苏科版九年级数学上册同步精品讲义 第02讲 一元二次方程的解法（学生版+教师版）

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知识精讲
知识点01 直接开方法解一元二次方程
1．直接开方法解一元二次方程：
（1）直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
（2）能用直接开平方法解一元二次方程的类型：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=0；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
【即学即练1】解方程：
(1)4（2x﹣1）2﹣36＝0
(2)（y＋2）2＝（3y﹣1）2
知识点02 配方法解一元二次方程
1．配方法解一元二次方程：
（1）配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
（2）用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
【即学即练2】用配方法解方程
知识点03 公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值；
④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根.
【即学即练3】解一元二次方程：．
知识点04 因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
【即学即练4】解方程：
(1)．
(2)．
能力拓展
考法01 一元二次方程的解法
【典例1】解方程：
(1)；
(2)2x2  3x 1  0 ．
【典例2】教材中这样写道：“我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2﹣2ab＋b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2＋2x﹣3
原式＝（x2＋2x＋1）﹣4＝（x＋1）2﹣4＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）；
例如：求代数式x2＋4x＋6的最小值
原式＝x2＋4x＋4＋2＝（x＋2）2＋2，∵（x＋2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，x2＋4x＋6有最小值是2
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：m2﹣4m﹣5＝ ；
(2)求代数式x2﹣6x＋12的最小值；
(3)若y＝﹣x2＋2x﹣3，当x＝ ．时，y有最 值（填“大”或“小”）， 这个值是 ；
(4)当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2＋b2＋c2﹣6a﹣10b﹣8c＋50＝0时，判断△ABC的形状并说明理由．
考法02 一元二次方程根的判别式
【典例3】已知关于的一元二次方程．
(1)不解方程，判断此方程根的情况；
(2)若是该方程的一个根，求代数式的值．
分层提分
题组A 基础过关练
1．方程x2＝4的根为( )
A．x1＝x2＝2B．x1＝2，x2＝－2
C．x1＝x2＝D．x1＝，x2＝－
2．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
4．一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤2B．k≠0C．且k≠0D．k＜2
5．一元二次方程在用求根公式求解时，a，b，c的值是（ ）
A．3，―1，―2B．―2，―1，3C．―2，3，1D．―2，3，―1
6．如果二次三项式x2＋px＋q能分解成（x＋3）（x﹣1）的形式，则方程x2＋px＋q＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝1B．x1＝﹣3；x2＝﹣1C．x1＝3；x2＝﹣1D．x1＝3；x2＝1
题组B 能力提升练
1．关于x的方程无实数解，则m的取值范围________．
2．用配方法将方程变为的形式，则________．
3．已知实数满足x2＋3x﹣y﹣3＝0，则x＋y的最小值是______．
4．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则值为__________．
5．若关于x的一元一次方程有两个相等的实数根，则实数m=_________．
6．已知y＝m+1是一次函数，则m＝_____．
7．方程的根是__．
8．已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则a2+b2＝___．
9．解方程：
(1)
(2)
10．解方程：
(1)；
(2)．
题组C 培优拔尖练
1．已知一元二次方程式的两根为、，且，求之值为何？（ ）
A．9B．C．D．
2．用配方法解一元二次方程 x210x＋11＝0，此方程可化为（ ）
A．（x－5）2＝14B．（x＋5）2＝14C．（x－5）2 ＝36D．（x＋5）2 ＝36
3．对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．无实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法判定
4．已知两个关于x的一元二次方程，其中．下列结论错误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．
6．关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）
A．AB．BC．CD．D
7．已知关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若y是关于a的函数，且，当时，a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知实数x，y满足且，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
9．利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则mn=______．
10．已知关于x的方程．对于以下三个命题：
①当时，方程只有一个实数解；
②当时，方程有两个实数解；
③无论m取何值，方程都有一个负数解．
正确的命题是______（填序号）．
11．已知a是实数，且，那么的值为______．
12．方程的解是_______．
13．选择适当的方法解下列方程：
(1)-2x=99
(2)+3（2x-1）=0
(3)-5（-x）+6=0．
14．已知关于x的一元二次方程（m为常数）．
(1)若它的一个实数根是关于x的方程的根，求m的值；
(2)若它的一个实数根是关于x的方程的根，求证：．
15．已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x＋3k﹣3＝0
(1)求证：无论k取何值，方程都有实根；
(2)若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
(3)若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
16．先阅读，后解题．
已知，求m和n的值．
解：将左边分组配方：．即．
∵，，且和为0，
∴且，∴m＝－1，n＝－3．
利用以上解法，解下列问题：
(1)已知：，求x和y的值．
(2)已知a，b，c是的三边长，满足且为直角三角形，求c．
17．我们知道，对于任意一个实数a，具有非负性，即“”．这个结论在数学中非常有用．很多情况下我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题．
例如：
∵
∴
∴
(1)填空： _______；
(2)请用作差法比较与的大小，并写出解答过程；
(3)填空：的最大值为_______．
课程标准
课标解读
能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程
1．了解直接开方法的概念，会用直接开平方法解一元二次方程；
2．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；
3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.
4. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；
5. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
A
B
C
D
两边同时除以（x﹣1）得，x＝3
整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，
b2﹣4ac＝28
∴x＝＝2±
整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1
∴（x﹣2）2＝﹣1
∴x﹣2＝±1
∴x1＝1，x2＝3
移项得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0
∴x1＝1，x2＝3