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2022届普通高等学校招生全国统一考试上海市高三数学模拟试卷（一）
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这是一份2022届普通高等学校招生全国统一考试上海市高三数学模拟试卷（一），共9页。试卷主要包含了已知满足，设有直线的倾斜角为等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本场考试时间120分钟，试卷共5页，满分150分，答题纸共2页．
2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．
3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分．
4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、填空题（本大题共54分，其中16题各4分，712题各5分）
1．已知集合，则_______．
2．已知复数满足（其中为虚数单位），则_______．
3．已知函数，则的反函数为_______．
4．已知二项式，则其展开式中前的系数为_______．
5．设抛物线为的焦点，过的直线交于两点．若且，则抛物线的方程为_______．
6．已知满足：，则的最小值为_______．
7．设有直线的倾斜角为．若在直线上存在点满足，且，则的取值范围是_______．
8．已知公差为的等差数列，其中，则_______．
9．如图所示，有边长为2的正方体为正方体表面的一个动点．若三棱锥的体积为，则的取值范围是_______．
10．2021年7月，上海浦东美术馆正式对外开放，今年计划招募15名志愿者担任“采访者”和“讲述者”两项工作（每人只能承担一项工作），对“采访者”和“讲述者”的要求如下：
现有10名女生，10名男生报名，则符合要求的方案有_______个．
11．已知点在椭圆上运动，的左、右焦点分别为．以为圆心，半径为的圆交线段于两点（其中为正整数）．设的最大值为，最小值为，则_______．
12．设角数列的通项为，其中为常数且．若存在整数，使的前项中存在满足，则的最大值为_______．
二、选择题（本大题共20分，每小题各5分）
13．下列函数定义域为的是（ ）
A．B．C．D．
14．复平面内存在复数对应的三点，若点可与共圆，则下列复数中可以表示为的是（ ）
A．B．C．D．
15．已知定义在的函数，满足：在上的解析式为，设的值域为．若存在实数，使得，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
16．已知不等式有实数解．结论①：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论②：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（ ）
A．结论①、②都成立B．结论①、②都不成立
C．结论①成立，结论②不成立D．结论①不成立，结论②成立
三、解答题（本大题共76分）
17．（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）
如图所示，设有底面半径为3的圆锥．已知圆锥的侧面积为为中点，．
（1）求圆锥的体积；
（2）求异面直线与所成角．
18．（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）
已知在三角形中，，三角形的面积．
（1）若，求；
（2）若，求．
19．（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）
自2019年起，上海市推进“三星级绿色生态城区”示范区项目．今年，一座人民公园将要建设一块绿地．设计方案如图所示，有一块边长为500米的正方形土地是一段圆弧（以为圆心，与相切于），其中为两条人行步道，为一条鲜花带．已知每米人行步道的修建费用为每米288元．
（1）当时，求人行步道的长度之和；
（2）如何设计圆弧的长度，才能使人行步道的总造价最低，并求出总造价．
（长度精确到0.1米，造价精确到0.01元）
20．（本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知双曲线是其左、右两个焦点．是位于双曲线右支上一点，平面内还存在满足．
（1）若的坐标为，求的值；
（2）若，且，试判断，是否位于双曲线上，并说明理由；
（3）若位于双曲线上，试用表示，并求出时的值．
21．（本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知数列满足：存在，对于任意的，使得，则称数列与成“级关联”．记与的前项和分别为．
（1）已知，判断与是否成“4级关联”，并说明理由；
（2）若数列与成“2级关联”，其中，且有，求的值；
（3）若数列与成“级关联”且有，求证：为递增数列当且仅当．
2022年普通高等学校招生全国统一考试
上海数学模拟试卷
一、填空题（本大题共54分，其中16题各4分，712题各5分，考生所给答案与本答案不一致，且经过商议后仍评为错误的，扣除相应空格所有分数）
1． 2． 3． 4．－540 5． 6．－2 7． 8． 9． 10．16003008 11．5 12．
二、选择题（本大题共20分，每小题各5分，每题只有一个正确选项）
13．C；14．D；15．A；16．B；
三、解答题（本大题共76分）
17．（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）
（1）
（2）（本题提供两种解法）
解法一：
取边上中点，连结（7分）
是的中位线，所以（8分）
垂直于底面，也垂直于底面，故
，即（10分）
由于是平面内两条相交直线（11分）
则平面（13分）
故，即异面直线与所成角为（14分）
解法二：
取圆弧中点，连结，由垂径定理可知
分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示（7分）
则
同时，（10分）
设异面直线与所成角为（11分）
则（13分，其中公式1分，答案1分）
故，即异面直线与所成角为．
18．（1）．
而．
分情况讨论，当为锐角时，，．
当为钝角时，，．
（2）（若有其他解法，请参照评分）
分情况讨论，当为锐角时，，
由余弦定理，
由正弦定理，
当为钝角时，，
由余弦定理，
由正弦定理，
19．（1）如图所示，作
同时可知，米，
故由
同时，
由勾股定理，
解得米
米
（2）设米
则与第（1）问相同，设，由于为定值，只需考虑的变化情况则由勾股定理，
解得
故当时，取得最小值．
则米
则总造价元
此时圆弧米
故当圆弧长度设计为392.7米时，人行步道的总造价最低，为203646.753元．
20．（1）
代入双曲线方程化简得解得（负值舍去）
（2）
设，则，
同时解出代入双曲线方程，即，所以在双曲线上
（3）设，则
由
代入双曲线方程，即，化简得
代入，解得．
21．（1）由可得：
显然，等式不恒成立，举反例：时，有：左右．
（2）由可得：
利用累加法：
整理得：
由可知：且第一周期内有
所以
而又因为，故．
（3）由展开分析：
则有：
（a）先说明必要性．
由为递增数列可知：，当时，
显然需有，由此才能保证
接着论证的情况，首先当时，因为，故，
由（*）式可知：，故．
而当时，因为，也可说明．
故可知：，（必要性得证）
（b）再说明充分性．
考虑反证法．假设数列中存在两项满足，得到
由于结合，能够得到：
可知对于全体正整数都成立，这与存在一项矛盾！假设不成立（充分性得证）
由（a）、（b），命题得证．
志愿者类型
所需人数
备注
采访者
10
男、女比例为
讲述者
5
男、女比例不限
考生注意：
1．本场考试时间120分钟，试卷共5页，满分150分，答题纸共2页．
2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．
3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分．
4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、填空题（本大题共54分，其中16题各4分，712题各5分）
1．已知集合，则_______．
2．已知复数满足（其中为虚数单位），则_______．
3．已知函数，则的反函数为_______．
4．已知二项式，则其展开式中前的系数为_______．
5．设抛物线为的焦点，过的直线交于两点．若且，则抛物线的方程为_______．
6．已知满足：，则的最小值为_______．
7．设有直线的倾斜角为．若在直线上存在点满足，且，则的取值范围是_______．
8．已知公差为的等差数列，其中，则_______．
9．如图所示，有边长为2的正方体为正方体表面的一个动点．若三棱锥的体积为，则的取值范围是_______．
10．2021年7月，上海浦东美术馆正式对外开放，今年计划招募15名志愿者担任“采访者”和“讲述者”两项工作（每人只能承担一项工作），对“采访者”和“讲述者”的要求如下：
现有10名女生，10名男生报名，则符合要求的方案有_______个．
11．已知点在椭圆上运动，的左、右焦点分别为．以为圆心，半径为的圆交线段于两点（其中为正整数）．设的最大值为，最小值为，则_______．
12．设角数列的通项为，其中为常数且．若存在整数，使的前项中存在满足，则的最大值为_______．
二、选择题（本大题共20分，每小题各5分）
13．下列函数定义域为的是（ ）
A．B．C．D．
14．复平面内存在复数对应的三点，若点可与共圆，则下列复数中可以表示为的是（ ）
A．B．C．D．
15．已知定义在的函数，满足：在上的解析式为，设的值域为．若存在实数，使得，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
16．已知不等式有实数解．结论①：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论②：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（ ）
A．结论①、②都成立B．结论①、②都不成立
C．结论①成立，结论②不成立D．结论①不成立，结论②成立
三、解答题（本大题共76分）
17．（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）
如图所示，设有底面半径为3的圆锥．已知圆锥的侧面积为为中点，．
（1）求圆锥的体积；
（2）求异面直线与所成角．
18．（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）
已知在三角形中，，三角形的面积．
（1）若，求；
（2）若，求．
19．（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）
自2019年起，上海市推进“三星级绿色生态城区”示范区项目．今年，一座人民公园将要建设一块绿地．设计方案如图所示，有一块边长为500米的正方形土地是一段圆弧（以为圆心，与相切于），其中为两条人行步道，为一条鲜花带．已知每米人行步道的修建费用为每米288元．
（1）当时，求人行步道的长度之和；
（2）如何设计圆弧的长度，才能使人行步道的总造价最低，并求出总造价．
（长度精确到0.1米，造价精确到0.01元）
20．（本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知双曲线是其左、右两个焦点．是位于双曲线右支上一点，平面内还存在满足．
（1）若的坐标为，求的值；
（2）若，且，试判断，是否位于双曲线上，并说明理由；
（3）若位于双曲线上，试用表示，并求出时的值．
21．（本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知数列满足：存在，对于任意的，使得，则称数列与成“级关联”．记与的前项和分别为．
（1）已知，判断与是否成“4级关联”，并说明理由；
（2）若数列与成“2级关联”，其中，且有，求的值；
（3）若数列与成“级关联”且有，求证：为递增数列当且仅当．
2022年普通高等学校招生全国统一考试
上海数学模拟试卷
一、填空题（本大题共54分，其中16题各4分，712题各5分，考生所给答案与本答案不一致，且经过商议后仍评为错误的，扣除相应空格所有分数）
1． 2． 3． 4．－540 5． 6．－2 7． 8． 9． 10．16003008 11．5 12．
二、选择题（本大题共20分，每小题各5分，每题只有一个正确选项）
13．C；14．D；15．A；16．B；
三、解答题（本大题共76分）
17．（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）
（1）
（2）（本题提供两种解法）
解法一：
取边上中点，连结（7分）
是的中位线，所以（8分）
垂直于底面，也垂直于底面，故
，即（10分）
由于是平面内两条相交直线（11分）
则平面（13分）
故，即异面直线与所成角为（14分）
解法二：
取圆弧中点，连结，由垂径定理可知
分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示（7分）
则
同时，（10分）
设异面直线与所成角为（11分）
则（13分，其中公式1分，答案1分）
故，即异面直线与所成角为．
18．（1）．
而．
分情况讨论，当为锐角时，，．
当为钝角时，，．
（2）（若有其他解法，请参照评分）
分情况讨论，当为锐角时，，
由余弦定理，
由正弦定理，
当为钝角时，，
由余弦定理，
由正弦定理，
19．（1）如图所示，作
同时可知，米，
故由
同时，
由勾股定理，
解得米
米
（2）设米
则与第（1）问相同，设，由于为定值，只需考虑的变化情况则由勾股定理，
解得
故当时，取得最小值．
则米
则总造价元
此时圆弧米
故当圆弧长度设计为392.7米时，人行步道的总造价最低，为203646.753元．
20．（1）
代入双曲线方程化简得解得（负值舍去）
（2）
设，则，
同时解出代入双曲线方程，即，所以在双曲线上
（3）设，则
由
代入双曲线方程，即，化简得
代入，解得．
21．（1）由可得：
显然，等式不恒成立，举反例：时，有：左右．
（2）由可得：
利用累加法：
整理得：
由可知：且第一周期内有
所以
而又因为，故．
（3）由展开分析：
则有：
（a）先说明必要性．
由为递增数列可知：，当时，
显然需有，由此才能保证
接着论证的情况，首先当时，因为，故，
由（*）式可知：，故．
而当时，因为，也可说明．
故可知：，（必要性得证）
（b）再说明充分性．
考虑反证法．假设数列中存在两项满足，得到
由于结合，能够得到：
可知对于全体正整数都成立，这与存在一项矛盾！假设不成立（充分性得证）
由（a）、（b），命题得证．
志愿者类型
所需人数
备注
采访者
10
男、女比例为
讲述者
5
男、女比例不限
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