∴圆锥的侧面积是s=πrl=5×13×π=65π，
底面积是πr2=52π=25π，
∴全面积为65π+25π=90π，
故答案为：90π．
题组B 能力提升练
1．一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：根据题意得：圆锥侧面展开图的弧长为，
∴圆锥侧面展开图的面积是．
故选：C
2．如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）
A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2
【答案】C
【解析】解：在中，
cm，
∴它侧面展开图的面积是cm2．
故选：C
3．如图，斗笠是一种遮挡阳光和蔽雨的编结帽，它可近似看成一个圆锥，已知该斗笠的侧面积为550πcm2，AB是斗笠的母线，长为25cm，AO为斗笠的高，BC为斗笠末端各点所在圆的直径，则OC的值为（ ）
A．22B．23C．24D．25
【答案】A
【解析】解：∵侧面积为550π cm2，母线长为25cm，
∴×l×25=550π解得l=44π，
∵2πr=44π，
∴OC=r=22，
故选：A．
4．已知圆锥的底面半径为，高线长为，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：∵圆锥底面半径为3cm，高线长为4cm，
∴圆锥的母线长为：
∴圆锥的侧面积为
故选：C．
5．若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为________cm．
【答案】
【解析】解：设圆锥底面半径为rcm，
则圆锥底面周长为：cm，
∴侧面展开图的弧长为：cm，
∴，
解得：r=，
故答案为：．
6．已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的侧面展开图的面积为________．
【答案】
【解析】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，
∴，
∴该圆锥的侧面展开图的面积为．
故答案为：．
7．如图，圆锥的母线长，底面圆的直径，则该圆锥的侧面积等于________．（结果用含的式子表示）
【答案】
【解析】解：根据题意，
∵圆锥的母线长，底面圆的直径，
∴圆锥的侧面积为：
；
故答案为：；
8．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____．
【答案】
【解析】解： 设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，
故答案为：．
9．如图所示，扇形OAB的面积为4π cm2，∠AOB=90°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面．求这个圆锥的底面圆的半径．
【答案】
【解析】解：设这个圆锥的底面半径为，
由题意得，解得，
所以，解得．
所以这个圆锥的底面半径为．
10．如图，圆锥的底面半径，高，求该圆锥的侧面积．
【答案】
【解析】解：由题意得，
在中，
答：该圆锥的侧面积为．
题组C 培优拔尖练
1．已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：由题意知，圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长为，
∴圆锥侧面展开图的面积为，
故选B．
2．如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：根据题意，
圆锥形烟囱帽的底面周长为：；
∵圆锥的侧面展开图为半圆形，
∴，
∴；
∴它的母线长为；
故选：D
3．如图，是的外接圆，，若扇形OBC（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：根据圆的性质，
∵，
∵
∴
∴
∴圆锥底面圆的半径为：
∴圆锥的高
故选：D
4．已知圆锥的底面积为，高为，则圆锥的侧面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：设底面半径为r，
由题意得：，
解得：r=3（负值舍去），
∴圆锥的底面半径是3cm，
∴圆锥母线长为：（cm），
∴圆锥的侧面展开图的面积为：（cm2）．
故选：B
5．若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为，则它的母线长为_______．
【答案】
【解析】设圆锥的母线长为，由题意可知展开扇形的弧长，
，
，
．
故答案为：．
6．已知圆锥的高为8，母线长为10，则其侧面展开图的面积为_______．
【答案】60πcm2
【解析】解：圆锥的高为8cm，母线长为10cm，由勾股定理得，底面半径=6cm，底面周长=12πcm，
侧面展开图的面积=×12π×10=60πcm2．
故答案为：60πcm2．
7．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC、AE，用图中阴影部分作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．
【答案】
【解析】解：∵正六边形ABCDEF的边长为4，
∴AB=BC=4，
，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴，
如图，过B作BHAC于H，
∴AH=CH=AC，
，
在RtABH中，
，
∴，
同理可求∠EAF=30°，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴r=，
故答案为：．
8．如图，正方形的边长为8，以点A为圆心，长为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径是_________．
【答案】1
【解析】解：∵正方形的边长为8
∴
∵是正方形的对角线
∴
∴
∴圆锥底面周长为，解得
∴该圆锥的底面圆的半径是1
故答案为：1
9．如图所示，D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连结AB，AC，AD，E为AD上一点，连结BE，CE．
（1）求证：BE = CE．
（2）以点E为圆心作与BC相切，分别交BE，CE于点F，G．若BC = 4，∠EBD = 30°，求扇形FEG的面积
（3）若用扇形FEG围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径．
【答案】（1）见解析（2）扇形FEG的面积为．（3）圆锥的底面圆的半径为．
【解析】（1）证明：由题意可知：，为等边三角形，
点是BC的中点，
是等边的中线，且，
，

，
．
（2）解：如图所示：
与BC相切，且，
点是切点，并且是该扇形的半径，
，且，
，
，
在中，，
，
是BC的中点，

在中，由勾股定理可知：，解得，
扇形FEG的面积为．
（3）解：设圆锥底面圆半径为，
扇形FEG的弧长为： ，
扇形FEG的弧长等于其围成的圆锥的底面圆的周长，
，解得 ，
故圆锥的底面圆的半径为．
10．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(1，4)、B(﹣3，4)、C(﹣4，3)，请在网格图中进行如下操作：
（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置，则圆心M点的坐标为 ；
（2）若扇形MAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径r．
【答案】（1）（1，1）；（2）
【解析】解：（1）如图，圆心M点的坐标为（-1，1）．
故答案为：（-1，1）；
（2）根据勾股定理可得，MA=MC=，
AC=，
∴MA2+MC2=AC2，
∴△ACM为等腰直角三角形，∠AMC=90°，
根据题意得2πr=，解得：r=，
即该圆锥的底面圆的半径长r为．
11．如图，有一四边形的铁片，，，，．以点为圆心，为半径作圆弧得一扇形．
（1）求阴影部分的面积；
（2）剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，求该圆锥的底面圆半径．
【答案】（1）；（2）圆锥的底面圆半径为
【解析】解：（1）在中，∵，，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，．
过点C作CE⊥BD于E，
∴，
∴
∴；
（2）由（1）知的长为，
设该圆锥的底面圆半径为，则，
解得．
故该圆锥的底面圆半径为．
12．在一次数学探究学习活动中，某数学兴趣小组计划制作一个圆锥体模型（尺寸大小如下图①，单位为cm），操作规则是：在一张正方形的纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．经过初步商量后，兴趣小组设计了两种方案（如图），最后发现根据方案一无法制作出相关模型．（两方案的图中，两圆圆心、与正方形纸片的顶点C在同一条直线上）
（1）请根据圆锥体模型的尺寸（如图①），求出该圆锥体的全面积．（结果保留）
（2）请说明方案一不可行的理由．
（3）兴趣小组根据方案二最终成功制作出圆锥体模型，求方案二中正方形纸片的边长．
【答案】（1）；（2）见详解；（3）正方形的边长为
【解析】解：（1）由题意得：圆锥的母线长为16，底面圆的半径为4，
∴圆锥的全面积为：；
（2）设圆与正方形相切于点E，连接，如图所示：
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
解得：，
∴的长为，圆的周长为，
∵，
∴方案一不可行；
（3）设圆与正方形相切于点F，连接，如图所示：
设，
∴由圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长可得：，
解得：，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
∴正方形的边长为．
课程标准
课标解读
1.经历探索圆锥侧面积计算公式的过程,发展探究能力,空间想象能力,以及把空间问题转化为平面问题的能力.
2.会运用圆锥侧面积计算公式解决有关问题
掌握圆锥的侧面积计算公式的推导；并能应用所学公式解决相关问题。