专题14 导数的应用--2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第二册）

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函数的单调性问题
1．（2023上·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当时，（是函数的导函数）成立.若，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题可得的图象关于轴对称，令，可得是奇函数，利用导数可得单调性，由此能求出结果．
【详解】的图象关于直线对称，
的图象关于轴对称，
，
令，，
是奇函数，
当时，，
在单调递减，则在也单调递减，
∵，，，
∴，
∴，
故选：D．
2．（2023上·陕西西安·高二校考期末）函数的图象如图，则导函数的图象可能是下图中的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性及单调性，判断导函数的奇偶性及函数值的正负即可求解.
【详解】由函数图象知为偶函数，则，因为的导数存在，
两边取导数可得，由复合函数的求导公式可得，故，
即为奇函数，排除CD，
由原函数图象可知当时，先递增再递减，故在时，函数值先正后负，故排除B，
故选：A
3．（2023上·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得在上恒成立，可转化为.求出的最小值，即可得出实数a的取值范围.
【详解】由已知，函数的定义域为，.
由在定义域内单调递减，所以在上恒成立，
即，可转化为在上恒成立，所以．
因为，所以，所以．
因此实数a的取值范围是．
故选：D．
【点睛】思路点睛：求出函数的导函数，然后根据函数的单调区间得到不等式恒成立的问题.分离参数或二次求导求出最值即可得出答案.
4．（2023上·山西阳泉·高二统考期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先对函数求导，然后令导函数大于0解出不等式，并结合函数的定义域，即可得到本题答案.
【详解】因为，所以，
令，得或，
又函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为，
故选：C
5．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设m为实数，已知函数，则不等式的解集为
【答案】
【分析】根据给定条件，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调性解不等式作答.
【详解】函数的定义域为R，求导得：，
而，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，
因此，即函数在R上单调递增，则，
所以不等式的解集为.
故答案为：
6．（2023上·浙江宁波·高二统考期末）设函数（m为实数），若在上单调递减，则实数m的取值范围 ．
【答案】
【分析】首先根据题意得到，，再根据的单调性即可得到答案.
【详解】，因为函数在区间上单调递减，
所以，恒成立，
即，.
又在上单调递减，所以，
故，即，
所以m的取值范围为.
故答案为：.
7．（2023上·福建福州·高二福州三中校考期末）写出一个同时具备下列性质①②的函数： ．
①；② ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题目的要求分析函数的类型，再从中选一个.
【详解】因为 是加变乘，所以考虑指数函数类型，又 是减函数，
满足要求；
故答案为： （答案不唯一）.
8．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在点处切线的方程；
(2)试讨论函数的单调区间.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）利用导数几何意义结合条件即得；
（2）求函数的导函数,得到导函数的零点,讨论的范围，由导函数的零点对函数定义域分段,利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性.
【详解】（1）当时，,则，
，又，
在点处切线的方程为；
（2）由题可得，
令，解得或，
若，，当变化时，，的变化情况如表：
的单调增区间为和,，单调减区间为；
②若，，当变化时，，的变化情况如表：
的单调增区间为和，单调减区间为；
③若，则，函数的单调增区间为；
综上，当时，的单调增区间为和,，单调减区间为；当时，的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为.
函数的极值问题
9．（2023上·湖南张家界·高二统考期末）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解.
【详解】函数的定义域为，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以解得，
故选:A.
10．（2023上·江苏·高二统考期末）在等比数列中，是函数的极值点，则a5＝（ ）
A．或B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知：是方程的两根，利用韦达定理和等比数列的性质即可求解.
【详解】因为，所以.
又因为是函数的极值点，
即是方程的两根，则有，
由为等比数列可知：，因为，且，所以，则有，所以，
故选：.
11．（2023上·北京朝阳·高二统考期末）已知函数有两个极值点，则（ ）
A．或B．是的极小值点C．D．
【答案】A
【分析】根据函数有两个极值点，
则导数为有两个根,由单调性及根与系数的关系等逐个判断即可.
【详解】因为函数有两个极值点，
所以有两个根,
所以,,故选项错误;
因为有两个根,
所以,即得,解得或,故选项正确;
因为有两个根,
在上单调递增,在上单调递减,所以是的极大值点,故选项错误;
故选: A.
12．（2023上·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．有极大值，无极小值D．有极小值，无极大值
【答案】C
【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值.
【详解】因为，所以，
则当时，当时，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时函数有极大值，无极小值.
故选：C
13．（2023上·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知函数，则的极大值为
【答案】
【分析】求出函数导数，令导数等于0，判断出极大值点，进而求得极大值，即得答案.
【详解】由函数得函数，
令，则或，
当时，，当时，，当时，
故为函数的极大值点，极大值为，
故答案为：
14．（2023上·四川资阳·高二统考期末）函数在区间上的极大值点是 .
【答案】
【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值点.
【详解】因为，，所以，
令，即，解得，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即极大值点为.
故答案为：
15．（2023上·吉林·高二校联考期中）若是函数的极大值点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求导后，得导函数的零点，比较两数的大小，分别判断在两们的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在处取到极大值，即可求得的范围．
【详解】因为，，
，
令，解得或，
当，即，
则当或时，当时，
此时在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，
符合是函数的极大值点，
反之，当，即，
则当或时，当时，
此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以是函数的极小值点，不符合题意；
当，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点．
综上得：，即的取值范围是．
故答案为：．
16．（2023上·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期末）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)求的极值．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为；
(2)极大值为，极小值为0．
【分析】（1）求出导函数，在定义域内由得增区间，由得减区间；
（2）由单调性得极值点，计算得极值．
【详解】（1）的定义域为，
，令，解得或，
令，解得，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，，
所以的极大值为，极小值为0．
函数的最值问题
17．（2023上·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数，，若成立，则n－m的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令，得到关于t的函数式，进而可得关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值.
【详解】令，则，，
∴，，即，
若，则，
∴，有，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴，即的最小值为.
故选：A.
【点睛】关键点睛：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
18．（2023上·江苏徐州·高二统考期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，利用导数可得在上单调递减，从而有，即；令，利用导数可得在上单调递减，从而有，即，即可得答案.
【详解】设，则有，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，
即有，
故；
令，则，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以，
即，
故，
综上所述，则有.
故选：B
【点睛】方法点睛：对于比较大小的题目，常用的方法有：(1)作差法；(2)作商法；(3)利用函数的单调性进行比较.
19．（2023上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知函数．则下列结论中正确的是（ ）
A．函数既有最小值也有最大值B．函数无最大值也无最小值
C．函数有一个零点D．函数有两个零点
【答案】C
【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，得到函数有最大值，无最小值，AB错误，设，函数单调递增，，故函数有一个零点，C正确，D错误，得到答案.
【详解】，，，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
故函数有最大值，无最小值，AB错误，
设，则恒成立，函数单调递增，
且，故函数有一个零点，C正确，D错误.
故选：C
20．（2023上·福建南平·高二统考期末）已知函数的最小值为－1，过点的直线中有且只有两条与函数的图象相切，则实数b的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先利用导数求出函数的最小值，结合题意可得，设过点的直线与函数的图象相切的切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过点建立方程，再结合过点的直线有两条与函数的图象相切可得，解之即可求解.
【详解】因为，则，
令可得．
当时，，是增函数．
当时，，是减函数．
所以当时，有最小值，所以，
设过点的直线与函数的图象相切的切点为，
则切线方程为，
又切线过点，
所以，
即，
即．
过点的直线有两条与函数的图象相切，
则，即，
解得：或．
故选：.
21．（2023上·陕西宝鸡·高二统考期末）若函数在上的最小值是1，则实数的值是（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】B
【分析】，先求得极值，再求得端点值比较求解.
【详解】解：令，
解得或，
当时，，时，，
又，，
显然，
所以，
所以，
故选：B
22．（2023上·江苏常州·高二常州市第一中学校考期末）已知正实数x，y满足，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】把已知等式变形为，利用函数的单调性得的关系，从而将转化为的函数，再利用导数求得其最大值即可．
【详解】由得，所以，则，
因为，，，所以，
令，则，所以在上单调递增，
所以由，即，得，所以，
所以，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即的最大值为．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键对已知等式进行同构变形，从而利用函数的单调性得出变量间的关系，由此得解.
23．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算，得到，解得答案.
【详解】，，取得到，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
，取，则或，
函数在上有最小值，则，
解得，即.
故答案为：
24．（2023上·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数，且.
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用可构造方程求得的值，结合可求得切线方程；
（2）利用导数可求得的单调性，结合区间端点值和极值可求得的最值，由此可得的值域.
【详解】（1），，解得：，
，则，
在点处的切线方程为：，即.
（2）由（1）知：，则，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
又，，，，，，
的值域为.
25．（2023上·云南昆明·高二昆明一中校考期末）定义在R上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可得，构建，求导，结合函数单调性解不等式.
【详解】∵，且，可得，
故原不等式等价于，
构建，则，
∵，则恒成立，
∴在定义域内单调递减，且，
则对于，解得，
故不等式的解集为.
故选：B.
26．（2023上·陕西商洛·高二统考期末）已知函数的一个极值点为1，则（ ）
A．6B．C．3D．
【答案】D
【分析】根据可导函数在极值点的导数为0求得，而，，再利用导数的定义即可求解.
【详解】求导得
因为的一个极值点为1，
所以，解得
当时，，则1是函数的一个极值点.
所以，此时.
因为
而
所以
故选：D
27．（2023上·陕西·高二校联考期末）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知含导数的不等式，构造函数，，求导确定函数的单调性，即可得函数值大小，从而得答案.
【详解】设函数，，则，
所以在上单调递减，从而，
即，则.
故选：A.
28．（2023上·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）若函数在区间上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求函数的极值点，由条件列不等式，求的取值范围.
【详解】因为，
所以当时，即时函数取最大值，
当时，即时函数取最小值，
故函数的极大值点为，极小值点为，
因为函数在区间上既有极大值又有极小值，
所以，故，
所以的取值范围为.
故选：A.
29．（2023上·山西运城·高二统考期末）若函数有小于0的极值点，则a的范围是 ．
【答案】
【分析】由函数解析式，求导，将问题转化为导数求零点问题，构造新函数，再求导，研究函数在小于上的值域，利用函数平移规律，可得答案.
【详解】由函数，则求导可得，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故，由恒成立，则当时，恒成立，
因此，当时，，
由函数有小于0的极值点，则有小于的零点，且零点的左右符号不同，
根据函数的平移变换，可得，
故答案为：.
30．（2023上·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期末）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】由已知构造函数，并得出函数在上单调递减，再求解不等式即可.
【详解】令，则在上恒成立，
所以在上单调递减.
又，即，
又，即，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数.通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答.利用导数构造函数时，不仅要牢记两个函数u(x)和v(x)的积、商的导数公式的特点，还需要牢记常用函数的导数的特征.
31．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出函数的单调性，结合最小值的定义即可求解.
【详解】，令得，
时，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
若函数在上有最小值，则其最小值必为，
则必有且，解得，
故答案为：.
32．（2023上·安徽·高二校联考期末）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
【答案】(1)递增区间为，；递减区间为
(2)最大值为59，最小值为-49
【分析】（1）求出函数的定义域，然后求导，解不等式，得到单调区间；
（2）根据函数的单调性求出极值和端点值，比较后确定最值.
【详解】（1）的定义域为R，且.
解得或，所以递增区间为，；
解得，所以递减区间为.
（2）由（1）可知，的变化如下表
所以函数在上的最大值为59，最小值为-49.
33．（2023上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知函数（k为常数，且）．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件及函数值的定义，利用导数的法则及导数的几何意义，结合直线的点斜式方程即可求解；
（2）将函数在区间上存在极值转化为，使得，两侧的导数异号，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）当时，，，
所以，
所以，
所以在处的切线的斜率为，
所以在处的切线方程为，即.
（2）因为，，
所以，
因为函数在区间上存在极值，
所以，使得，两侧的导数异号，
所以，即，，
令，，
由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增，
所以，即,
所以实数k的取值范围为.
34．（2023上·山西临汾·高二统考期末）已知函数在处取得极小值1.
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)a＝3，b＝－9
(2)
【分析】（1）对函数求导，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；
（2）由（1）得到的解析式，利用导数研究其单调性，进而可求出最值，得到值域.
【详解】（1）因为，所以，
根据题意，即
解得a＝3，b＝－9.
（2）由（1）知，，
令，解得或，
当时，及的变化情况如下表：
因此当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
故的值域为.,
0
0
增函数
减函数
增函数
,
0
0
增函数
减函数
增函数
x
-3
（-3，-1）
-1
（-1，1）
1
（1，3）
3
+
0
-
0
+
-49
单调递增
极大值11
单调递减
极小值-1
单调递增
59
1
2
0
28
单调递减
1
单调递增
8