高二上学期数学核心专题7.椭圆的第三定义的四大应用

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1．有心圆雉曲线第三定义
平面内动点到两定点（或）的斜率乘积等于常数的点的轨迹为椭圆或双曲线．其中两定点为椭圆或双曲线的顶点．当时为椭圆，当时为双曲线．具体地，分为以下结论：
【结论1】.为椭圆的长轴两端点，是椭圆上异于的任一点，则有．
证明：设，则，
又，
代入上式可得．
【结论2】.为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则有．（同理可得）
一般地，上述结论还可以进一步推广：
【结论3】．已知是椭圆上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上．当PA、PB斜率存在时，则有．
证明:设，，则．所以①,②
由①－②得，所以，所以
为定值．
【结论4】．在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则有：．（同理可证）
二．典例分析
例1.椭圆的左、右顶点分别为A和B，点P在C上，设直线、的斜率分别为、，若，则的取值范围是______.
解析：由椭圆第三定义，，所以，
，故的取值范围是.
例2（2015·新课标2卷）已知A、B是双曲线E的左、右顶点，点M在E上，为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.
解析：设双曲线，由题意，，，，所以直线和直线的斜率分别为和，由双曲线第三定义，，所以离心率.
例3．椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为
A．B．C．D．
解析：设椭圆的右顶点为, 由于点均在上且关于轴对称,所以直线,也关于轴对称, 即
即故选：．
例4．已知椭圆：，过中心的直线交于，两点，点在轴上，其横坐标是点横坐标的3倍，直线交于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【详解】
设，，则，，设、、，分别为直线、、的斜率，则，，，因直线是以为直径的圆的切线所以，，所以，又在直线上，所以，因、在上，所以，，
两式相减得，整理得，故，即，，故，故选：D
例5．已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：设，由直线与椭圆交于两点可知两点关于原点对称，所以且，由题意知：，两式相减得：
，即，
又，由椭圆的离心率的取值范围是，
即，所以，即，故选：D.
例6．已知过原点O的直线AB交椭圆于A，B两点，点A在第一象限，过点A作AD⊥x轴交椭圆于点D，点E在线段AD上，且满足，连接BE并延长交椭圆于点P，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解析：设，则，由AD⊥x轴，，可得，
又因为，则，设，则，
又因为，所以，解得：，所以，则，所以离心率．故选：A.
例7.（2019全国2卷）已知点，动点满足直线与的斜率之积为. 记的轨迹为曲线.
（1）求的方程，并说明是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点.
（i）证明：是直角三角形；
（ii）求面积的最大值.
解析：（1）直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为.
（i）设坐标为，则由（1）可知：，另一方面，由于，那么由上述两式可知：，进一步可得：，故为直角三角形.
例8.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点分别是椭圆的左右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于的任意一点，直线交于点.
①设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；
②设过点垂直于的直线为 ，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
解析：（1）椭圆的标准方程为.
（2）①设，则直线的方程为，令得，因为，因为，所以，因为在椭圆上，所以，所以为定值，
②直线的斜率为，直线的斜率为，则直线的方程为，所以直线过定点.
三．习题演练
1．已知双曲线（，），、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，且直线、的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
解析：设、，则，所以，，
由点、在双曲线上得，
两式相减得，可得，因为，所以，，，因此，.故选：C.
2．已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，若的最小值为2，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
解析：由题意，可设点，，．，且．
两式相减得．再由斜率公式得：．
根据的最小值为2，可知，所以a=b. 所以，故选A
4．双曲线的左右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则当取到最小值时，双曲线离心率为（ ）
A．B．2C．3D．6
解析：设，则，，所以，将曲线方程代入得，
又由均值定理得，当且仅当，即时等号成立，所以离心率，故选：B
5．已知椭圆，过原点的直线交椭圆于、（在第一象限）由向轴作垂线，垂足为，连接交椭圆于，若三角形为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
解析：如下图所示，设点，其中，，则、，
则，，设点，则，作差可得，
所以，，
所以，，则不互相垂直，所以，则，所以，，又因为，所以，，所以，该椭圆的离心率为.故选：B.
6．已知两点在双曲线C：的右支上，点M与点N关于原点对称，交y轴于点T，若，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
解析：如图，不妨设M在第一象限，设Q为的中点，
因为O为的中点，故,设，，
在双曲线上，则，两式相减可得，
即，而,故，
即；又因为，则，故，即,
即，即，所以，又，则，即，故，
所以，而,故，
故，则双曲线C的离心率为，根据双曲线的对称性可知，当M在第四象限时，同理可求得，当M在双曲线的顶点时，由于，此时与双曲线相切，不合题意，故双曲线C的离心率为故选：C
7．设椭圆的左,右顶点为是椭圆上不同于的一点,设直线的斜率分别为,则当取得最小值时,椭圆的离心率为
A．B．C．D．
解析：由椭圆方程可得，设，则,
则，，，
令，则，，
在上递减，在上递增，可知当时，函数取得最小值，，，故选D.
8.（23届武汉二调）设为双曲线的右焦点，分别为双曲线的左右顶点，点为双曲线上异于的动点，直线使得过作直线的垂线交直线于点时总有三点共线，则的最大值为________
解析：（方法1）设，，联立整理得: ;
所以，得到，所以；
过F作直线PA的垂线与直线交于Q，
因为B,Q,P三点共线，所以Q是直线与BP的交点，
Q是与的交点
所以得 ，所以
设则
所以当 时，即m=2即时， 取得最大值.故答案为：
方法2.由于，轴，又
整理可得：此时