27.4 正多边形和圆 华东师大版数学九年级下册导学课件

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27.4 正多边形和圆第27章 圆逐点学练本节小结作业提升本节要点1学习流程2正多边形正多边形的有关计算正多边形的画法知识点正多边形11. 正多边形 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.特别解读“各边相等，各角相等”是正多边形的两个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，缺一不可，否则多边形就不是正多边形.2. 圆的内接正n 边形 把圆分成n(n ≥ 3)等份，依次连结各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n 边形，这个圆就是这个正n 边形的外接圆.3. 正多边形的有关概念(1)正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.(2)正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径.(3)正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.(4)正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.4. 正多边形的对称性任意多边形(边数大于3)不一定有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，一定有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.拓宽视野1. 任意三角形都有外接圆和内切圆，但是只有正三角形的外接圆和内切圆是同心圆.2. 所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心. n 为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.例 1如图27.4-1，三角形AOB 是正三角形，以点O 为圆心，OA 为半径作⊙ O，直径FC ∥ AB，AO，BO 的延长线交⊙ O 于点D，E，求证：六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.解题秘方：紧扣正多边形的定义，结合同圆中弦、弧、圆心角的关系证明.证明：∵三角形AOB 是正三角形，∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°，OB=OA.∴点B 在⊙ O 上.∵ FC ∥ AB，∴∠ FOA= ∠ OAB=60°，∠ COB= ∠ OBA=60°.∴ ∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COD= ∠ DOE= ∠ EOF=∠ FOA=60° .∴AB = BC = CD = DE = EF = FA .∴六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.︵︵︵︵︵︵解法提醒：证明一个多边形是圆内接正多边形的方法1. 利用正多边形的定义，证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边相等；2. 证明圆内接多边形各边所对的弧相等，即证明这个多边形的各顶点等分这个圆.1-1. 下列图形：(1)正三角形；(2)正方形；(3)正五边形；(4)正六边形；(5)线段；(6)圆；(7)菱形；(8)平行四边形. 其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是______________(填序号)(2)(4)(5)(6)(7)1-2. 若一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，则这个四边形一定是( )A. 矩形 B. 菱形C. 正方形 D. 不能确定C知识点正多边形的有关计算2   已知正六边形ABCDEF 的半径为6，求这个正六边形的边长a6，周长l6 和面积S6.例2解题秘方：巧用正六边形的边长、半径等关系进行计算.解：如图27.4-2，设正六边形ABCDEF的中心为点O，过点O 作OG ⊥ AB 于点G，连结OA，OB. 解法技巧：构造特殊三角形解正多边形的方法在解决有关正六边形和正方形的计算时，我们往往作相邻两条半径使其与边分别构成等边三角形和等腰直角三角形，然后与前面学过的勾股定理、垂径定理及切线的性质等知识联系起来综合求解. B2-2. [中考·湖州]如图，已知正五边形 ABCDE内接于⊙ O，连结BD，则∠ABD的度数是( )60° 70°72° 144°C知识点正多边形的画法3正n 边形的画法：将圆n 等分，然后顺次连结各等分点，即得到所要作的正n 边形.特别解读画正多边形的原理是在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 2. 用尺规等分圆对于一些特殊的正n 边形，如正方形、正八边形，可以用圆规和直尺作图. 如图27.4-3 ② .在⊙ O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可把圆周四等分，从而作出正方形，若再逐次平分各边所对的弧，就可以作边数逐次倍增的正多边形，如正八边形、正十六边形等.特别提醒1. 画圆内接正n边形，实质是找圆的n 等分点.2. 用量角器等分圆是一种简单常用的方法，但边数很大时，容易产生较大误差.3. 尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法，但只限于作一些特殊的正多边形.作一个正三角形，使其半径为0.9 cm.例 3解题秘方：用量角器画应先求出中心角，用尺规画则先考虑等分圆周.解：作法一 (1)作半径为0.9 cm 的⊙ O；(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，其中A，B，C均为圆上的点；(3)连结 AB，BC，CA，则△ ABC 为所求作的正三角形, 如图27.4-4．作法二 (1)作半径为0.9 cm 的⊙ O；(2)作⊙ O 的任一直径AB；(3)以B 为圆心，以0.9 cm 为半径作弧，交⊙ O 于D，E；(4)连结AD，DE，EA，则△ ADE 为所求作的正三角形，如图27.4-5.3-1. 图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形．如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH (不写作法，保留作图痕迹).略正多边形和圆请完成教材课后习题作业提升