专题05 直线与圆、圆与圆的位置关系--2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第二册）

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直线与圆、圆与圆的位置关系
1．（2023上·重庆·高二统考期末）直线l：与圆C：的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．都有可能
【答案】A
【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案.
【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为，
圆心到直线l的距离为，
所以直线l与圆C的位置关系是相交.
故选：A.
2．（2023上·四川眉山·高二仁寿一中校考期末）已知圆与抛物线的准线相切，则（ ）
A．B．C．8D．2
【答案】D
【分析】根据抛物线的几何性质，直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】 抛物线 的准线为，
又圆 与该抛物线的准线相切,
圆心到准线 的距离：
.
故选： D.
3．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离，再计算最小值得到答案.
【详解】圆，圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，直线和圆相离，
故圆上的点到直线的距离的最小值为.
故选：B
4．（2023上·天津·高二校联考期末）圆上的点到直线的最大距离是（ ）．
A．36B．C．18D．
【答案】B
【分析】求出圆的圆心坐标及半径，利用点到直线的距离公式计算，判断直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】因为圆，即，
所以圆心坐标为，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，
所以圆上的点到直线的最大距离为
.
故选：B.
5．（2023上·浙江台州·高二期末）已知曲线，若存在斜率为的直线与曲线C有两个交点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】数形结合，分析CB斜率可得.
【详解】由，若与x轴相交于，
记右侧交点为，则当时，存在斜率为的直线与曲线C相切，且切点在第一象限，故此时存在斜率为的直线与曲线C有两个交点.
故或．
故选：D
6．（2023上·重庆·高二统考期末）与圆：及圆：都外切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上B．双曲线的一支上C．抛物线上D．圆上
【答案】B
【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都外切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案.
【详解】设所求圆的半径为，圆心为，
圆：的圆心，半径，
圆化为标准方程得，则圆心，半径，
因为，所以两圆相离，
由题意可得，两式相减得，
所以圆心在双曲线的一支上.
故选：B.
7．（2023上·新疆·高二校联考期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．外切D．内切
【答案】C
【分析】确定两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径的关系判断位置关系即可.
【详解】圆的圆心与圆的圆心，所以两圆的圆心距为3，
又圆的半径为1，圆的半径为2，且圆心距等于圆与圆的半径之和，
所以圆与圆的位置关系为外切．
故选：C.
8．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】确定两圆圆心和半径，根据公切线得到两圆外切，得到，变换得到，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】，即，圆心，；
，即，圆心，半径；
两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故，
即，
.
当且仅当，即，时等号成立.
故选：A
9．（2023上·广东清远·高二统考期末）已知两圆与外离，则整数m的取值是 ．
【答案】
【分析】分别求出两圆的圆心和半径，根据两圆外离可知圆心距大于两半径之和，即可解出的取值范围，再取整数即可得到结果.
【详解】因为圆的圆心为，半径
圆的标准方程为，所以，即；
圆的圆心为，半径
两圆圆心的距离为，
由两圆外离可得，即，解得
所以，
故整数m的取值为.
故答案为：
10．（2023上·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知，圆，在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数），则的坐标为 ．
【答案】
【分析】设，，根据距离公式得到对圆上任意点恒成立，从而得到对任意恒成立，从而得到，即可求出与，从而得解.
【详解】设，，
则，.
若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数，
等价于对圆上任意点恒成立，
即，
整理得，
因为点在直线上，所以，
由于在圆上，所以，
故恒成立，
其中点在圆上，令，则，
所以直线与圆有交点，
所以圆心到直线的距离小于等于半径，即，解得，即，
所以，显然，所以，
故，
因为，解得或.
当时，，此时重合，舍去.
当时，，
综上，存在满足条件的定点，此时.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用题设条件，结合与化简得恒成立，从而得到关于的方程组，由此得解.
圆的切线、弦长问题
11．（2023上·广西防城港·高二统考期末）直线截圆所得的弦长为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长.
【详解】由已知，圆，
则圆心坐标为，半径为，
所以点到直线的距离为，
所以，直线被圆截得的弦长为.
故选：A.
12．（2023上·浙江宁波·高二期末）若直线与圆相交于不同两点A，B，则弦AB长的最小值为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【分析】先求出直线过的定点，且在圆内，然后求出圆心和半径，根据圆的性质得，弦过且时弦长最短，从而可以求解．
【详解】由直线，
令，解得，所以直线过定点，
又，故在圆内．
由，记圆心为，半径，
所以，
根据圆的性质，当弦过且时弦长最短，此时弦长.
故选：B.
13．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）若直线被圆所截得的弦长为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求圆心到直线的距离，结合弦长和勾股定理可得答案.
【详解】因为的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为；
因为弦长为，所以，解得.
故选：D.
14．（2023上·福建福州·高二福州三中校考期末）过点作圆：的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断点在圆上，再求出，即可得到切线的斜率，最后利用点斜式计算可得.
【详解】圆：，即，圆心为，半径，
又，所以点在圆上，且，
所以切线的斜率，所以切线方程为，即.
故选：C
15．（2023上·贵州贵阳·高二统考期末）已知直线l：是圆C：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为A，则（ ）
A．B．7C．D．2
【答案】B
【分析】根据题意分析可得直线l过圆心，可求得，再根据圆的切线长公式运算求解.
【详解】由题意可知：直线l：过圆心，则，解得，
故圆C：的圆心为，半径，且点，
∵，
∴.
故选：B.
16．（2023上·安徽滁州·高二校联考期末）已知圆：，为直线：上的一点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据题意得到当时，此时取得最小值，求出以为直径的圆的方程为，再求两圆的公共弦方程即可.
【详解】由圆的知识可知，，，，四点共圆，且，
所以，
又，当时，此时取得最小值，
此时直线的方程为，即，
，解得，即.
所以的中点为，
所以以为直径的圆的方程为，
又圆：，即，
两圆的方程相减可得：，即直线的方程为．
故选：D
17．（2023上·内蒙古包头·高二统考期末）已知圆与圆交于两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据两圆相交求出公共弦所在直线方程，再根据弦长公式求解即可.
【详解】由题意知，圆与圆相交，且公共弦所在直线方程为.
又圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
由弦长公式得.
故选：B.
18．（2023上·河南平顶山·高二统考期末）已知圆与圆的公共弦长为2，则m的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解.
【详解】联立和,
得，由题得两圆公共弦长，
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以，
平方后整理得,
，
所以或（舍去）；
故选：A.
19．（2023上·安徽滁州·高二校联考期末）圆：与圆：公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】首先根据题意得到两圆相外切，即可得到答案.
【详解】根据题意，圆：，即，
其圆心为，半径；
圆：，即，
其圆心为，半径，
两圆的圆心距，所以两圆相外切，
其公切线条数有3条．
故选：C．
20．（2023上·山东聊城·高二统考期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程.
【详解】圆：的圆心，圆：可化为
，，则其圆心为，半径为，
因为圆与圆相内切，所以，即，故.
由，可得，
即与的公切线方程为.
故选：D
与圆有关的综合问题
21．（2023上·安徽蚌埠·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点在圆外
B．圆与轴相切
C．若圆截轴所得弦长为，则
D．点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为
【答案】AD
【分析】利用点与圆的位置关系可判断A选项；求出圆心到轴的距离，可判断B选项；利用弦长的一半、弦心距以及圆的半径三者满足勾股定理求出的值，可判断C选项；对原点在圆上、圆外进行分类讨论，求出点到圆上一点的最大距离和最小距离，可判断D选项.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
对于A选项，若，则有，即点在圆外，A对；
对于B选项，因为圆心到轴的距离为，而与的大小关系不确定，
所以，圆与轴不一定相切，B错；
对于C选项，若圆截轴所得弦长为，则，解得，C错；
对于D选项，当时，点在圆上，
点到圆上一点的最大距离为，点到圆上一点的最小距离为，则；
当时，则点在圆外，且，
所以，点到圆上一点的最大距离为，最小距离为，
则点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为.
综上所述，点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为，D对.
故选：AD.
22．（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（ ）
A．圆C的方程是
B．过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为
C．圆C与圆有四条公切线
D．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，该直线斜率为
【答案】BD
【分析】对A，设，再根据列式化简可得圆的方程；对B，根据垂径定理求解即可；对C，根据圆心间的距离与半径和差的关系判断两圆位置关系，进而可得公切线条数；对D，分直线斜率为0与不为0讨论，再根据圆心到直线距离与半径的关系列式求解即可.
【详解】对A，设，由可得，即，化简可得，故A错误；
对B，过点A且斜率为的直线方程为，即，则圆的圆心到的距离为，故所求弦长为，故B正确；
对C，圆圆心到圆心的距离为，又两圆的半径和为，故两圆相交，有两条公切线，故C错误；
对D，当直线斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为不合题意，设直线，则由题意C到的距离等于，即，解得，故斜率直线斜率为，故D正确；
故选：BD
23．（2023上·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期末）已知点，则的内切圆的方程为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，确定内切圆的圆心位置，设出圆心坐标，再借助点到直线的距离公式求解作答.
【详解】依题意，内切圆的圆心在第四象限，并且到x、y轴距离相等，令此圆半径为，则圆心，
直线方程为：，即，直线是圆的切线，
因此，解得或，
显然，于是，圆心，
所以内切圆的方程为.
故答案为：
24．（2023上·安徽滁州·高二校联考期末）已知实数，，，满足，，，则的最大值是 ．
【答案】24
【分析】根据几何知识，将问题转化为圆上的两点到直线的距离和最大问题，根据两个点形成的夹角结合圆的性质即可求出最大值.
【详解】由题意，
实数，，，满足，，，
设，，
∴,是圆：上两点，且，，
，
∴，
记：，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为．
设的中点为，过作的垂线，垂足为，如图所示．
表示的是,两点到直线的距离之和的倍，
又，
∴表示的是到直线的距离的倍．
∵是直角三角形，
∴，
∴在圆上运动，
∴到直线的距离最大值为，
又，
∴的最大值是24．
故答案为：24.
25．（2023上·广西玉林·高二统考期末）已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】过圆心作，由已知求得，再求出圆心到直线的距离，求得的最小值，再由求解.
【详解】如图，为直线上的任意一点，
过圆心作，连接，由，
可得，
由，当共线时取等号，
又是的中点，所以，
所以.
则此时，
的最小值为.
故答案为：
26．（2023上·广西贵港·高二统考期末）已知圆.
(1)若过点向圆作切线，求切线的方程；
(2)若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，求的最大值.
【答案】(1)或
(2)8
【分析】（1）分类讨论，当切线的斜率不存在，易求的方程为；当切线的斜率存在时，设出直线方程，然后利用点到直线距离等于半径建立方程求解即可；
（2）根据圆的性质，利用三点共线的性质求解即可.
【详解】（1）若切线的斜率不存在，则的方程为；
若切线的斜率存在，设切线的方程为，即.
因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为3，即，解得，
所以切线的方程为，即.
综上，切线的方程为或.
（2）因为，所以．
设关于直线对称的点为，
则，解得，即.
因为，所以.
因为，当且仅当三点共线时，等号成立，
所以，故的最大值为.
27．（2023上·贵州铜仁·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知圆.设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)设垂直于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）由题意求出圆，圆的圆心和半径，由两圆外切，可得，即可求出答案.
（2）由，可求出圆心O1到直线l的距离，再由点到直线的距离公式代入求解即可.
【详解】（1）圆：，
则圆的标准方程为，
即圆的圆心坐标为，半径为，
因为圆与x轴相切，与圆O1外切，则圆心，，
则圆的半径为，
则，解得，
即圆的标准方程为；
（2）由（1）知O2（﹣6，1），则，
所以直线l的斜率为，
设直线l的方程为，
因为，则圆心O1到直线l的距离，
所以，解得或，
所以直线l的方程为或．
28．（2023上·湖南邵阳·高二统考期末）已知方程，．
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若（1）中的圆与直线相交于M，N两点，且（O为坐标原点），求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用配方法，结合圆的标准方程特征进行求解即可；
（2）根据平面向量数量积的运算性质和坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数进行求解即可.
【详解】（1），
因为该方程表示圆，所以有，
因此m的取值范围为；
（2）代入方程中，
化简，得，
则有，
设，
则有，
，
，
所以m的值
29．（2023上·贵州铜仁·高二统考期末）若对圆上任意一点，的取值与，无关，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【分析】将转化为点到直线的距离，数形结合，可求出的取值范围.
【详解】依题意表示到两条平行直线和的距离之和的5倍．
因为这个距离之和与x，y无关，
故两条平行直线和在圆的两侧，如图所示，
故圆心到直线的距离，
解得或.
当时，直线在圆的右下方，不满足题意，所以舍去.
所以.故选：A

30．（2023上·山东德州·高二统考期末）已知，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由可整理得到点轨迹方程，设，，可将所求式子化为，由此可得最小值.
【详解】由得：，整理可得：，
则可令，，，
（其中），
则当时，.
故选：D.
31．（2023上·湖南永州·高二统考期末）已知，，是圆：上的动点，则外接圆的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意确定圆：和圆，
有公共点，结合圆与圆的位置关系列出不等式可求解.
【详解】中点横坐标为，所以外接圆的圆心在上，
设圆心为，则半径为，
圆心距，
圆，
又因为在圆上，所以圆与圆有公共点，
所以，
显然成立，
两边同时平方可得，
，所以，
所以所以
当且仅当解得时取得等号，
所以周长的最小值为，
故选:C.
32．（2023上·四川南充·高二统考期末）已知点，，若点A到直线l的距离为1，点B到直线l的距离为4，则满足条件的有（ ）条
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由题可将所求转化为求圆与圆的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.
【详解】因为点A到直线l的距离为1，
所以直线l为以为圆心，为半径的圆的切线，
同理直线l还是以为圆心，为半径的圆的切线，
即直线l为圆与圆的公切线，
由题意，满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数即为圆与圆的公切线条数，
因为，所以两圆外切，
所以两圆的公切线有3条，即满足条件的直线有3条.
故选：C.
33．（2023上·河北石家庄·高二统考期末）已知为圆的直径，点为直线上的任意一点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】分析可得，可知当与直线垂直时，取最小值，利用点到直线的距离公式可求得的最小值.
【详解】圆心，半径为，且点为线段的中点，
，
圆心到直线的距离为，
当与直线垂直时，取最小值，即取最小值，
且.
故答案为：.
34．（2023上·四川广元·高二统考期末）已知圆O：，直线l1：和l2：，与圆O相切于点P，与圆O相交于A，B两点．若，则点P到直线的距离为 ．
【答案】
【分析】由与圆相切求得的方程，进一步求得的坐标，利用圆的性质求得圆心到直线的距离，利用圆的垂径定理列式求的值，可得的方程，再由点到直线的距离公式列式求解．
【详解】由圆O：，得圆的圆心，半径，
又：与圆O相切于点P，
则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，
所以直线的方程为，
联立，解得或，即或；
又与圆O相交于A，B两点且，设圆心到直线的距离为，
则，即，解得：，
当时，点到直线的距离，
当时，点到直线的距离，
综上所述：点P到直线的距离为，
故答案为：．
35．（2023上·辽宁锦州·高二统考期末）已知点，，，动点M满足，记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)求过点N与曲线C相切的直线方程；
(3)曲线C与圆相交于E，F两点，求．
【答案】(1)
(2)和
(3)
【分析】（1）设出点，根据已知结合两点间距离列式化简即可得出答案；
（2）分类讨论过点N的直线方程斜率存不存在，设出直线方程，根据直线与圆相切的判定，即可得出答案；
（3）根据两圆方程相减得出直线所在的方程，即可根据圆的弦长求法得出答案.
【详解】（1）设，
因为M满足，所以，
整理可得：，即．
（2），
点在圆外，
①过点的直线斜率不存在时，直线方程为，与圆C相切，符合题意；
②直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
由直线到圆心的距离得，即，解得，
所以直线方程为整理得．
综上，过点N与圆C相切得直线方程为和．
（3）圆与圆相交于E、F两点，
两个方程作差得直线所在的方程为，
所以圆的圆心到直线的距离，
所以．
36．（2023上·四川遂宁·高二统考期末）平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在y轴的正半轴上，直线与圆相切．
(1)求圆的方程；
(2)设，过点作直线，交圆于P、Q两点，不在y轴上，过点作与直线垂直的直线，交圆于、两点，记四边形的面积为，求的最大值．
【答案】(1)
(2)7
【分析】(1)设圆心为(0,a)，a>0，结合直线与圆相切，计算出a＝2即可；
(2)假设直线方程，借助垂径定理计算出，结合两直线垂直关系同理可得，而，化简后借助基本不等式计算最大值即可.
【详解】（1）设圆心为(0,a)，a>0，则圆的方程为
∴，
∴a＝2，∴圆C的方程为；
（2）设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
（i）若，则直线斜率不存在，则，，则，
（ii）若，则直线得方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述，因为，所以S的最大值为7.
37．（2023上·江苏徐州·高二统考期末）已知圆，圆.
(1)判断与的位置关系；
(2)若过点的直线被、截得的弦长之比为，求直线的方程.
【答案】(1)外切
(2)或
【分析】（1）计算出，利用几何法可判断两圆的位置关系；
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用勾股定理结合点到直线的距离公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）解：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为.
因为，所以圆与圆外切.
（2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与圆相离，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，
所以，直线被圆截得的弦长为，
直线被圆截得的弦长为，
由题意可得，
即，解得或，
经检验，或均符合题意.
所以直线的方程为或.