专题07 直线与椭圆--2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第二册）

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椭圆的弦长问题
1．（2023上·陕西宝鸡·高二统考期末）已知椭圆左右焦点分别为，上顶点为A，离心率为，过且为线段的垂线交于两点，则周长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知椭圆，过椭圆的左顶点A作直线，与椭圆和轴分别交于点和点，过原点且平行于的直线与椭圆交于点，则（ ）
A．，，始终成等比数列
B．，，始终成等比数列
C．，，始终成等比数列
D．，，始终成等比数列
3．（2023上·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知椭圆，直线l与两个坐标轴分别交于点M，N．且与椭圆E有且只有一个公共点，O是坐标原点，则面积的最小值是（ ）
A．B．4C．D．2
4．（2023上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于M、N两点，若的周长为16，离心率，则面积的最大值为（ ）
A．12B．2C．4D．8
5．（2023上·浙江杭州·高二校考期末）（多选题）已知圆与圆的一个交点为M，动点M的轨迹是曲线C，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C的方程式
B．曲线C的方程式
C．过点且垂直于x轴的直线与曲线C相交所得弦长为
D．曲线C上的点到直线的最短距离为
6．（2023上·山东泰安·高二统考期末）（多选题）已知椭圆内一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，椭圆的左，右焦点分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的焦点坐标为，
B．椭圆C的长轴长为4
C．直线与直线的斜率之积为
D．
7．（2023上·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考期末）（多选题）已知椭圆的左、右两个端点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法不正确的是（ ）
A．的周长为6B．的最大面积为
C．存在点使得D．的最大值为7
8．（2023上·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考期末）已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则 ．
9．（2023上·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为 ．
10．（2023上·浙江宁波·高二校联考期末）过点的直线与椭圆交于两点，则的最大值是 .
11．（2023上·辽宁·高二校联考期末）已知椭圆的离心率为，C上的点到其焦点的最大距离为．
(1)求C的方程；
(2)若圆的切线l与C交于点A，B，求的最大值．
12．（2023上·四川凉山·高二统考期末）已知椭圆的长轴为4，离心率为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过椭圆E的右焦点F的直线与椭圆E交于A，B两点，直线x=4与x轴交于点C，求四边形OACB的面积S的取值范围（其中O为坐标原点）．
椭圆的中点弦问题
13．（2023上·宁夏银川·高二银川一中校考期末）过点的直线与椭圆交于两点，且点M平分弦，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023上·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）已知椭圆和点，直线与椭圆交于两点，若四边形为平行四边形，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2023上·江西赣州·高二统考期末）椭圆，M，N是椭圆上关于原点对称的两动点，P为椭圆上任意一点，直线，的斜率分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
16．（2023上·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）若直线与椭圆交于两点，且，则点的坐标可能是（ ）
A．B．
C．D．
17．（2023上·云南昆明·高二昆明一中校考期末）已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为 .
18．（2023上·江西上饶·高二统考期末）已知直线与椭圆在第二象限交于两点,且与轴、轴分别交于两点,若,,则的方程为 .
19．（2023上·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于两点，若中点坐标为，则椭圆M的方程为 .
20．（2023上·内蒙古包头·高二统考期末）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为2．
(1)求M的轨迹方程；
(2)记M的轨迹为曲线，过点能否作一条直线l，与曲线交于两点D、E，使得点P是线段DE的中点？
21．（2023上·甘肃庆阳·高二统考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，且，．
(1)求，的坐标．
(2)若直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中点为，求直线l的斜率．
22．（2023上·陕西西安·高二统考期末）已知椭圆的一个顶点为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在实数m，使直线与椭圆有两个不同的交点M、N，并使，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
23．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）已知椭圆的上顶点是，右焦点是，直线交于两点，恰是的重心，则的斜率是（ ）
A．B．C．D．
24．（2023上·四川德阳·高二德阳五中校考期中）已知直线与椭圆：交于两点，弦平行轴，交轴于，的延长线交椭圆于，下列说法正确的个数是（ ）
①椭圆的离心率为；
②；
③；
④以为直径的圆过点.
A．1个B．2个C．3个D．4个
25．（2023上·湖北·高二统考期末）（多选题）已知椭圆内一点，上、下焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为，B．椭圆的长轴长为
C．直线的方程为D．的周长为
26．（2023上·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期末）（多选题）已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，若点P是椭圆上异于长轴端点的一个动点，，下列结论中正确的有（ ）
A．的周长为15
B．过椭圆C上一点的切线方程为
C．的最大值为12
D．若M是直线与椭圆C相交弦AB的中点，则方程为：
27．（2023上·浙江舟山·高二统考期末）（多选题）已知椭圆，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线AB过右焦点，则
B．若，则直线AB方程为
C．若，则直线AB方程为
D．若动点满足，则点的轨迹方程为
28．（2023上·江苏苏州·高二统考期末）（多选题）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，直线与没有公共点，且上至少有一个点到的距离为，则的短轴长可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
29．（2023上·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期末）若直线与椭圆恒有两个不同的公共点，则的取值范围是 .
30．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知点，，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大值为 ．
31．（2023上·山东聊城·高二统考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，（），上顶点为A，，且到直线l：的距离为．
(1)求C的方程；
(2)与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；
(3)P为C上的动点，M，N为l上的动点，且，求面积的取值范围．
32．（2023上·内蒙古包头·高二统考期末）已知椭圆左右焦点分别为，离心率为．斜率为的直线（不过原点）交椭圆于两点，当直线过时，周长为8．
(1)求椭圆的方程；
(2)设斜率分别为，且依次成等比数列，求的值，并求当面积为时，直线的方程．
33．（2023上·湖北黄冈·高二统考期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，椭圆的一条以为中点的弦所在直线的方程为.
(1)求椭圆的方程；
(2)点为直线上一点，且不在轴上，直线，与椭圆的另外一个交点分别为M，N，设，的面积分别为，，求的最大值，并求出此时点的坐标.