山西省阳泉市2019-2020学年高二上学期期末考试 数学（理）试题

这是一份山西省阳泉市2019-2020学年高二上学期期末考试 数学（理）试题，共8页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回.，已知双曲线的渐近线与抛物线E等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.
2．答卷前考生务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4．考试结束后，将答题卡交回.
5．考试时间90分钟，满分100分.
第Ⅰ卷（30分）
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设命题，使得，则为（ ）
A．，使得B．，使得
C．,使得D．，使得
2．已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，点P是抛物线C上一点，若|PF|=5,则点P的横坐标是( )
A.－4 B. 1 C.4 D.－4或4
3.已知向量a=(0,3,3)和b=(－1,1,0)分别是直线l和m的方向向量，则直线l与m所成的角为（ ）
A． B． C． D．
4．“m>0”是“方程表示双曲线”的( )
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点 ，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．与命题“若实数x≠y,则csx≠csy”等价的命题是（ ） (第5 题图)
A.若实数x=y,则csx=csy B.若csx=csy ,则实数x=y
C.若csx≠csy ,则实数x≠y D.若实数x≥y,则csx≥csy
7. 若直线l：x－y－1=0与椭圆C：交于A、B两点，则|AB|=( )
A. B. C. D.
8.若命题都有是假命题，则实数m的取值范围是( )
A． (－,3] B. [－1,+) C.[－1, 3] D.[3,+)
9．正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯（如图）的
纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，若灯口直径是20 cm，
灯深10 cm，则光源到反光镜顶点的距离是( )
A．2.5 cm B．3.5 cm C．4.5cm D．5.5 cm （第9题图）
10．已知双曲线的渐近线与抛物线E:的准线分别交于A、B两点，若抛物线的焦点为F，且FAFB，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
第Ⅱ卷（70分）
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知直线l的一个方向向量为a=(4，2，－2)，平面α的一个法向量为n=(－1，1，t)，若l∥α,则实数t的值是 .
12. 已知椭圆E的中心在原点、对称轴为两坐标轴，且一个焦点为F(0,1)，离心率为，则该椭圆的方程是 .
13.在“数学发展史”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测：
甲说：我的成绩比乙高；
乙说：丙的成绩比我和甲的都高；
丙说：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人中预测正确的是 .
14．已知空间四点A（2，－1，1）、B（1,2,3）、C(0，2， 1)、D(1，0，λ)在同一平面内,则实数λ=________．
15．已知焦点为F的抛物线C:的准线是直线l，若点A(0,－3)，点P为抛物线C上一点，且PMl于M,则|PM|+|PA|的最小值为 .
16．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1和平面ACD1所成角的正弦值为 .
17.设 是双曲线C:的两个焦点，P为双曲线C上一点，若ΔPF1F2是直角三角形，则ΔPF1F2的面积为 .
18.已知命题p：方程表示的图形是双曲线的一支和一条直线；
命题q：已知椭圆E：，过点的直线与椭圆E相交于A、B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为.
则下列四个命题①中，是真命题的是 （只写出序号）.
三、解答题（本大题共5个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.(本小题8分)
已知双曲线C与椭圆E:有公共的焦点，且离心率为，求双曲线C的方程及其渐近线方程.
20. (本小题8分)
设集合S=，T=，且命题p：x∈S，q：x∈T，若命题q是p的必要且不充分条件，求实数a的取值范围.
21．(本小题10分)
已知向量a＝(2，4，－2)，b＝(－1，0，2)，c＝(x，2，－1)．
(1)若a∥c，求|c|；
(2)若b⊥c，求(a－c)∙(2b+c)的值．
22.(本小题10分)
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABAD,AD∥BC,
侧棱SA平面ABCD,且SA=AB=BC=2AD=2.
(1)求证：平面SBC平面SAB;
(2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值. （第22题图）
23.(本小题10分)
已知圆M：和点N（，0），Q为圆上的动点，线段NQ的垂直平分线交MQ于点P，记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点A(0,2)的直线l与E相交于B、C两点，当△OBC的面积最大时，求直线l的方程．
山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试
高二理科数学（选修2—1）参考答案与评分标准
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11.－1；12.；13. 甲；14. ；
15.；16.17. 4或 ; 18.①②④.
三、解答题（本大题共5个小题，共46分.）
19. (本小题8分)
解：∵椭圆E:的焦点为（-5，0）和（5，0），
∴c=5, …………………………………………2分
∵双曲线C的离心率为，
∴a=4,b=3, ……………………………………6分
∵双曲线C的焦点在x轴上，
∴双曲线C的方程为，渐近线方程为.…………………8分
20. (本小题8分)
解：∵q：x∈T==，
∴q：x∈∁RT={x|－1≤x≤2},
∵命题q是p的必要且不充分条件，
∴S是∁RT的真子集, ………………………………4分
∵S=
∴∴－1≤a≤1,检验知a=－1和1时满足题意，
∴实数a的取值范围是[－1,1]. ………………………………8分
21．(本小题10分)
解：(1) ∵ a∥c，
∴，
∴x=1, ………………………………2分
∴c=（1，2，－1），
|c|=. ………………………………5分
(2)∵b⊥c，
∴－x+2×0－1×2=0,
∴x=－2,………………………………7分
∴c=（－2，2，－1），
∴a－c=（4,2,－1），2b+c=（－4,2,3），
∴(a－c)∙(2b+c)=－15.………………………………10分
22.(本小题10分)
(1)证明：∵SA平面ABCD,BC平面ABCD，
∴SABC，
∵ABAD,AD∥BC,
∴BCAB,
∵SA∩AB=A,
∴BC平面SAB,………………………………3分
∵BC平面SBC,
∴平面SBC平面SAB.………………………………5分
(2)解：分别以AD、AB、AS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，则
由SA=AB=BC=2AD=2可知，
A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),
由(1)知BC平面SAB，
∴ 为平面SAB的一个法向量,且=(2,0,0);
设=(x,y,z)为平面SCD的一个法向量，则
, ,
∴. =0,.=0,
∵=(1,2,0),=(1,0,-2),
∴
令z=1,则x=2,y=-1,∴=(2,-1,1), ………………………………8分
设平面SCD与平面SAB所成的二面角为θ，则
∴|csθ|=|cs|=,
∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为.………………………………10分
23.(本小题10分)
解：（1）由题意可知，M（-，0），|MQ|=4,|MN|=2，
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|=|MQ|=4>|MN|,
∴曲线E是以M、N为焦点的椭圆，且2a=4,c=,
∴a=2,b=1, ………………………………2分
∴曲线E的方程为. ………………………………4分
（2）由题意可知，直线l存在斜率，不妨设为k,则l：y=kx+2,且设B(x1，y1)、C(x2,y2),于是
，
∴，
∴Δ=
∴4k2-3>0，∴∪，
且，， ………………………………6分
∴|BC|==，
∵点O到直线l的距离为d=，且4k2-3>0，
∴SΔOBC=×=≤1，……8分
当且仅当时，即k=时，SΔOBC最大为1，
此时，直线l的方程为y=x+2. ………………………………10分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
B
C
B
D
C
A
D