福建省福州市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份福建省福州市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若命题，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据特称命题的否定，可直接得出结果.
【详解】命题，，则为“，”.
故选：A.
2．某校共有1500名学生，现用系统抽样的方法从中等距抽取50名学生参加志愿者活动，将这1500名学生依次编号为1，2，3，…，1500，已知第一位被抽到的学生编号为4，则下列编号被抽到的是（ ）
A．324B．184C．104D．24
【答案】B
【分析】先由题中条件得到第组抽取的学生编号的通式，再逐一验证选项中编号是否适合通式，即得结果.
【详解】共有1500名学生，等距抽取50名学生，则分成50组，每组人，
第一位被抽到的学生编号为4，则第组抽取的学生编号是，.
令，得不是整数，故324不是被抽到得编号，A错误；
令，得是整数，故184是被抽到得编号，B正确；
令，得不是整数，故104不是被抽到得编号，C错误；
令，得不是整数，故24不是被抽到得编号，D错误；
故选：B.
3．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接根据导数的运算法则结合基本初等函数的导数即可得解.
【详解】;
;
;
.
故选：D.
4．已知，，其中，，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，由题中条件，求出，，即可得出结果.
【详解】因为，，，
所以，解得，
因此.
故选：B.
5．“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】先考虑充分性,当x>0时，，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立.
再考虑必要性，当时，如果x>0时，成立，当x=1时取等.当x0.
故选C.
6．已知是平面内两个定点，平面内满足(为大于0的常数)的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是以发现土星卫星的天文学家乔凡尼·卡西尼的名字命名.当坐标分别为，，且时，卡西尼卵形线大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设，根据题意有，代排除C、D，通过奇偶性排除B.
【详解】解：设
因为，坐标分别为，，且
所以
当时，上式等式成立，即点满足，故排除C、D.
当代替x时
即图形关于轴对称，排除B.
故选：A.
【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；
（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于的方程(组)，从而得到的解析式；
（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；
（4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.
7．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒.若该方盒的体积为2，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】小正方形边长为，将体积用表示，通过求导判定函数的单调性，得，该方盒的体积为2，则方盒的最大值要大于等于2，解得.
【详解】解：设截去的小正方形边长为,则无盖方盒底边是边长为的正方形，高为
所以其体积为
则
当时，单调递增，
当时，单调递减
所以
若该方盒的体积为2，则
所以的最小值为3.
故选：C.
【点睛】求函数最值的五种常用方法：
（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值；
（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
（4）导数法：先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.
8．已知椭圆的左､右焦点分别为，，M为E上一点.若，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先取线段中点P，连接，得到，结合正弦定理证明是直角，求出，再根据定义得到之间关系，即求得离心率.
【详解】如图椭圆中，取线段中点P，连接，则，
因为，所以，则，
中，，即，解得，又，=，故，是线段的中垂线，
故，结合椭圆定义，
故，即，故离心率.
故选：B.
【点睛】求椭圆离心率（或取值范围）的常见方法：
（1）直接法：由a，c直接计算离心率；
（2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a，b，c的方程和不等式，利用和转化成关于的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.
二、多选题
9．已知曲线E的方程为，则E可能是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】ABC
【分析】讨论，和，且这三种情况下方程的特征判断ABC正确，结合抛物线方程特征说明D错误即可.
【详解】曲线E的方程为，
故当时，方程可化为，表示圆，圆心是，半径是，故A正确；
当，且时，方程可化为，表达椭圆，焦点位置由的大小关系确定，故B正确；
当时，①当时方程可化为，表示焦点在x轴上的双曲线，②当时方程可化为，表示焦点在y轴上的双曲线，故均表示双曲线，C正确；
要是方程表示抛物线，则需要只有一个平方项，但，即且，故两个平方项均存在，无法表示抛物线，故D错误.
故选：ABC.
10．下图为我国2020年2月至10月的同城快递量与异地快递量的月统计图：
根据统计图，下列结论正确的是（ ）
A．异地快递量逐月递增
B．同城快递量，9月份多于10月份
C．同城和异地的月快递量达到峰值的月份相同
D．同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同
【答案】BD
【分析】根据统计图可以看出，异地快递量6月份、7月份的快递量可以判断A；同城快递量6月份、7月份的快递量可以判断B；并且由图可以直接判断CD.
【详解】对于A，异地快递量6月份为613818.6万件大于7月份为572812.9万件，所以错误；
对于B，同城快递量9月份为113215.1万件，多于10月份为97454.2万件，所以正确；
对于C，由图可以看出，同城的月快递量达到峰值为10月份，异地的月快递量达到峰值为6月份，所以错误；
对于D，由图可以看出，同城快递量的月增长率达到最大的为3月份，异地快递量的月增长率达到最大的为3月份，所以正确.
故选：BD.
11．如图，在正方体中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．点，到平面的距离相等B．与为异面直线
C．D．平面截该正方体的截面为正六边形
【答案】ACD
【分析】对于A，可由斜边相等得高相等；对于B，可由可判断不正确；对于C，可由证得；对于D，取的中点，的中点为，利用平行可证得共面.
【详解】
对于A，设与平面所成角为，由，可得，
即点，到平面的距离相等，A正确；
对于B，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，所以，M，N，P，Q四点共面，所以与共面，B不正确；
对于C，设正方体的棱长为2，
则,
所以，所以，C正确；
对于D，取的中点，的中点为，则,
，所以共面，则平面截该正方体的截面为正六边形.D正确.
故选：ACD.
12．已知函数，则（ ）
A．的周期为B．的图象关于点对称
C．在上为增函数D．在区间上所有的极值之和为10
【答案】BCD
【分析】计算，可判断A错；构造函数，判断其是奇函数，得出对称中心，即可判断的对称中心，得B正确；当时，对函数求导，判断其单调性，即可得出C正确；利用导数的方法求出函数在给定区间的极值点，结合函数对称性，即可得出结果.
【详解】A选项，因为，所以，因此不是的周期；即A错；
B选项，令，定义域为，则，所以图象关于原点对称；因为，所以的图象关于点对称，故B正确；
C选项，当时，，则，
因为，则，所以，即，故在上为增函数，即C正确；
D选项，当时，，，令可得，所以，由可得，极值点为；
当时，，则，令，可得，则，由可得，极值点为，
由B选项，可知，即，
所以在区间上所有的极值之和为，即D正确；
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：
利用导数的方法研究函数单调性求极值时，需要先对函数求导，求解导函数对应的不等式，判断出单调性，进而可得出极值，即可求解.
三、填空题
13．双曲线的渐近线方程是_________________.
【答案】
【分析】根据双曲线的渐近线方程的求法，求得双曲线的渐近线.
【详解】双曲线的渐近线为，所以双曲线的渐近线方程是.
故答案为
【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.
14．在区间上随机取一个数x，若事件的概率为，则m的值为______.
【答案】0
【分析】直接利用区间长度之比求事件的概率，构建关系并求参数即可.
【详解】依题意，故事件表示，
故事件概率为，即得.
故答案为：0.
15．如图所示，在平行四边形中，E为中点，，，.沿着将折起，使A到达点的位置，且平面平面.设P为内的动点，若，则P的轨迹的长度为______.
【答案】
【分析】先建系，分析出P的轨迹为圆，然后判断出P的轨迹的长度为弧长，找出圆心角为，利用弧长公式求出轨迹长度．
【详解】
建立如图示空间直角坐标系，
则,
设
则
∴\
,
∵∴,
∴
整理化简得：
∴P的轨迹为圆，交于,于,
则
∴所对应的圆心角，∴弧长为．
故答案为：．
【点睛】立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，有两种处理方法：
(1)很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义法)；
(2)要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式．
四、双空题
16．某次数学竟赛有100位同学参加，如图为这100位同学此次竞赛成绩的频率分布直方图，则______，这100位同学此次竞赛成绩的中位数约为______.(中位数精确到0.01.)
【答案】
【分析】利用所有小矩形面积之和为1，列关系求参数a；先判断中位数在第四组，再利用中位数定义直接列关系求中位数即可.
【详解】观察频率分布直方图可知，
所有小矩形面积之和为1，即，解得；
分数在区间之间频率之和为，第四组频率为，故中位数位于第四组，设为x，则，且x精确到0.01，故解得.
故答案为：0.015；73.33.
【点睛】结论点睛：
频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算，
①直方图中各个小长方形的面积之和为1；
②直方图中纵轴表示频率除以组距，故每组样本中的频率为组距乘以小长方形的高，即矩形的面积；
③直方图中每组样本的频数为频率乘以总数；
④最高的小矩形底边中点横坐标即是众数；
⑤中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；
⑥平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
五、解答题
17．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求在上的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.
【分析】（1）先对函数求导，根据导数的几何意义，求出曲线在处的切线斜率，进而可得切线方程；
（2）对函数求导，根据导数的方法判定函数单调性，求出函数在给定区间的极值以及端点值，比较大小，即可得出结果.
【详解】（1）因为，
所以，，
则曲线在处的切线斜率为，
所以曲线在处的切线方程为：，即；
（2）因为，
当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减；
所以；
又，，
则，
即在上的最大值为，最小值为.
【点睛】思路点睛：
导数的方法求函数在给定区间的最值时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数在给定区间的单调性，得出极值，结合端点值进行比较，即可求解.
18．已知抛物线的焦点为F，为E上一点.
（1）求E的方程及F的坐标；
（2）设斜率为1的直线l与E交于A，B两点，若，求l的方程.
【答案】（），；（2）或.
【分析】（1）根据为抛物线上一点，代入抛物线方程求解.
（2）设直线l的方程为，联立，根据，结合韦达定理求解.
【详解】（1）因为为抛物线上一点，
所以，
解得，
所以抛物线的方程是，焦点的坐标是；
（2）设直线l的方程为，直线与E交于两点，
由，得，
则，，即，
因为，
所以，
即，
即，
所以，
即，
解得或，成立
所以直线l的方程是或.
19．在①，②，③平面平面这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.
问题：已知在三棱锥中，D为的中点，______，.
（1）证明：；
（2）若，，E为线段上一点，且，求二面角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明见详解；（2）.
【分析】（1）若选条件①，根据线面垂直的判定定理，证明平面；进而可得；
若选条件②，先证明，结合题中条件，推出，根据线面垂直的判定定理，证明平面；进而可得；
若选条件③，根据面面垂直的性质定理，得到平面；进而可得；
（2）三个条件对应的结论都相同，根据（1）的结论，证明、、两两垂直，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，计算向量夹角余弦值，即可求出结果.
【详解】若选条件①，
（1）因为，D为的中点；则；
因为，，平面，平面，
则平面；又平面，所以；
（2）
因为，即，
又，，平面，平面，
所以平面；因为平面，所以；
则、、两两垂直，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，，
则，，，，所以，，
因此，，
设平面的一个法向量为，则，所以，
不妨令，则，，即，
又平面显然与轴垂直，不妨取平面的一个法向量为
则，
由题意可得，二面角为锐二面角，所以其余弦值为.
若选条件②，
（1）由，，可得，则，
因为D为的中点，所以，；
又，平面，平面，所以平面；
又平面，所以；
（2）同条件①可得，二面角的余弦值为.
若选条件③平面平面，
（1）因为，D为的中点；则，
又平面平面，所以平面；
又平面，所以；
（2）同条件①可得，二面角的余弦值为.
【点睛】方法点睛：
立体几何体中空间角的求法：
（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；
（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.
20．已知椭圆的离心率为，为E的上顶点.
（1）求E的方程；
（2）以A为直角顶点的的另两个顶点均在E上运动，求证：直线过定点.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，和为E的上顶点，解得，，写出椭圆E的方程.
（2）当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为：，与椭圆方程联立,根据 ，即，结合韦达定理求解，当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为：，代入椭圆方程得到，再由求解.
【详解】（1）因为离心率为，
所以，
又因为为E的上顶点，
所以 ，解得，
所以椭圆E的方程；.
（2）当直线BC的斜率存在时，设，直线BC的方程为：，
与椭圆方程联立消去y得：，
则①，
因为，即，
所以
即
即，
将①代入有，
即，
解得或（舍去）
直线过定点
当直线BC的斜率存在时，设，直线BC的方程为：，
代入椭圆方程得：，
所以，
，
，
解得，直线BC过A点（舍去）
综上：直线过定点
【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．
21．为了研究某班男生身高和体重的关系，从该班男生中随机选取6名，得到他们的身高和体重的数据如下表所示：
在收集数据时，2号男生的体重数值因字迹模糊看不清，故利用其余5位男生的数话得到身高与体重的线性回归方程为.后来得到2号男生的体重精准数值m后再次计算得到线性回归方程为.
（1）求回归方程；
（2）若分别按照和来预测身高为的男生的体重，得到的估计值分别为，，且，求m的值；
（3）指数是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其中指数在24到27.9之间的定义为超重.通过计算可知这6人的指数分别为：22.8，27.4，22.9，24.7，23.1，22.6，现从这6人中任选2人，求恰有1人体重为超重的概率.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先计算，，再根据参考公式计算即可得答案；
（2）根据题意得，进而得，故，此外6名男生的身高的平均值为，体重的平均值为，进而根据参考公式得，，进而解方程即可得；
（3）根据古典概型模型列举所有可能的基本事件总数，进而求得满足条件的基本事件数，再根据古典概型公式计算即可.
【详解】解：（1），
，
所以，，
所以，，
所以.
（2）根据题意，将代入方程得，
所以，
所以， ①
另一方面，6名男生的身高的平均值为，体重的平均值为，
所以， ②
，，
所以， ③
综合①②③即可得：，.
（3）设这6人分别记为，其中表示体重超标的两人，
则从这6人中任选2人，所有的可能情况为：，共15种，
其中恰有1人体重为超重有：，共8种，
所以恰有1人体重为超重的概率为：.
【点睛】本题考查回归方程的计算，古典概型的概率计算，考查运算求解能力，是中档题.其中第二问解题的关键在于根据题意计算6名男生的身高的平均值为，体重的平均值为，进而根据参考公式得，，再结合得，进而解方程求解.
22．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，.参考数据：.
【答案】（1）当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）证明见解析.
【分析】（1）求出函数导函数，分，讨论即可求出函数单调区间；
（2）与不等式等价于，求出函数的最小值，函数的最大值，证明最小值大于最大值即可得证.
【详解】解：（1）由题意得
①当时，恒成立，故函数在单调递增
②当时，由得，由得，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
综上：当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）当时，
等价于
令则
由得，由得，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
所以
因为，所以
令则
由得，由得，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
所以
要证即证
即证，两边同乘以则
而故上式成立，原不等式得证.
所以当时，成立.
【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立证明问题常用的方法：
（1）转化为或恒成立，通过导数求的最值；
（2）转化为或恒成立，通过导数证明或；
编号
1
2
3
4
5
6
身高
165
171
167
173
179
171
体重
62
m
64
74
74
66