陕西省咸阳市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（文）试题

这是一份陕西省咸阳市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（文）试题，共7页。试卷主要包含了过点P的抛物线的标准方程是等内容，欢迎下载使用。

选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{0,2,3,5},B={2,3,4,5}，则( )
A．{2,3,5} B．{0,3,5} C．{0,2,5} D．{0,2,3}
设x∈R，则“3－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A．必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝eq \r(5)，c＝2，cs A＝eq \f(2,3)，则b＝( )
A.eq \r(2)B.3C．2 D．eq \r(3)
4．“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是( )
A．∀x∈R，x2－πx<0B．∀x∈R，x2－πx≤0
C．∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－πx0<0D．∃x∈R，xeq \\al(2,0)－πx0≤0
5.已知△ABC中，A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(π,4)，a＝1，则b等于( )
A．2 B．1 C．eq \r(3) D．eq \r(2)
6.下列命题中，真命题是( )
A．命题“若a>b，则ac2>bc2”
B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题
C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题
7.曲线y＝2sin x＋cs x在点(π，－1)处的切线方程为( )
A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
8．过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)yB．y2＝eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y
C．y2＝eq \f(9,2)x或x2＝－eq \f(4,3)yD．y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝－eq \f(4,3)y
9.若方程eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A．m<2或m>6 B．2－2 D．－610．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间
(a，b)内的极小值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11.已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4－k)＝1的离心率为eq \f(4,5)，则k的值为( )
A．－21 B．21C．－eq \f(19,25)或21 D.eq \f(19,25)或－21
12.毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的一条渐近线方程为x＋y＝0，则a＝____.
14．过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为_______
15．若变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋3≥0，,x－2y＋4≥0，,x－2≤0，))则z＝x＋eq \f(1,3)y的最大值是_.
16．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,3)，则b＋c＝__.
三．解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
(本小题满分10分)解下列不等式
(1)－2x2＋x＋3<0；(2)eq \f(2x－1,3－4x)≥1.
18．(本小题满分12分)求下列函数的导数．
①y＝ln x＋eq \f(1,x)；②y＝(2x2－1)(3x＋1)；
③y＝x－sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)；④y＝eq \f(csx,ex)；
19．(本小题满分12分)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cs B＝－eq \f(1,2).
(1)求b，c的值；
(2)求sin (B＋C)的值．
20.（本小题12分）记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
21.（本小题12分）如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点
P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)若直线PA和PB的倾斜角互补，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝eq \f(x－1,x)－lnx.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在[eq \f(1,e)，e]上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)．
2020-2021学年度第一学期
期末考试高二数学（文）试题
选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1-6．AABCDD 7—12CAAADB
二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13 a＝1. 14． eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1 15．3 16 .－12.
三．解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
(本小题满分10分)
解下列不等式
(1)－2x2＋x＋3<0；(2)eq \f(2x－1,3－4x)≥1.
答案： (1)化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，
∴(x＋1)(2x－3)>0，即(x＋1)(x－eq \f(3,2))>0，
∴x>eq \f(3,2)或x<－1，
∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(eq \f(3,2)，＋∞)．
（化eq \f(2x－1,3－4x)≥1为eq \f(6x－4,3－4x)≥0，即eq \f(3x－2,4x－3)≤0，
（2）(3x－2)(4x－3)≤0，且x≠eq \f(3,4)，即(x－eq \f(2,3))(x－eq \f(3,4))≤0(且x≠eq \f(3,4))
∴原不等式的解集为{x|eq \f(2,3)≤x18．(本小题满分12分)
求下列函数的导数．
①y＝ln x＋eq \f(1,x) ； ②y＝(2x2－1)(3x＋1)；
③y＝x－sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)； ④y＝eq \f(csx,ex)；
答案： (1)①y′＝(ln x＋eq \f(1,x))′＝(ln x)′＋(eq \f(1,x))′＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x2).
②因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
所以y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′
＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3．
③因为y＝x－sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)＝x－eq \f(1,2)sinx，
所以y′＝(x－eq \f(1,2)sinx)′＝x′－(eq \f(1,2)sinx)′＝1－eq \f(1,2)csx.
④y′＝(eq \f(csx,ex))′＝eq \f(csx′ex－csxex′,ex2)
＝－eq \f(sinx＋csx,ex).
19．(本小题满分12分)
13．)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cs B＝－eq \f(1,2).
(1)求b，c的值；
(2)求sin (B＋C)的值．
[解析] (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得
b2＝32＋c2－2×3×c×(－eq \f(1,2))．
因为b＝c＋2，
所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×(－eq \f(1,2))．
解得c＝5.
所以b＝7.
(2)由cs B＝－eq \f(1,2)得sin B＝eq \f(\r(3),2).
由正弦定理得sin A＝eq \f(a,b)sin B＝eq \f(3\r(3),14).
在△ABC中，B＋C＝π－A.
所以sin (B＋C)＝sin A＝eq \f(3\r(3),14).
20.（本小题12分）
记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
标准答案
(1)设{an}的首项为a1，公比为q.
由题设可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a11＋q＝2，,a11＋q＋q2＝－6，))2分eq \x(得分点①)
解得q＝－2，a1＝－2.4分eq \x(得分点②)
故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)由(1)可得Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝－eq \f(2,3)＋(－1)neq \f(2n＋1,3)，8分eq \x(得分点④)
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－eq \f(4,3)＋(－1)neq \f(2n＋3－2n＋2,3)
＝2[－eq \f(2,3)＋(－1)neq \f(2n＋1,3)]＝2Sn，11分eq \x(得分点⑤)
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.
21.（本小题12分）如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)若直线PA和PB的倾斜角互补，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
[解析] (1)设抛物线解析式为y2＝2px，
把(1,2)的坐标代入得p＝2，
∴抛物线解析式为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
(2)∵直线PA和PB的倾斜角互补，
∴kPA＋kPB＝0，
∴eq \f(y1－2,x1－1)＋eq \f(y2－2,x2－1)＝eq \f(y1－2,\f(y\\al(2,1),4)－1)＋eq \f(y2－2,\f(y\\al(2,2),4)－1)＝0，
∴eq \f(1,y1＋2)＋eq \f(1,y2＋2)＝0，∴y1＋y2＝－4，
kAB＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(y2－y1,\f(y\\al(2,2),4)－\f(y\\al(2,1),4))＝eq \f(4,y2＋y1)＝－1.
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝eq \f(x－1,x)－lnx.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在[eq \f(1,e)，e]上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)．
[解析] (1)f(x)＝eq \f(x－1,x)－lnx＝1－eq \f(1,x)－lnx，
f(x)的定义域为(0，＋∞)．
∴f′(x)＝eq \f(1,x2)－eq \f(1,x)＝eq \f(1－x,x2)，由f′(x)>0，得0由f′(x)<0，得x>1，
∴f(x)＝1－eq \f(1,x)－lnx在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)得f(x)在[eq \f(1,e)，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴f(x)在[eq \f(1,e)，e]上的最大值为f(1)＝1－1－ln1＝0.
又f(eq \f(1,e))＝1－e－lneq \f(1,e)＝2－e，f(e)＝1－eq \f(1,e)－lne＝－eq \f(1,e)，且f(eq \f(1,e))∴f(x)在[eq \f(1,e)，e]上的最小值为f(eq \f(1,e))＝2－e.
∴f(x)在[eq \f(1,e)，e]上的最大值为0，最小值为2－e.