广东省江门市新会第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

这是一份广东省江门市新会第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：2023年11月9日
本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡上.
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={0,1,2},则A的子集个数为( )
A．6B．7C．8D．16
2．命题“存在实数x0满足x02+2x0+2≥0”的否定为（ ）
A．任意实数x满足x2+2x+2<0B．任意实数x满足x2+2x+2≥0
C．任意实数x满足x2+2x+2≤0D．存在实数x0满足x02+2x0+2<0
3．已知p:x＞1,q:x＞1，则是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．幂函数y=m2-m-1x-m+1在(0,+∞)上为减函数，则实数m的值为（ ）
A．2或B．-2C．1D．2
5．设集合A={x|-1≤x<2},B={x|xA．(-1,2]B．(2,+∞）C．[-1,+∞)D．（-1,+∞)
6．已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是x-12≤x≤-13，则不等式x2-bx-a<0的解集是（ ）
A．x23
C．x1312
7．函数fx是定义在R上的奇函数，x>0时fx=x2-3x，则不等式fx<0的解集是（ ）
A．0,3B．3,+∞C．-∞,-3∪0,3 D．-3,0∪3,+∞
8．已知fx为偶函数，当x≥0时，fx=ax-1-2a(a>0)，若直线y=-2与函数图像恰有4个交点，则a的取值范围为（ ）
A．4，+∞B．1,+∞C．0，1D．1,2
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．∀x∈R，|x|≥xB．∃x∈R，x≤-x
C．∀x∈R，x2-2x-3＞ 0D．∃x∈R，x2-2x-3＞ 0
10．下列命题中是假命题的有（ ）
A．函数fx=x+1x的最小值为2
B．若x2≤1，则x≤1
C．不等式ax2+ax-1<0对任意x∈R恒成立，则实数a的范围是-4,0
D．若a>b>0，则ca11．下列各组函数中，是同一函数的是（ ）
A．f(x)=x0与B．与g(x)=x2
C．f(x)=-2x5与g(x)=x2-2xD．与g(t)=t2-2t
12．已知a>0，b>0，a+2b=2，则（ ）
A．ab最大值为22B．ab最大值为12
C．1a+12b最小值为2D．a2+4b2最小值为2
第Ⅱ卷（非选择题90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．设集合A=-1,1,3，B=a+2,a2+4，A∩B=3，则实数a= .
14．函数fx=-x2+4x+5的定义域为 ．
15．设x>0，y>0，满足x+y=1，则4x+1y的最小值为 .
16．已知函数fx=1+x2,x≤01,x>0，若fx-4>f2x-3，则实数x的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知集合A=x-2≤x≤4，B=x-3≤x≤3.
求：(1)A∪B；
(2)∁RA∩B.
18．(本小题满分12分)
已知集合A=x|x2-4x+3≤0,B=x|x-2x+3>0
（1）分别求A,B；
（2）若集合C={x|119．（本小题满分12分）
已知函数fx=ax2-x-6，若方程fx=0的两个实数根分别为-32和b.
（1）求实数a､b的值；
（2）试用定义证明函数gx=fxx在0,+∞上单调性.
20．（本小题满分12分）
已知函数fx=x2-2x.
(1)若x∈0,3，求函数fx的最小值和最大值；
(2)当时，求函数fx的最小值．
21．（本小题满分12分）
如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）.当x 为何值时，S最小？并求出这个最小值.
22．（本小题满分12分）
定义在上的函数f(x)满足:①对一切x∈R恒有；②对一切x,y∈R恒有；③当x>0时，f(x)>1，且f(1)=2；④若对一切x∈[a,a+1] (其中a<0)，不等式fx2+a2≥4f(2|x|-2)恒成立.
(1)求f(2),f(3)的值；
(2)证明:函数f(x)是上的递增函数；
(3)求实数a的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】根据子集的个数为2n (n为集合元素的个数),即可求得答案.
【详解】∵A={0,1,2}.
根据子集的个数为2n, (n为集合元素的个数)
∴A的子集个数23=8.
故选:C．
【点睛】本题考查了求集合子集个数问题,解题关键是掌握子集概念,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
2．A
【分析】特称命题的否定为：改量词，否结论，据此解答即可.
【详解】因为命题“存在实数x0满足x02+2x0+2≥0”，
所以改量词：“存在实数x0”改为“任意实数x”；
否结论：x02+2x0+2≥0否为x2+2x+2<0；
故命题“存在实数x0满足x02+2x0+2≥0”的否定为“任意实数x满足x2+2x+2<0”.
故选：A.
3．B
【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】x＞1⇒x＜-1或x＞1，由x＞1可以推出x＜-1或x＞1，故必要性满足；
由x＞1推不出x＜-1或x＞1，故充分性不满足；
所以是q的必要不充分条件.
故选：B
4．D
【分析】根据幂函数的定义以及单调性求得m的值.
【详解】由于函数是幂函数，所以，解得m=2或m=-1，
当m=2时，y=x-1=1x，在0,+∞上递减，符合题意.
当m=-1时，y=x2，在0,+∞上递增，不符合题意.
综上所述，m的值为2.
故选：D
5．D
【分析】根据A∩B≠∅，由集合A，B有公共元素求解.
【详解】集合A={x|-1≤x<2},B={x|x因为A∩B≠∅，
所以集合A，B有公共元素，
所以a>-1．
故选：D
6．A
【分析】根据一元二次不等式解集和一元二次方程的根的关系，利用韦达定理可求得a,b；将所求不等式变为x2+5x+6<0，根据一元二次不等式的解法可求得结果.
【详解】的解集为x-12≤x≤-13
∴a<0且方程ax2-bx-1=0的两根为：-13和-12
∴ba=-13+-12=-56-1a=-13×-12=16，解得：a=-6b=5
即x2-5x+6<0，解得：2∴x2-bx-a<0的解集为x2故选:A
【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，关键是能够根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的根的关系求得a,b的值.属于中档题.
7．C
【解析】先解当x>0时，fx<0的解集，由fx是奇函数，求出当x<0时，fx的解析式，再解fx<0，取并集即为所求.
【详解】当x>0时，fx=x2-3x，fx<0⇒x2-3x<0，解得：0又fx是奇函数，图像关于原点对称，
当x<0时，fx=-x2-3x，fx<0⇒-x2-3x<0，解得：x<-3，
故不等式fx<0的解集是-∞,-3∪0,3
故选：C．
8．D
【分析】利用偶函数的特性，得到f(x)=ax-1-2a,x≥0ax+1-2a,x≤0，化简得2-2a=x-1,x≥02-2a=x+1,x≤0，进而利用数形结合求解即可
【详解】当x≥0时，f(x)=a|x-1|-2a(a>0)，
由于f(x)为偶函数，
所以当x≤0时，则-x≥0，f(x)=f(-x)=a|x+1|-2a(a>0)，
所以f(x)=ax-1-2a,x≥0ax+1-2a,x≤0，
因为直线y=-2与函数图像恰有4个交点，
所以-2=ax-1-2a,x≥0-2=ax+1-2a,x≤02-2a=x-1,x≥02-2a=x+1,x≤0，
即函数y=2-2a与函数y=x-1,x≥0x+1,x≤0的图像恰有4个交点，
作出函数图像如下：
故有0<2-2a<1，解不等式得：2>a>1
所以a的取值范围为1,2
故选：D
9．ABD
【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及∀x∈R，x≥x，即可求解.
【详解】对于A，∀x∈R，x≥x，故A正确；
对于B，当x=0时，满足x≤-x，故B正确；
对于C，当x=0时，x2-2x-3=-3＜0，故C正确；
对于D，当x=2时，x2-2x-3＞0，故D正确.
故选：ABD
10．ACD
【解析】A.取x=-1判断；B.解不等式x2≤1判断；C由a=0时判断；D取c≤0时判断.
【详解】A.当x=-1时, fx=-2,故错误；
B.因为x2≤1，解得-1≤x≤1,故正确；
C当a=0时，不等式显然恒成立，故错误；
D当c≤0时，ca≥cb，故错误．
故选：ACD．
11．ACD
【分析】根据函数的定义域和解析式逐项判断即可；
【详解】选项A：f(x)=x0=1,x≠0,g(x)=1x0=1，x≠0,是同一函数；
选项B：g(x)=x2=x≠x，不是同一函数；
选项C：f(x)=-2x5=x2-2x与g(x)=x2-2x定义域都为-∞，0，对应关系一样，是同一函数；
选项D：与g(t)=t2-2t，定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，选项正确；
故选：ACD.
12．BCD
【分析】利用基本不等式的相关知识计算判断即可.
【详解】对于A，因为a>0，b>0，a+2b=2，所以，则ab≤12，
当且仅当a=2b且a+2b=2，即a=2b=1时，等号成立，
所以ab最大值为12，故A错误；
对于B，由选项A的分析易知，B正确；
对于C，因为1a+12b=12a+2b1a+12b=122+2ba+a2b≥122+22ba⋅a2b=2，
当且仅当2ba=a2b且a+2b=2，即a=2b=1时，等号成立，
所以1a+12b最小值为2，故C正确；
对于D，因为2a2+4b2≥a+2b2=4，则a2+4b2≥2，
当且仅当a=2b且a+2b=2，即a=2b=1时，等号成立，
所以a2+4b2最小值为2，故D正确.
故选：BCD.
13．1
【分析】由A∩B=3可得3∈A,3∈B，从而得到a+2=3，即可得到答案.
【详解】因为A∩B=3，所以3∈A,3∈B，
显然a2+4≠3，所以a+2=3，解得：a=1.
故答案为：1.
【点睛】本题考查利用集合的基本运算求参数值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
14．-1,5
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式，求出解集即可．
【详解】解：由题意可得，-x2+4x+5≥0，
∴x2-4x-5≤0，
∴-1≤x≤5，
故函数的定义域为-1,5．
故答案为：-1,5．
【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
15．9
【分析】根据基本不等式，结合“1”的代换，可求得4x+1y的最小值．
【详解】因为x+y=1，x>0，y>0，
所以4x+1y×1=4x+1y×x+y
=4+1+4yx+xy≥5+24yx×xy=9，
当且仅当4yx=xy，即x=6,y=3时等号成立，
所以1x+9y的最小值为9.
故答案为：9.
16．-1,4
【分析】显然函数fx在定义域上单调递减，先比较x-4与2x-3的大小，再结合函数单调性分类讨论即可.
【详解】先比较x-4与2x-3的大小，令t=x-4-2x-3=-x-1，所以分以下两种情形来解不等式fx-4>f2x-3.
情形一：当t=-x-1≥0，即x≤-1时，有x-4≥2x-3，注意到fx在-∞,-1严格单调递减，
所以fx-4≤f2x-3，故此情形不符题意.
情形二：
一方面：当t=-x-1<0，即x>-1时，有x-4<2x-3.
另一方面：注意到fx在单调递减（但不严格单调递减），因此若要保证fx-4>f2x-3，
必须有x-4<0（否则0≤x-4<2x-3，此时有fx-4=f2x-3，不符题意），所以x<4；
结合以上两方面有-1综上所述：结合以上两种情形有-1故答案为：-1,4.
17．(1)x-3≤x≤4
(2)x-3≤x＜-2
【分析】（1）由并集的定义进行运算即可；
（2）由补集和交集的定义进行运算即可.
【详解】（1）∵A=x-2≤x≤4，B=x-3≤x≤3，
∴A∪B=x-3≤x≤4.
（2）∵A=x-2≤x≤4，∴∁RA=xx<-2或x＞4，
∵B=x-3≤x≤3，
∴∁RA∩B=x-3≤x＜-2
18．（1）A=[1,3]；B=(-∞,-3)∪(2,+∞)
（2）a≤3
【分析】（1）化简集合A,B,根据不等式定义;
（2）由A∩C=C,所以C⊆A,讨论C=∅和C≠∅两种情况,即可得出实数a的取值范围．
【详解】（1）集合A=x|x2-4x+3≤0=[1,3]
B=x|x-2x+3>0=(-∞,-3)∪(2,+∞)
（2）∵A∩C=C
∴C⊆A
∵C={x|1∴当C为空集时,
∴当C为非空集合时,可得 1＜a≤3
综上所述:a的取值范围是a≤3．
【点睛】本题考查了不等式的解法 ,解题关键是掌握集合的基本概念和不等式的解法,考查了计算能力,属于基础题.
19．（1）a=2；b=2；（2）证明见解析.
【分析】（1）将两个实数根代入方程即可得解；
（2）任取x1>x2>0，则g(x1)-g(x2)=(2x1-6x1-1)-(2x2-6x2-1)，化简判定符号即可得到单调性.
【详解】（1）将x=-32代入方程ax2-x-6=0，得：a=2
则方程即为：2x2-x-6=0，可解得另一个实数根b=2；
（2）由题（1）知：f(x)=2x2-x-6，∴g(x)=2x2-x-6x=2x-6x-1
设x1>x2>0，则g(x1)-g(x2)=(2x1-6x1-1)-(2x2-6x2-1) =2x1-x21+3x1x2
∵x1>x2>0∴x1-x2>0，1+3x1x2>0
∴g(x1)>g(x2)，即在(0，+∞)上单调递增.
20．(1)最小值为，最大值为3；
(2)fxt2+4t+3,t<-2-1,-2⩽t⩽1t2-2t,t>1min
【分析】（1）求出函数的对称轴，得到函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；
（2）首先得到f(x)的开口方向与对称轴，再对区间端点值与对称轴的位置关系分类讨论即可得解．
【详解】（1）解：因为fx=x2-2x=x-12-1，对称轴为x=1，开口向上，因为x∈0,3，所以函数在0,1上单调递减，在1,3上单调递增，所以fx12min，又f3=32-2×3=3，f0=0，所以fx3max，即函数fx的最小值为，最大值为3；
（2）解：f(x)=x2-2x=(x-1)2-1，抛物线开口向上，对称轴为x=1，最小值为，过点(0,0)，
结合二次函数的图象可知：
当，即t<-2时，，x∈t,t+3，函数在t,t+3上单调递减，
所以在x=t+3处取最小值，
当，即时，，x∈t,t+3在x=1处取最小值，
当时，，x∈t,t+3，函数在t,t+3上单调递增，函数在x=t处取最小值f(t)=t2-2t，
由以上分析可得，函数f(x)的最小值fxt2+4t+3,t<-2-1,-2⩽t⩽1t2-2t,t>1min．
21．x=10m时，S最小且S最小=118000元.
【解析】先求出=4000x2+400000x2+38000(0【详解】解：由题意，有AM=200-x24x，又AM>0，有0S=4200x2+210×200-x2+80×2×200-x24x2
=4200x2+42000-210x2+400000+10x4-4000x2x2
=4000x2+400000x2+38000(0=80000+38000=118000
当且仅当4000x2=400000x2，即x=10时取“=”.
∴当x=10m时，S最小且S最小=118000元.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
22．（1）4，8（2）证明见解析（3）(-∞,-22]
【分析】1）用赋值法令x=1,y=1求解.
（2）利用单调性的定义证明，任取x10时，f(x)>1
得到结论.
（3）先利用将4f(2|x|-2)转化为f(2|x|)，再将fx2+a2≥f(2|x|)恒成立，利用函数f(x)是上的递增函数，转化为x2+a2≥2|x|恒成立求解.
【详解】（1）令x=1,y=1 所以f(2)=f(1)⋅f(1)=4
所以f(3)=f(2)⋅f(1)=8
（2）因为
任取x1fx2fx1=fx2-x1
因为当x>0时，f(x)>1
所以fx2-x1>1
所以fx1所以函数f(x)是上的递增函数，
（3）因为4f(2|x|-2)=f2f(2|x|-2)=f[2+(2|x|-2)]=f(2|x|)
又因为fx2+a2≥4f(2|x|-2)恒成立
且函数f(x)是上的递增函数，
所以x2+a2≥2|x|，x∈[a,a+1] (其中a<0)恒成立
所以a2≥-x2+2|x|若对一切x∈[a,a+1] (其中a<0)，恒成立.
gx=-x2+2|x|=-|x|-12+1
当a+1≤-1 ，即a≤-2时gxa+12max
所以a2≥-a2-4a-3，
解得a≤-2
当-2a2≥1
解得-2当-1所以a2≥-a2-2a且a2≥-a2+1
解得-1综上：实数a的取值范围(-∞,-22]
【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值，单调性及其应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.