黑龙江省大庆市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理）试题

这是一份黑龙江省大庆市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理）试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．若是真命题，是假命题，则（ ）
A．是真命题 B. 是假命题 C．是真命题 D. 是真命题
2．已知抛物线准线方程为，则其标准方程为（ ）
A． B. C． D.
3．已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为（ ）

A．0B．1C．2D．3
4． 方程表示椭圆的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
5． 已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．过双曲线的右焦点作轴的垂线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B. C． D.
10．如图所示，在长方体中，，点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，平面四边形中，，，将其沿对角线折成四面体，使，则下列说法中不正确的是( )
A． B．
C． D．
12．设抛物线的焦点为, 为抛物线上的两个动点，且满足,过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为( )
A． B． C． 1 D．2
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某四面体的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则该四面体的体积是____________．
14．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为____________.
15．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为米，底面边长为米，是华人建筑大师贝聿铭设计的.若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为______米.
16．如图，正方体的棱长为，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）
①当时，为四边形
②当时，为等腰梯形
③当时，与的交点满足
④当时，为六边形
⑤当时，的面积为
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤）
17．（本小题满分10分）
已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）.
（1）求直线的直角坐标方程和圆的普通方程；
（2）若椭圆的参数方程为（为参数），过圆的圆心且与直线垂直的直线与椭圆相交于两点，求.
18．（本小题满分12分）
如图，直棱柱中，分别是的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（本小题满分12分）
已知是抛物线：的焦点，是抛物线上一点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于，两点，若（为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.
20．（本小题满分12分）
在直角坐标系 QUOTE 中，曲线 QUOTE 的参数方程为（为参数） QUOTE ，直线 QUOTE 的方程是 QUOTE ，以原点为极点， QUOTE 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线 QUOTE 和圆 QUOTE 的极坐标方程；
（2）已知射线 QUOTE (其中 QUOTE )与圆 QUOTE 交于 QUOTE ，射线 QUOTE 与直线 QUOTE 交于点 QUOTE ，若 QUOTE ，求的值.
21．（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥 QUOTE ,底面 QUOTE 为四边形，，
QUOTE 平面 QUOTE 平面 QUOTE , QUOTE .
（1）求证： QUOTE 平面 QUOTE ；
（2）若四边形 QUOTE 中， QUOTE ，是否在 QUOTE 上存在一点 QUOTE ，使得直线 QUOTE 与平面 QUOTE 所成的角的正弦值为 QUOTE ，若存在，求 QUOTE 的值，若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的方程为 QUOTE ,其离心率 QUOTE ,且短轴的一个端点与两焦点组成的三角形面积为 QUOTE ,过椭圆上的点 QUOTE 作轴的垂线,垂足为 QUOTE ,点 QUOTE 满足 QUOTE ,设点 QUOTE 的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
（2）若直线 QUOTE 与曲线 QUOTE 相切,且交椭圆于两点, QUOTE ,记 QUOTE 的面积为, QUOTE 的面积为 QUOTE ,求 QUOTE 的最大值.
理科数学期末考试答案
13.8 14.2 15. 16.①②③⑤
17.（1），，
（2）代入中得，，
18.
19.（1）由可知抛物线的准线方程为，
因为，根据抛物线的定义可知，所以，所以抛物线的方程为.
（2）设，直线，
联立，消去并整理得所以，
所以由得，
所以，所以，
所以，所以，，恒过．
20.(Ⅰ)将代入直线的直角坐标方程，
得,即.
圆的直角坐标方程为，所以圆的极坐标方程为
(Ⅱ)由题意得
则，解得，又因为，所以
21. （1）设，连接
,，为中点
又，
平面平面，平面平面
平面，而平面
在中，由余弦定理得
，而
平面
（2）过作垂线记为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
，，，，
，，设
,
设平面法向量为
∴ ，取 设与平面所成角为
解，
22. (1) (2)
(1)依题意可得 ，由，解得，椭圆方程为.
设，由，得，
代人椭圆方程得曲线的方程为．
(2)由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，由与圆相切可得，即.
由消整理得
又直线与椭圆交于两点，
所以，故得．
设，则，，

.
则，.
，
当且仅当，即时，等号成立．所以的最大值为．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
B
B
A
A
D
C
B
C
D
C