苏科版九年级数学上册同步精品讲义 第04讲 用一元二次方程解决问题（学生版+教师版）

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知识精讲
知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
【即学即练1】某菜农大量种植蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售，因销售不利，为减少损失，菜农决定降价出售，经过两次下调售价后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．求每次下调的百分率．
【答案】每次下调的百分率为20%
【解析】解：设每次下调的百分率为x，
依题意得：5（1﹣x）2＝3.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝2.2（不合题意，舍去）．
答：每次下调的百分率为20%．
【即学即练2】某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为18000个，1月底市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到21780个．
(1)求口罩日产量的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【答案】(1)口罩日产量的月平均增长率为10%
(2)预计4月份平均日产量为23958个
【分析】(1)解：设口罩日产量的月平均增长率为x，
根据题意，得18000（1＋x）2＝21780，
解得x1＝−2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%；
(2)解：21780×（1＋10%）＝23958（个）．
答：预计4月份平均日产量为23958个．
知识点02 一元二次方程应用题的常见题型
1.数字问题
任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成。因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
2.利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
5.面积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
【即学即练3】某水果店标价为10元/kg的某种水果经过两次降价后价格为8.1元/kg，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该水果每次降价的百分率；
(2)从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg，设销售该水果第x天（1≤x＜10）的利润为377元，求x的值．
【答案】(1)10%；(2)9
【分析】(1)设该水果每次降价的百分率为y，依题意，得10（1－y）2＝8.1，
解得y1＝0.1＝10%，y2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：该水果每次降价的百分率为10%．
(2)依题意，得，
解得x1＝9，x2＝11（舍去）．
答：x的值为9．
【即学即练4】在学校劳动基地里有一块长50米、宽30米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图，已知这块矩形试验田中种植的面积为1421米2，小道的宽为多少米？
【答案】小道的宽为1米
【解析】解法1：设小道的宽为x米，
则依题意，得
整理，得
解这个方程，得，（不合题意，舍去）
答：小道的宽为1米．
解法2：设小道的宽为x米，
则依题意，得
整理化简，得
解这个方程，得，（不合题意，舍去）
答：小道的宽为1米．
能力拓展
考法01 增长率问题
【典例1】深圳著名“网红打卡地”东部华侨城在2018年春节长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客奖达28.8万人次．一家特色小面店希望在五一长期限期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．
(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；
(2)为了更好地维护深圳城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？
【答案】(1)20%；(2)20元
【分析】(1)解：设年平均增长率为x，依题意有
20（1＋x）2＝28.8，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：年平均增长率为20%；
(2)每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意有
（y﹣6）[300＋30（25﹣y）]＝6300，
解得y1＝20，y2＝21，
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝20．
答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．
考法02 销售问题
【典例2】2021年12月9日，太空课堂在中国的空间站举行，奇妙的太空试验极大地激发了青少年对探索太空的兴趣．某玩具店为满足广大青少年顾客的需求，以每个40元的进价购买了一批“天宫号空间站”的模型玩具，并以每个60元的价格出售，平均每天可售出100个．后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10个．设每个玩具的单价降低x元．
(1)请用含x的代数式表示：每个模型玩具的利润为_____元，每天可售出的模型玩具的数量为______个；
(2)若该玩具店销售这种模型玩具要想平均每天获利2240元，并尽可能让利于顾客，赢得市场，每个玩具的定价应为多少元？
【答案】(1)，；(2)54
【分析】(1)解：每个模型玩具的利润为60-x-40=（20-x）元；
每天可售出的模型玩具的数量为个；
故答案为：，
(2)解∶
解得，
∵尽可能让利于顾客，
∴（舍去）
∴，
答：每个玩具的定价应为54元．
考法03 数字问题
【典例3】2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
【答案】5
【解析】解：设这个最小数为．
根据题意，得．
解得，（不符合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
分层提分
题组A 基础过关练
1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，每个支干长出的小分支数目为（ ）
A．12B．11C．8D．7
【答案】A
【解析】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1=157，
即（x+13）（x-12）=0，
解得：x=12或x=-13（不合题意，应舍去）；
∴x=12．
故选：A．
2．某电影上映第一天票房收入约1亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到4亿元．若增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：由题意得：；故选D．
3．在校园的一块正方形空地上划出部分区域搞绿化，如图，原空地一边减少，另一边减少，剩余空地的面积为，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：设原正方形空地的边长为，则可列方程为，故选：C．
4．香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载．某水果店以每千克10元的进价进了一批香水梨，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该水果店想平均每天获利408元，设这种香水梨的售价上涨了元，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设这种香水梨的售价上涨了x元，
依题意可列方程为：，
故选：B．
5．把48张图片平均分给若干名学生，每人分得的图片数比学生人数少2．设学生有人，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】解：因为有48张图片，学生有x人，
则每人分得的图片数为，
因为每人分得的图片数比学生人数少2，
所以，
变形得：，
故选 B．
6．参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：设有x个队参赛，则；故选B
题组B 能力提升练
1．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是______人．
【答案】11
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得：（舍去），
故答案为：11．
2．根据国家“两免一补”的助学政策，某市2021年投入教育经费4500万元，预计2023年投入5600万元．设这两年投入教育经费的平均年增长率为，则可列方程为_____________．
【答案】
【解析】根据题意，得．
故答案为：．
3．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为____________________________．
【答案】
【解析】解：设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：．
故答案为：．
4．现要在一个长为35m，宽为22m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为625m²，设小道的宽为xm，则根据题意，课列方程为________．
【答案】
【解析】解：设小道的宽为x m，则种植花草的部分可合成长（35-2x）m，宽（22-x）m的矩形，
依题意得：，
故答案为．
5．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___．
【答案】84
【解析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：
x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
解得：x1＝8，x2＝1.5（舍），
∴x﹣4＝4，
∴10x+（x﹣4）＝84．
答：这个两位数为84．
故答案为：84
6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价x元，由题意列得方程______．
【答案】
【解析】解：设每件衬衫降价x元，根据题意得，
故答案为：
7．新冠肺炎全球蔓延，为防控疫情，做到有“礼”有“距”，“碰肘礼”逐渐流行起来．某次会议上，每两个参加会议的人都相互一次“碰肘礼”，经统计所有人共碰肘36次，则这次会议到会人数是 _____人．
【答案】9
【解析】解：设这次会议到会人数是x人，
依题意得：x（x−1）＝36，
整理得：x2−x−72＝0，
解得：x1＝9，x2＝−8（不合题意，舍去）．
故答案为：9．
题组C 培优拔尖练
1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过720台？
【答案】8台，会超过．
【解析】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
则若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑台数为，
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过720台．
2．我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得某县的一个电子器件厂扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑声卡，2020年该类电脑声卡的成本是200元/个，2021年与2022年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2022年该电脑声卡的成本降低到162元/个．
(1)若这两年此类电脑声卡成本下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
(2)2022年某商场以高于成本价10%的价格购进若干个此类电脑声卡，以216.2元/个销售时，平均每天可销售20个，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1120元，单价应降低多少元？
【答案】(1)10%；(2)18元；
【分析】(1)解：设平均每年下降的百分率为x，则
200×（1-x）（1-x）=162
x2-2x+0.19=0
（x-0.1）（x-1.9）=0
x=0.1或x=1.9（不符合题意舍去），
∴平均每年下降的百分率为10%；
(2)解：设单价应降低m元，
则每个售价为（216.2-m-162×110%）=（38-m）元，
每天销售数量为（20+m÷5×10）=（20+2m）个，
如果每天盈利1120元，则
（38-m）（20+2m）=1120，
m2-28m+180=0，
（m-10）（m-18）=0，
m=10或m=18，
∵为了减少库存，
∴m=18，
∴单价应降低18元；
3．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为10米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米．
(1)若围成花圃的面积为36平方米，求此时宽AB；
(2)能围成面积52平方米的花圃吗？若能，请说明围法；若不能请说明理由．
【答案】(1)AB的长为6米
(2)不能围成面积52平方米的花圃，理由见解析
【分析】(1)解:花圃的宽AB为x米，则BC＝（24﹣3x）米，
∴﹣3x2+24x＝36，
解得x1＝2，x2＝6，
当x＝2时，24﹣3x＝18＞15，不合题意，舍去；
当x＝6时，24﹣3x＝6＜15，符合题意，
故AB的长为6米；
(2)不能，理由如下：
∴﹣3x2+24x＝52，
整理得：3x2﹣24x+52＝0，
∵△=242﹣4×3×52＜0，
方程无实数根，
∴不能围成面积52平方米的花圃．
4．子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩．”—《论语·第十二章·为政篇》
列方程解决下面问题：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
【答案】周瑜的年龄是36岁．
【解析】解：设周瑜逝世的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3，
根据题意得：10（x-3）+x=x2，
解得：x1=5，x2=6，
当x1=5时，周瑜的年龄是25岁，
∵25非而立之年，
∴不符合题意，舍去；
当x2=6时，周瑜的年龄是36岁，符合题意．
答：周瑜的年龄是36岁．
5．在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；
(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？
【答案】(1)甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元
(2)当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元
【分析】(1)解：设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，由题意得：
，
解得：，
经检验：x=30是原方程的解，
∴乙种品牌的进价为：30+10=40（元），
答：甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元．
(2)解：设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，由题意得：
整理得：，
解得：，
答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元．
6．西梅是近年来从国外引进的新型水果品种，近两年在市场上大火，很受年轻人的喜爱．某水果店销售两种品牌的西梅，一种是澳洲西梅，一种是智利西梅．已知一箱智利西梅的售价比一箱澳州西梅的售价高50元，购买3箱智利西梅，2箱澳洲西梅的总价不超过600元．
(1)求每箱智利西梅的售价不高于多少元？
(2)当智利西梅按（1）问中的最高售价销售时，该水果店平均每周可销售智利西梅 12箱，因市场不景气，水果店决定降价销售，经调查发现，一箱智利西梅的售价每降低20元，销量每周可增加3箱，若保证智利西梅每周的销售额为1800元，且尽可能减少库存，求每箱智利西梅的售价应该降低多少元．
【答案】(1)每箱智利西梅的售价不高于140元
(2)每箱智利西梅的售价应该降低40元
【分析】(1)解：设一箱智利西梅的售价为x元，则一箱澳州西梅的售价为元．
根据题意：，
解得：，
即每箱智利西梅的售价不高于140元；
(2)解：设每箱智利西梅的售价应该降低20元的y倍，则售价为元，每周销量为箱，
根据题意：，
整理得：，
解得：或，
∵要求尽可能减少库存，
∴，
∴，
即每箱智利西梅的售价应该降低40元．
7．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得．

任务：
（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）．
（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）．
【答案】（1）②；（2）．
【解析】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②．
故答案为：②；
（2）首先构造了如图2所示的图形．
图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．
课程标准
课标解读
能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。
1.能够掌握巧设未知数，解题过程化繁为简。
2.能够理解与增长或减低的百分率有关问题的数量关系，并列出方程解；
3.经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，增强数学应用意识。
时间/天
x
销量/kg
120－x
储藏和损耗费用/元
3x2－64x＋400