江西省赣州市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理科）试题

这是一份江西省赣州市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理科）试题，共12页。试卷主要包含了考试结束后，答题纸交回，设p等内容，欢迎下载使用。

说明：本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。考试用时120分钟。
注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.
1．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。
2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，答题纸交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.对于实数x，“”是“”的条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图是
第2题图
A. B. C. D.
3.若m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
4.如图，在正四面体中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是
第4题图
A. 平面PDF B. 平面PAE
C. 平面平面PAE D. 平面平面ABC
5.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为
A. B. C. D.
6.下列结论错误的是
A. 若“p且q”与“”均为假命题，则p真q假
B. 命题“”的否定是“”
C. “若”的逆命题为真．
D. “”是“”的充分不必要条件．
7.已知P是所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，且P在所在平面内的射影H在内，则H一定是的
A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心
8.设e是椭圆的离心率，且，则实数k的取值范围是．
A. B. C. D.
9.如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为
A. B. C. D.
10.如图，在直三棱柱中，，若，则
A. B. C. D.
第11题图
第10题图
11.如图，在直三棱柱中，D，E分别是，的中点，点P在该直三棱柱表面上运动，且满足，,，，则点P的轨迹形成的曲线的长等于 ．
A. B. C. D.
12.己知正方体的棱长为1，E、F分别是线段AB、上的动点，若平面，则三棱锥的最大体积为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.命题“，”的否定是 ．
14.将一钢球放入底面半径为的圆柱形玻璃容器中，水面升高了，则钢球的半径是________．
15.椭圆的左右焦点为，，，离心率为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为______．
16.在四面体ABCD中，，，，二面角的大小为，则四面体ABCD外接球的半径为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，点E在线段AD上，且．
求证：平面
若，，，
求四棱锥的体积
18．（本小题满分12分）设p：实数x满足，q：．
若，且为真命题，求x的取值范围；
若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．（本小题满分12分）如图，在正方体中，E为的中点，正方体棱长为2．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点C到平面的距离．
20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，直线的普通方程为以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
求曲线和直线的极坐标方程；
若直线与曲线交于A，B两点，求．
21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，等边三角形PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且．
求证：平面ABCD;
求二面角的平面角的余弦值;
在线段AB上是否存在点M，使直线PM与所在平面成角？若存在，求出AM的长，若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）已知椭圆标准方程为，离心率为且过点，不过原点的直线l交椭圆于P、Q两点．
求椭圆方程；
若，求证：直线l经过定点，并求出定点坐标；
若直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．
2020－2021学年上学期期末考试
高二数学（理科）-参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.， 14. 3cm
15. 20 16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本小题10分）
证明：底面ABCD，平面ABCD，
，……2分
，，
， ……4分
又，平面PAD，平面PAD，
平面PAD．……5分
，，，
四边形ABCE是矩形，
，，
又，
，
，即，……7分
．……10分
18. （本小题12分）
解：若，p：实数x满足，
解得．……2分
q：．
，q都为真命题，……4分
，解得：．
的取值范围为．……6分
由p：实数x满足，
化为：．……8分
若q是p的充分不必要条件，则，，……10分
解得：．
实数a的取值范围是．……12分
19．（本小题满分12分）
证明：，且，
四边形为平行四边形，
，……1分
平面，平面，
平面．……3分
解：以A为原点，AD、AB、所在的直线分别为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，
设正方体的边长为2，则0，，0，，0，，2，，
0，，0，，2，，……4分
设平面的法向量为y，，则
令，则，，，……6分
设直线与平面所成角为，
则，， ……8分
故直线与平面所成角的正弦值为．
解：2，，2，，平面所的法向量为，
点C到平面的距离．……12分
20．（本小题满分12分）
解：由曲线的参数方程为为参数，
得曲线的普通方程为，
曲线的极坐标方程为，
即．……2分
直线过原点，且倾斜角为，
直线的极坐标方程为；……5分
设点A，B对应的极径分别为，，
由，
得，
，，……8分
又，，
．……12分
21．（本小题满分12分）
解：是等边三角形，O为AD的中点，
，……1分
平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
平面ABCD．……3分
取BC的中点F，
底面ABCD是正方形，，
又平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，
，OF，AD两两垂直．
以O为原点，以OA为x轴、OF为y轴、OP为z轴建立空间直角坐标系如图：
则0，，0，，2，，1，，
，1，，0，
显然平面EBA的法向量为0，……4分
设平面PBE的法向量为y，，则，
，令，得……5分
，，，
．……7分
二面角为锐角，二面角的余弦值为．……8分
设在线段AB上存在点x，使线段PM与平面PAD所在平面成角，
平面PAD的法向量为2，，x，，
，．……10分
，解得，符合题意．
在线段AB上存在点M，当线段时，PM与平面PAD所在平面成角．……12分
22．（本小题满分12分）
解：由已知得，
则，，
所以椭圆标准方程为……3分
设直线l方程为，
设、联立方程组，
，，……4分
由得，
所以化简得，
化简得，
，所以或舍去，
所以直线过定点 ……7分
当直线斜率不存在时也符合题意……8分
由知且，，
因为直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，
所以，即，
又，所以， ，……9分
由于直线PQ的斜率存在且不为0及，得且．……10分
设d为点O到直线l的距离，则
，
所以的取值范围为．……12分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
D
D
D
C
C
D
D
C
C
C