高二上学期数学核心专题16.高二上期末考中讨论奇偶数列的四种主要类型

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类型2.邻项等差（等比）
类型3.摆动数列
类型4.含三角式的数列
★类型1.相邻项和（积）为等差（等比）数列
1.在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即，它可以得到两个子数列分别是公差为的等差数列.
若,则当时,,两式相减得
,即数列与数列均是公差为的等差数列.
2.在等比数列中，有一类比较特殊的递推类型，即，它可以得到两个子数列分别是公差为的等比数列.
若,则,两式相除得,即数列与数列均是公比为的等比数列.
3.通项公式：
（1）若，则
（2），则
4.前n项和
方法1.由3解得通项后并项求和（具体见案例）
方法2.对于隔项等差的前n项和，可直接由相邻两项的关系解得，即由
若为偶数：
若为奇数：
例 1 已知数列满足, 求数列的通项公式.
解析: 由题意可得，，两式相减可得 .
所以,数列的奇数项和偶数项分别构成公差为4的等差数列, 且.当为奇数时,;当为偶数时,.
因此,.
例2．已知数列的前n项和为，且，，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．32B．33C．44D．45
解析：①，当时，②，两式相减得，
当为奇数时，为等差数列，首项为4，公差为4，所以，
中，令得，故.
故当为偶数时，为等差数列，首项为2，公差为4，所以，所以当为奇数时，，
当为偶数时，，
当为奇数时，令，解得，当为偶数时，令，解得，
所以成立的n的最小值为.故选：D
例3．若数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A．61B．253C．1021D．4092
解析：由题意，， 在数列中，前项和为，，，
∴，即，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴即，
∴，
故选：B.
注：当递推关系时, 求其通项公式可以利用分解变量构造等比数列, 将已知的递推关系 分离变量, 得到 (为常数), 再利用等比数列的通项公式求解.
★类型2.奇偶分段数列
类型1.，由于数列通项均已知，求和时只需分奇偶求和即可.
类型2.，由于数列通项在奇数时为递推关系，所以需要先利用递推关系求得奇数时每项的特征，在求和时往往需将奇数项的计算转化为已知通项的偶数项进行.
类型3.
这一类问题需要先求出各段的通项，再分段求和，由于涉及奇偶讨论，所以去构造隔项之间的递推关系从而求得具体通项形式.
例4．设数列满足：是的等比中项.
（1）求的值；
（2）求数列的前20项的和.
解析：（1）由已知，，
又是的比例中项，所以，即，显然且，故解得；
（2）是奇数时，，，，而，
所以数列是等比数列，
．
例5．已知等差数列中，，，数列的前n项和为，且，．
（1）求数列，的通项公式．
（2），为的前n项和，若恒成立，求λ的最大值．
解析：（1）因为为等差数列，所以，得．
由，得．所以数列的公差，
所以．对于，①，当时，②，
①-②得，，即，
由题意可得，所以，所以对任意成立，
所以是首项为1、公比为2的等比数列，所以，．
（2）由（1）得
．
恒成立，等价于恒成立，化简得恒成立，即．设数列的通项公式为，
令，得，所以，又，，所以，，所以，所以λ的最大值为10．
例6．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式;
（2）若，求数列的前项和．
解析：（1）由，得，所以数列为等差数列．所以，得．所以公差．所以．
（2）当为奇数时，．当为偶数时．
所以
例7．设数列的前n项和为，已知．
（1）求的通项公式；
（2）设且，求数列的前n项和为．
解析：（1）当时，，当时，，所以是首项为1，公比为2的等比数列，则.
（2）由题设知：，，当为偶数时，；
当为奇数时，；
综上，，.
★类型3.含有型摆动数列
例8．已知数列满足：.则的前60项的和为（ ）
A．1240B．1830C．2520D．2760
解析：由，故，，，，….
故，，，….
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；，，，….从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列.
故.故选：D.
例9．设等比数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解析：（1）设等比数列的公比为，①，，当时，有，当时，②，由①②得，即，，，，；
（2）由（1）得，则，，，
，
．
例10.（2014年湖南文科）已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解析：（1）当时，；
当时，，故数列的通向公式为：
.
（2）由（1）知，，记数列的前项和为，则
,进一步，若记，
，分别求和可得：
，，
故数列的前项和为.
注：此处是一个分段形式：，分组求和是处理分段形式的数列求和的一把利器！
★类型4.含三角的通项
例11.设数列满足, , 则数列 的前20项的和_________.
解析：由递推关系可知, 若是正奇数, 则 是以为首项, 2为公差 的等差数列; 若是正偶数, 则, 是以为首项, 2为公比的等比数列.所以, , , 可得
.
三．习题演练
1．已知数列满足是数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
解析：由题设，且，所以，即，
当且时，是首项为1，公比为2的等比数列，则；
当且时，是首项为2，公比为2的等比数列，则；
.故选：B
2．已知是数列的前项和，，，则（ ）
A． B． C． D．
解析：由可得，
当为奇数时，；当为偶数时，.
故当为奇数时，，，则，
当为偶数时，，，则.故对任意的，.
所以，数列中的奇数项成以为公比的等比数列，偶数项也成以公比的等比数列，
因为，则，所以，.故选：D.
3．在数列中，已知且，则其前项和的值为（ ）
A． B． C． D．
解析：
.故选：C
4. （2021年新高考1卷）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
解析：（1）由题设可得
又，，故即即
所以为等差数列，故.
（2）设的前项和为，则，因为，所以
.
5.（2023年新高考2卷）2 为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
解析：（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.