14.1 勾股定理 华东师大版数学八年级上册素养提升卷(含解析)

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第14章　勾股定理单元大概念素养目标14.1　勾股定理基础过关全练知识点1　勾股定理1.(2023广东广州越秀十六中期中)直角三角形的三边长分别为a,b,c,若a2=9,b2=16,那么c2的值是 (　　)A.5　　　　B.7　　　　C.25　　　　D.25或72.【易错题】现有两根木棒的长度分别为40 cm和50 cm,若要钉成一个直角三角形框架,则所需要最短的木棒长是 (　　)A.50 cm 　　B.40 cm　　C.30 cm　　 D.以上都不对3.已知Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c为Rt△ABC的三边长,若a+b=10,c=8,则Rt△ABC的面积为 (　　)A.9　　　　B.18　　　　C.24　　　　D.364.【方程思想】如图,在△ABC中,AB=AC,BD为AC边上的高,BD=4,CD=2,则AD的长度是 (　　)A.2.5　　　　B.3　　　　C.3.5　　　　D.45.【勾股树模型】(2023广东佛山南海期中)如图,三个正方形围成一个直角三角形,图中的数据是它们的面积,则正方形A的面积为 (　　)A.9　　　　 B.16　　　　 C.25　　　　D.56.(2023河南洛阳伊川期末)已知a、b为直角三角形的两边长,且满足(a-3)2+|b-4|=0,则第三边长为　　　　. 7.(2022广东河源和平期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,c=10,a∶b=3∶4,则a=　　　　,b=　　　　. 8.【数形结合思想】(2022陕西西安月考)如图,长方形ABCD的边AD在数轴上,若点A与数轴上表示数-1的点重合,点D与数轴上表示数-4的点重合,AB=1,以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E,则点E表示的数为　　　　. 9.【新独家原创】如图,在△OAB中,OA=OB=5.以O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA、OB于D、E,分别以D、E为圆心,大于12DE的长为半径作弧,两弧交于点F,连结OF并延长交AB于C,OC=3.求AB的长. 10.(2023辽宁沈阳虹桥中学期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,在△ABE中,DE是AB边上的高,DE=8,S△ABE=40.求BC的长度. 知识点2　直角三角形的判定——勾股定理的逆定理11.(2023山东烟台莱阳期末)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c且a2-b2=c2,则下列说法正确的是 (　　)A.∠A是直角 B.∠B是直角C.∠C是直角 D.∠A是锐角12.(2023福建三明大田期中)下列各组数中,是勾股数的是 (　　)A.4,5,6　　　　 B.1,2,3　　　C.1.5,2,2.5　　　D.9,40,4113.(2022江苏盐城东台期中)如图,在4×7的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点A、B、C都是网格线的交点,则三角形ABC的外角∠ACD的度数等于 (　　)A.130°　　　　B.135°　　　　C.140°　　　　D.145°14.△ABC的三边长之比为3∶4∶5,且最长边的长为10 cm,则△ABC的面积为　　　　cm2. 15.【跨学科·体育与健康】王师傅在操场上安装几副单杠,要求单杠与地面平行,杠与两撑脚垂直,如图所示,撑脚AB,DC的长为3 m,两撑脚间的距离BC为4 m,则AC=　　　　m就符合要求. 16.如图,以△ABC的三边为直径分别向三角形外侧作半圆,其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积,则此三角形的形状为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 17.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,点E是BC的中点,点F是CD上一点,且CF=14CD.求证:∠AEF=90°. 知识点3　反证法18.(2022吉林长春宽城期末)用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时,首先应该假设这个三角形中 (　　)A.有一个内角小于45°B.每一个内角都小于45°C.有一个内角大于或等于45°D.每一个内角都大于或等于45°19.(2022山西临汾襄汾期末)用反证法证明:两直线平行,同旁内角互补(填空).已知:如图,l1∥l2,l1,l2都被l3所截.求证:∠1+∠2=180°.证明:假设∠1+∠2　　　　180°, ∵l1∥l2,∴∠1　　　　∠3. ∵∠1+∠2　　　　180°, ∴∠3+∠2≠180°,这与　　　　　　　矛盾, ∴假设∠1+∠2　　　　180°不成立,即∠1+∠2=180°. 能力提升全练20.【等积法的应用】(2021山东滨州中考,2,★☆☆)在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=3,BC=4,则点C到直线AB的距离为 (　　)A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.2.421.【尺规作图】(2022四川成都中考,13,★★☆)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B和C为圆心,以大于12BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交边AB于点E.若AC=5,BE=4,∠B=45°,则AB的长为　　　　. 22.【新考法】(2022湖北咸宁中考,15,★★☆)勾股定理最早出现在《周髀算经》中:“勾广三,股修四,经隅五.”观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……,这类勾股数的特点是勾为奇数,弦与股相差1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;……,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是　　　　.(结果用含m的式子表示) 23.(2021四川攀枝花中考,19,★★☆)下图是“弦图”的示意图,“弦图”最早是由数学家赵爽在《周髀算经》作注时给出的,它标志着中国古代的数学成就.它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成,恰好拼成一个大正方形,每个直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c.请你运用此图形证明勾股定理:a2+b2=c2. 素养探究全练24.【应用意识】【阅读理解】我国古代运用各种方法证明勾股定理,如图1,用四个全等直角三角形拼成正方形,通过证明可得中间也是一个正方形.其中四个直角三角形的直角边长分别为a、b,斜边长为c.图中大正方形的面积可表示为(a+b)2,也可表示为c2+4×12ab,即(a+b)2=c2+4×12ab,所以a2+b2=c2.【尝试探究】美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”如图2所示,用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE,其中△BCA≌△ADE,∠C=∠D=90°,根据拼图证明勾股定理.【定理应用】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c.求证:a2c2+a2b2=c4-b4. 　图1 图2 答案全解全析基础过关全练1.D　当b为直角边长时,c2=a2+b2=25,当b为斜边长时,c2=b2-a2=7,故选D.2.C　解答此题时,易因在没有明确斜边、直角边的情况下直接认为50 cm是斜边长致错.分两种情况:①当40 cm和50 cm为直角三角形的两直角边长时,所需要的木棒长=502+402=4 100(cm);②当50 cm为直角三角形的斜边长时,所需要的木棒长=502-402=30(cm).∵302=900,900<4 100,∴900=30<4 100,∴所需要最短的木棒长为30 cm,故选C.3.A　∵a+b=10,∴(a+b)2=100,∵∠C=90°,∴a2+b2=c2=64,∴2ab=(a+b)2-(a2+b2)=100-64=36,∴ab=18,∴Rt△ABC的面积为12ab=9,故选A.4.B　设AD=a,∵AB=AC,CD=2,∴AB=AC=AD+DC=a+2,∵BD是AC边上的高,∴在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,即(a+2)2=a2+42,解得a=3,故选B.5.C　如图,在Rt△DEF中,由勾股定理得,DE2=DF2+EF2,即DE2=9+16=25,∴正方形A的面积为25,故选C. 6.答案　5或7解析　∵(a-3)2+|b-4|=0,∴a-3=0,b-4=0,解得a=3,b=4,当a,b为直角边长时,第三边长为32+42=5,当b为斜边长时,第三边长为42-32=7.综上,第三边长为5或7.7.答案　6;8解析　∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴a2+b2=c2,∵a∶b=3∶4,c=10,∴a2+43a2=100,又∵a>0,∴a=6,∴b=8.8.答案　-1-10解析　由题意可得,AD=|-4-(-1)|=3,∵四边形ABCD是长方形,∴CD=AB=1,在Rt△ACD中,由勾股定理得,AC=CD2+AD2=12+32=10,∵以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E,∴AE=AC=10,∴点E表示的数为-1-10.9.解析　由作图痕迹知OC平分∠AOB,∵OA=OB,∴△OAB为等腰三角形,∴OC⊥AB,AC=BC.在Rt△AOC中,由勾股定理得OA2=OC2+AC2,∴AC=OA2-OC2=52-32=4.∴AB=2AC=8.10.解析　∵在△ABE中,DE是AB边上的高,DE=8,S△ABE=40,∴AB·DE2=40,即AB×82=40,∴AB=10,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∴BC=AB2-AC2=102-82=6.11.A　由a2-b2=c2,可得c2+b2=a2,∴△ABC是直角三角形,∠A=90°,故选A.12.D　A.42+52=41≠62=36,故不是勾股数;B.12+22=5≠32=9,故不是勾股数;C.存在小数,故不是勾股数;D.92+402=1 681=412,且9,40,41都是整数,故是勾股数.故选D.13.B ∵AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32=10,∴AB=BC,AC2=AB2+BC2,∴△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,∴∠BAC=45°,∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠BAC+∠ABC=45°+90°=135°.故选B.14.答案　24解析　∵△ABC的三边长之比为3∶4∶5,且最长边的长为10 cm,∴另两边的长分别为10×35=6(cm),10×45=8(cm),∵62+82=102,∴△ABC是直角三角形,∴△ABC的面积为12×6×8=24(cm2).15.答案　5解析　由题意可知AB为3 m,BC=4 m,∠ABC=90°,由勾股定理得AC2=AB2+BC2=32+42=25=52,所以AC=5 m.16.答案　直角三角形解析　由题意得S1+S2=S3,即12π12BC2+12π12AC2=12π12AB2,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC为直角三角形.17.证明　设AB=a,则BC=CD=DA=AB=a,∵E是BC的中点,CF=14CD,∴BE=EC=12a,CF=14a,DF=34a,在Rt△ABE中,由勾股定理可得AE2=AB2+BE2=54a2,同理可得EF2=516a2,AF2=2516a2,∴AE2+EF2=AF2,∴△AEF为直角三角形,∠AEF=90°.18.D　用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时,应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°,即每一个内角都大于或等于45°.故选D.19.证明　假设∠1+∠2≠180°,∵l1∥l2,∴∠1=∠3.∵∠1+∠2≠180°,∴∠3+∠2≠180°,这与平角为180°矛盾,∴假设∠1+∠2≠180°不成立,即∠1+∠2=180°.故答案为≠;=;≠;平角为180°;≠.能力提升全练20.D　如图所示,过C作CD⊥AB于点D,∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB=AC2+BC2=32+42=5,∵AC\5BC2=AB\5CD2,∴3×42=5CD2,解得CD=2.4,故选D.21.答案　7解析　连结EC,如图.由作图可知直线MN是线段BC的垂直平分线,∴CE=BE=4,∴∠ECB=∠B=45°,∴∠AEC=∠ECB+∠B=90°.在Rt△ACE中,AE=AC2-CE2=52-42=3,∴AB=AE+BE=3+4=7.22.答案　m2+1解析　∵m为正整数,∴2m为偶数,设其股是a,则弦为a+2,根据勾股定理得,(2m)2+a2=(a+2)2,解得a=m2-1,∴其弦是a+2=m2-1+2=m2+1.23.证明　由题图可知S大正方形=4×12ab+(b-a)2=2ab+b2+a2-2ab=a2+b2,S大正方形=c2,所以a2+b2=c2.素养探究全练24.证明　【尝试探究】梯形BCDE的面积=12(a+b)(b+a)=ab+12(a2+b2),利用分割法可知,梯形BCDE的面积=S△ABC+S△ABE+S△ADE=12ab+12c2+12ab=ab+12c2,∴ab+12(a2+b2)=ab+12c2,∴a2+b2=c2.【定理应用】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴c2-b2=a2,∴c4-b4=(c2+b2)(c2-b2)=(c2+b2)a2,∵a2c2+a2b2=a2(c2+b2),∴a2c2+a2b2=c4-b4.大概念素养目标对应新课标内容掌握勾股定理及其逆定理探索勾股定理及其逆定理【P66】会利用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题【P66】