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2023-2024学年河南省南阳市高二上学期期中联考数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年河南省南阳市高二上学期期中联考数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了已知直线l1等内容，欢迎下载使用。
A. -x+y=1B. x+y-5=0C. y=3D. x=2
2.二次函数y=ax2a≠0的图像为抛物线，其准线方程为
( )
A. x=-14aB. x=-a4C. y=-14aD. y=-a4
3.已知三条直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α,β,γ.若α<β<γ，则下列关系不可能成立的是
( )
A. k34.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为cm．( )
A. 30B. 20C. 10D. 10 3
5.直线y=kx+1与椭圆x24+y2m=1总有公共点，则m的取值范围是
( )
A. 0,1∪1,+∞B. 1,4∪4,+∞C. 0,1∪1,4D. 1,+∞
6.已知▵ABC的顶点在抛物线y2=4x上，若抛物线的焦点F恰好是▵ABC的重心，则FA+FB+FC的值为
( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.已知实数x、y满足x2+y2=1，则2x+y-5的最小值是
( )
A. 5-1B. 5+1C. 5- 5D. 5+ 5
8.如图，加斯帕尔·蒙日是18∼19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆(或双曲线)上两条相互垂直的切线的交点P的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线C:x24-y2=1的蒙日圆的面积为
( )
A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π
9.已知直线l1:ax+2y-1=0和直线l2:x+a+1y-1=0，下列说法不正确的是
( )
A. 当a=-2或1时，l1//l2
B. 当a=-23时，l1⊥l2
C. 直线l1过定点0,1，直线l2过定点1,0
D. 当l1，l2平行时，两直线的距离为 2
10.已知方程x27-t+y23+t=1表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是
( )
A. 当-3B. 当t>7或t<-3时，曲线C是双曲线
C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则-3D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则t>7
11.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0)上的一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是
( )
A. c≤OP≤a
B. 若∠F1PF2=60∘，则S▵F1PF2= 3b2
C. 若存在点P，使∠F1PF2=90∘，则椭圆C的离心率e∈ 22,1
D. 若PF1的中点在y轴上，则PF2=b2a
12.已知F是抛物线C:y2=2px的焦点，直线AB经过点F交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是
( )
A. 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
B. 若AF=2FB，则直线AB的斜率k=3
C. 弦AB的中点M的轨迹为一条抛物线，其方程为y2=2px-p2
D. 若p=4，则AF+4BF的最小值为18
13.请写出一个焦点在y轴上，焦距为2的椭圆的标准方程______．
14.P、Q分别是圆E:x+92+y+42=1与圆F:x-12+y-32=1上的动点，A为直线y=x上的动点，则AP+AQ的最小值为______．
15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,6>0的焦点与椭圆x281+y272=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则双曲线C的离心率为 ；PF12PF2的最小值为 ．
16.参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点(切点)就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P(当成质点)，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e= ．
17.在平行四边形ABCD中，A-2,1，B1,7，D1,-2，点E是线段CD的中点．
(1)求直线CD的方程；
(2)求过点E且与直线BC垂直的直线方程．
18.已知焦点在y轴上的双曲线的离心率为32，焦点到其中一条渐近线的距离为 5．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线的上焦点F1的直线l交双曲线的上支于M、N两点．在y轴上是否存在定点T，使得∠F1TM=∠F1TN恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
19.已知圆C:x2+3λx+y2-λy-10-10λ=0．
(1)证明：圆C过定点．
(2)当λ=1时，是否存在斜率为1的直线l交圆C于A、B两点，使得以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2且垂直于x轴的弦长为3，且_____.(从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．)
①椭圆C的长轴长为4；②椭圆C与椭圆x213+y212=1有相同的焦点；③F1，F2与椭圆C短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l经过F2，且与椭圆交于M，N两点，求△F1MN面积的最大值．
21.已知动圆M经过点A2,0，且与直线x=-2相切．设圆心M的轨迹为C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设P为直线x=-2上任意一点，过P作曲线C的两条切线，切点分别为E、F，求证：PE⊥PF．
22.已知两定点A-3,0，B3,0，过动点P的两直线PA和PB的斜率之积为-89.设动点P的轨迹为C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设F1-1,0，过F1的直线l交曲线C于M、N两点(不与A、B重合).设直线AM与BN的斜率分别为k1，k2，证明k1k2为定值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据题意结合倾斜角的定义分析求解．
解：因为直线 l 过点 2,3 ，且倾斜角为 90∘ ，
可知直线 l 与x轴垂直，所以直线 l 的方程为 x=2 ．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】【分析】将 y=ax2a≠0 ，化为抛物线的标准方程 x2=1aya≠0 ，分类讨论即可．
解：将 y=ax2a≠0 ，化为抛物线的标准方程 x2=1aya≠0 ，
当 a>0 时， 2p=1a ，得到 p=12a ，由抛物线的准线方程为 y=-p2=-14a ；
当 a<0 时， 2p=-1a ，得到 p=-12a ，由抛物线的准线方程为 y=p2=-14a ；
综上：其准线方程为 y=-14a ．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解．
解：由题意，根据直线的斜率与倾斜角的关系有：
当 0≤α<β<γ<π2 或 π2<α<β<γ<π 时， 0≤k1当 0≤α<β<π2<γ<π 时， k3<0≤k1当 0≤α<π2<β<γ<π 时， k2所以选项D不可能成立．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
求出大椭圆的离心率等于小椭圆的离心率，然后求解小椭圆的长轴长．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
【解答】
解：因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，
所以两个椭圆的离心率相同，
所以2a大2b大=2a小2b小，
所以4020=2a小10，
所以小椭圆的长轴长为：20cm．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据题意，由直线过定点 0,1 ，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果．
解：因为直线 y=kx+1 ，过定点 0,1 ，
只需该定点落在椭圆内或椭圆上则直线与椭圆总有交点，即： 04+1m≤1
解得： m≥1 ，又因为： m≠4 ，
所以： m 的取值范围为： 1,4∪4,+∞ .故B项正确．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】【分析】易知焦点坐标 1,0 ，根据三角形重心性质以及抛物线焦半径公式可求得结果．
解：设 Ax1,y1 ， Bx2,y2 ， Cx3,y3 ，由题可得 F1,0 ，因为 F 是三角形的重心，
所以 AF=13AB+AC ，可得 xF=x1+x2+x33 ，即 x1+x2+x3=3 ，
所以 FA+FB+FC=x1+p2+x2+p2+x3+p2=x1+x2+x3+3=6 ．
故选：D．
7.【答案】C
【解析】【分析】利用三角换元 x=csα ， y=sinα 可得 2x+y-5=2csα+sinα-5= 5sin(α+φ)-5 ，再由三角函数的范围即可得解．
解：由实数 x 、 y 满足 x2+y2=1 ，
故令 x=csα ， y=sinα ，
所以 2x+y-5=2csα+sinα-5= 5sin(α+φ)-5 ( tanφ=2 )，
由 -1≤sin(α+φ)≤1 ，
所以 - 5-5≤ 5sin(α+φ)-5≤ 5-5 ，
所以 5- 5≤ 5sin(α+φ)-5≤5+ 5 ，
所以 2x+y-5 的最小值为 5- 5 ．
故选：C
8.【答案】A
【解析】【分析】设出过点 P 的切线方程，并与双曲线方程联立，利用判别式为零得到关于 k 的方程，方程的根即为 kAP,kBP ，通过韦达定理可得点 P 的轨迹方程，进而可求面积．
解：不妨设 Px0,y0 ，则过点 P 的双曲线切线方程为 y-y0=kx-x0 ， k 存在且不为零，
联立 x24-y2=1y-y0=kx-x0 ，
消去 y 得 1-4k2x2-8ky0-kx0x-4y0-kx02+1=0 ，
所以 Δ=8ky0-kx02+161-4k2y0-kx02+1=0 ，
整理得 x02-4k2-2x0y0k+y02+1=0
可知 kAP,kBP 为关于 k 的方程 x02-4k2-2x0y0k+y02+1=0 的两个根，
且 kAPkBP=-1 ，
即 y02+1x02-4=-1 ，整理得 x02+y02=3 ，
即点 P 的轨迹方程为 x2+y2=3 ，
即双曲线 C:x24-y2=1 的蒙日圆方程为 x2+y2=3 ，半径为 3
面积为 πr2=3π ．
故选：A．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件即可判断A；根据两直线垂直的充要条件即可判断B；根据直线过定点的定义即可判断C；根据两平行直线间的距离公式即可判断D．
解：对于A，若 l1//l2 ，则 aa+1-2=0 ，解得 a=-2 或 1 ，
经检验当 a=1 时，两直线重合，所以 a=-2 ，故A错误；
对于B，若 l1⊥l2 ，则 a+2a+1=0 ，解得 a=-23 ，故B正确；
对于C，由直线 l1:ax+2y-1=0 ，
令 x=02y-1=0 ，解得 x=0y=12 ，
所以直线 l1 过定点 0,12 ，故C错误；
对于D，当 l1 ， l2 平行时， a=-2 ，
直线 l1:-2x+2y-1=0 ，直线 l2:x-y-1=0 ，即 -2x+2y+2=0 ，
所以两直线的距离为 -1-2 4+4=3 24 ，故D错误．
故选：ACD．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】利用曲线C所表示的曲线类型求出参数的值或取值范围，由此可得出合适的选项．
解：选项A：若曲线为椭圆，则 7-t>0t+3>07-t≠t+3 ，即 -3选项B：若曲线为双曲线，则 7-tt+3<0 ，即 t>7 或 t<-3 ，故B正确；
选项C：若曲线为焦点在x轴上的椭圆，则 7-t>0t+3>07-t>t+3 ，即 -3选项D：若曲线为焦点在y轴上的双曲线，则 t+3>07-t<0 ，即 t>7 ，故D正确；
故选：BCD．
11.【答案】CD
【解析】【分析】根据椭圆的几何性质，可判定A错误；设 PF1=m,PF2=n ，利用余弦定理和椭圆定义，求得 mn=4b23 ，结合三角形的面积公式，可判定B错误；设椭圆的短轴上端点为 B ，得到 ∠F1BF2≥90∘ ，得到 c≥b ，结合离心率的定义，可判定C正确；根据题意，得到 PF2⊥x 轴，进而可判定D正确．
解：对于A中，根据椭圆的几何性质，可得 b≤OP≤a ，所以A错误；
对于B中，设 PF1=m,PF2=n ，则 m+n=2a ，
由余弦定理得 2c2=m2+n2-2mncs60∘=(m+n)2-3mn=4a2-3mn ，
解得 mn=4a2-4c23=4b23 ，所以 S▵F1PF2=12mnsin60∘= 33b2 ，所以B错误；
对于C中，设椭圆的短轴上端点为 B ，连接 BF1,BF2 ，
若存在点 P ，使得 ∠F1PF2=90∘ ，则 ∠F1BF2≥90∘ ，所以 OF2≥OB ，即 c≥b ，
所以 c2≥a2-c2 ，所以 c2a2≥12 ，即 ca≥ 22 ，
又因为 e∈(0,1) ，可得 e∈[ 22,1) ，所以C正确；
对于D中，若 PF1 的中点在 y 轴上，则 PF2⊥x 轴，
结合椭圆的几何性质，可得 PF2=b2a ，所以D正确．
故选：CD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】A：由抛物线的方程可得焦点 Fp2,0 ，准线方程为： x=-p2 ，
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，则 AB 的中点 Mx1+x22,y1+y22 ，
利用焦点弦的性质可得 |AB|=x1+x2+p ，求出 AB 的中点M准线的距离即可判定；
B：设直线 AB 的方程为 x=my+p2,k=1m>0 ，联立
x=my+p2y2=2px ，整理可得： y2-2mpy-p2=0 ，然后由条件和根与系数的关系即可判定；
C：设 M(x,y) ，结合A、B可得： y=y1+y22=mp ，
x=x1+x22=my1+y22+p2=m2p2+p2 ，消去m即可判定；
D：若 p=4 则抛物线 C:y2=8x ，不妨设 x1>x2>0 ， x1x2=y1y2264=4, 结合基本不等式即可判定．
解：A：由抛物线的方程可得焦点 Fp2,0 ，准线方程为： x=-p2 ，
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，则 AB 的中点 Mx1+x22,y1+y22 ，
利用焦点弦的性质可得 |AB|=x1+x2+p ，而 AB 的中点M准线的距离：
d=x1+x22--p2=12x1+x2+p=12|AB| ，
∴ 以 AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A正确；
B：设直线 AB 的方程为 x=my+p2,k=1m>0 ，联立
x=my+p2y2=2px ，
整理可得： y2-2mpy-p2=0 ，
可得 y1+y2=2mp,y1y2=-p2,
∵AF=2FB,∴y1=-2y2 ，
解得 y2=-2mp,y1=4mp ，
∴-8m2p2=-p2 ，解得 m2=18 ，
∴k= 1m2=2 2 ，因此B不正确；
C：设 M(x,y) ，结合A、B可得： y=y1+y22=mp ，
x=x1+x22=my1+y22+p2=m2p2+p2 ，消去m可得： y2=2px-p2 ，因此C正确；
D：若 p=4 则抛物线 C:y2=8x ，不妨设 x1>x2>0 ，
x1x2=y1y2264=4,∴|AF|+4|BF|=x1+4x2+10=4x2+4x2+10≥4×2 1x2⋅x2+10=18 ，当且仅当 x2=1,x1=4 时取等号，因此D正确．
故选：ACD．
13.【答案】y22+x2=1
【解析】【分析】由题得 c=1 ，所以 a2-b2=1 ，然后取一组a、b即可．
【详解】由题得 c=1 ，所以 a2-b2=1 ，取 a= 2,b=1 ，
又焦点在y轴上，所以方程为 y22+x2=1 ．
故答案为： y22+x2=1(答案不唯一，只要焦点在 y 轴上且 a2-b2=1 ) ．
14.【答案】11
【解析】【分析】作圆E关于 y=x 的对称圆为圆G，根据三点共线时取得最小值，即可得解．
解：由题意知 E-9,-4,F1,3
如图，设圆E关于 y=x 的对称圆为圆G，点Q与点 Q' 关于 y=x 轴对称．
则圆G的方程为 x+42+y+92=1,G-4,-9
AP+AQmin=AP+AQ'min≥PQ' ．
当且仅当 P,A,Q' 三点共线时取得最小值．
此时 PQ'=FG-1-1= -4-12+-9-32-2=11 ．
所以 AP+AQ 的最小值为11．
故答案为：11．
15.【答案】3；8
【解析】【分析】利用椭圆、双曲线的定义以及基本不等式求解．
解：因为椭圆 x281+y272=1 ，所以其离心率 e1= 1-7281=13 ，
所以双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的离心率 e2=1e1=3 ；
设双曲线C的半焦距为 c>0 ，
因为双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的焦点与椭圆 x281+y272=1 的焦点重合，
所以 c= 81-72=3 ， a=ce2=1 ，
因为 F1 、 F2 分别为双曲线 C 的左､右焦点， P 为右支上任意一点，
所以 PF1-PF2=2a=2 ，即 PF1=2+PF2 ，
所以 PF12PF2=2+PF22PF2=4+4PF2+PF22PF2=PF2+4PF2+4 ，
因为 PF2≥c-a=2 ，
由基本不等式可得： PF12PF2=PF2+4PF2+4≥2 PF2⋅4PF2+4=4+4=8 ，
当且仅当 PF2=4PF2 ，即 PF2=2 时取等号，所以 PF12PF2 的最小值为8．
故答案为：3；8．
16.【答案】79
【解析】【分析】
本题考查椭圆离心率的求法，解题的关键是建立直角坐标系，根据题意求解a与c，属于较难题．
建立直角坐标系，由题意可知，|NQ|=a+c，|QR|=a-c，求得直线PR的方程，利用点到直线的距离公式求得M、Q的坐标，再利用M到PN的距离求得N点坐标，则可得出a+c，a-c，求解a，c，即可得到椭圆的离心率．
【解答】
解：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
则P0,4，R-3,0，直线PR的方程为y=43x+4，
设Mn,1，Qn,0，由M到直线PR的距离为1，
得43n+4-1 1+432=1，解之得n=-72或n=-1(舍)，
则M-72,1，Q-72,0，
又设直线PN的方程为y=kx+4，
由M到直线PN的距离为1，得-72k+4-1 1+k2=1，
整理得454k2-21k+8=0，则k1k2=3245，
又kPR=43，故kPN=815，则直线PN的方程为y=815x+4，N-152,0，
故NQ=-72+152=4=a+c，RQ=-3+72=12=a-c，
由a+c=4a-c=12，解得a=94c=74,
故椭圆的离心率e=ca=7494=79，
故答案为79．
17.【答案】解：(1)设点 C 的坐标为 m,n ，则 DC=m-1,n+2 ，
由题意， AB=DC ，又 AB=3,6 ，
故 m-1=3n+2=6 ，解得， m=4 ， n=4 ，
所以点 C 的坐标为 4,4 ，
则 kCD=-2-41-4=2 ，
所以直线 CD 的方程为 y-4=2x-4 ，
即 2x-y-4=0 ；
(2)设所求直线为 l ，
点 E 是线段 CD 的中点，则 E52,1 ，
直线 BC 的斜率为 kBC=7-41-4=-1 ，
由于直线 BC 与 l 垂直，故直线 l 的斜率为 1 ，
所以直线 l 的方程为 y-1=x-52 ，
即 2x-2y-3=0 ．
【解析】【分析】(1)先根据 AB=DC 求出点 C 的坐标，再利用点斜式即可得解；
(2)先求出点 E 的坐标及直线 BC 的斜率，进而可求得所求直线的斜率，再根据点斜式即可得解．
18.【答案】解：(1)由题意设双曲线方程为 y2a2-x2b2=1(a>0,b>0) ，焦点 F1(0,c),F2(0,-c) ，渐近线方程为 y=±abx ，
因为焦点到其中一条渐近线的距离为 5 ，
所以 bc a2+b2=b= 5 ，
又 e= 1+b2a2=32 ，故 a=2 ，
所以双曲线的标准方程为 y24-x25=1 ．
(2)根据题意，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y=kx+3 ，
联立 y=kx+3y24-x25=1 得， 5k2-4x2+30kx+25=0 ，
由 Δ=900k2-100(5k2-4)>0 ，得 k2+1>0 恒成立，
设点 Mx1,y1 ， Nx2,y2 ，
由根与系数的关系得， x1+x2=-30k5k2-4 ， x1x2=255k2-4 ．
设点 T0,t ，若 ∠F1TM=∠F1TN ，则 kTM+kTN=0 ，
即 y1-tx1+y2-tx2=x2y1-t+x1y2-tx1x2
=x2kx1+3-t+x1kx2+3-tx1x2
=2k+3-tx1+x2x1x2=2k+3-t-30k5k2-4255k2-4=0 ，
得 50k-30k(3-t)=0 ，因为 k∈R ，所以得 t=43 ，
则点 T 的坐标为 0,43 ．
综上， y 轴上存在点 T0,43 ，使 ∠F1TM=∠F1TN 恒成立．
【解析】【分析】此题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线中的定点问题，解题的关键是将 ∠F1TM=∠F1TN 转化为 kTM+kTN=0 ，考查计算能力和转化思想，属于较难题.(1)设出双曲线方程后，由焦点到其中一条渐近线的距离为 5 ，可得 b= 5 ，再由离心率为 32 可求出 a ，从而可求出双曲线方程；
(2)由题意设直线 l 的方程为 y=kx+3 ，设点 Mx1,y1 ， Nx2,y2 ，将直线方程代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，由题意得 kTM+kTN=0 ，设 T0,t ，则结合斜率公式化简可求得结果．
19.【答案】解：(1)证明：圆 C 的方程变形为： x2+y2-10+λ3x-y-10=0 ，
令 3x-y-10=0x2+y2-10=0 ，解得 x=3y=-1 ，
把 3,-1 代入圆 C:x2+3λx+y2-λy-10-10λ=0 成立，
所以圆过定点 3,-1 ．
(2)当 λ=1 时，圆 C 的方程为： x2+y2+3x-y-20=0 ．
假设存在直线 l 符合题意．
设直线 l 的方程为 y=x+m ，与圆 C 联立 y=x+mx2+y2+3x-y-20=0 得：
2x2+2m+1x+m2-m-20=0 ．
所以判别式 Δ=4m+12-4×2×m2-m-20>0 ．
设 Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，由根与系数的关系得，
x1+x2=-m+1 ， x1x2=m2-m-202 ．
若以 AB 为直径的圆经过原点，则 OA⊥OB ，从而有 OA⋅OB=0 ，
即 x1x2+y1y2=x1x2+x1+mx2+m=2x1x2+mx1+x2+m2
=m2-m-20-mm+1+m2=m2-2m-20=0
解得： m=1± 21 ，
代入 Δ=4m+12-4×2×m2-m-20>0 ，均成立，
所以直线 l 的方程为 y=x+1+ 21 或 y=x+1- 21 ．
【解析】【分析】(1)对圆的方程变形，列出方程组，即可求解．
(2)设出直线 l 方程，并与圆的方程联立，再结合韦达定义，以及向量垂直的性质，即可求解．
20.【答案】解：(1)若选①.由题意得： 2a=42b2a=3 ，解得： a=2b= 3 ，
所以：椭圆 C 的方程为 x24+y23=1 ．
若选②.椭圆 x213+y212=1 的焦点坐标为 ±1,0 ，则 c=1 ，
又 2a=4 ，得 a=2 ，由 a2=b2+c2 ，得 b2=4-1=3 ，
所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1 ．
若选③.由题意得： 2b2a=3 ，
又 F1F2 与椭圆 C 短轴的一个端点组成等边三角形，所以 b= 3c ，
又 a2=b2+c2 ，得 a=2 ， b= 3 ，
所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1 ．
(2)易知 F21,0 ，设直线 l 的方程为 x=my+1 ，
联立 x=my+1x24+y23=1 ，得： 3m2+4y2+6my-9=0 ，
设点 Mx1,y1 ， Nx2,y2 ，由根与系数的关系得，
y1+y2=-6m3m2+4 ， y1y2=-93m2+4 ，
所以 S▵F1MN=S▵MF1F2+S▵NF1F2=12⋅2cy1-y2=y1-y2
= y1+y22-4y1y2= -6m3m2+42--363m2+4=12 m2+13m2+4 ，
设 t= m2+1≥1 ，则 S▵F1MN=12t3t2+1=123t+1t
因为函数 y=3t+1t 在 t∈1,+∞ 上单调递增，
所以函数 y=123t+1t 在 t∈1,+∞ 上单调递减，
所以当 t=1 时， ymax=123×1+1=3 ，(此时 m=0 ，直线为 x=1 )．
故： ▵F1MN 面积的最大值为 3 ．
【解析】【分析】(2)中通过直线与椭圆联立并利用根与系数关系得： S▵F1MN=S▵MF1F2+S▵NF1F2=12t3t2+1=123t+1t ，然后构造函数 y=3t+1t ，利用函数的单调性从而可求解 ▵F1MN 面积的最大值.(1)根据选择不同的选项中条件再结合题意从而求解．
(2)设出直线 l 的方程与椭圆 C 联立，利用根与系数关系，并结合 S▵F1MN=S▵MF1F2+S▵NF1F2=12t3t2+1=123t+1t ，再构造函数 y=3t+1t 利用函数单调性从而求解．
21.【答案】解：(1)由题意可得点 M 到点 A2,0 的距离与到直线 x=-2 的距离相等，
根据抛物线定义，圆心 M 的轨迹 C 为抛物线，且焦点为 2,0 ，准线方程为 x=-2 ，
所以曲线 C 的方程为 y2=8x ；
(2)法一：由题意，过点 P 的切线斜率存在，且不为 0 ，
设点 P-2,t ，切线方程为 y-t=kx+2k≠0 ，
联立 y-t=kx+2y2=8x ，得 ky2-8y+8t+16k=0 ，
则 Δ=64-4k8t+16k=-64k2-32kt+64=0 ，
由于过点 P 存在两条切线，故关于 k 的方程有两个不相等的实数根 k1 ， k2 ，
且由根与系数的关系得， k1k2=-1 ，
设切线 PE 、 PF 的斜率分别为 k1 ， k2 ，则 k1k2=-1 ，
所以直线 PE⊥PF ．
法二：由题意，过点 P 的切线斜率存在，且不为 0 ，
设点 P-2,t ，切线方程为 x+2=my-t ，
联立 x+2=my-1y2=8x ，得 y2-8my+8mt+16=0 ，
则 Δ=64m2-48tm+16=64m2-32tm-64=0 ，
由于过点 P 存在两条切线，故关于 m 的方程有两个不相等的实数根 m1 ， m2 ，
且由根与系数的关系得， m1m2=-1 ，
设切线 PE 、 PF 的斜率分别为 k1 ， k2 ，则 k1k2=1m1⋅1m2=-1 ，
所以直线 PE⊥PF ．
【解析】【分析】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(1)根据抛物线的定义即可得出答案；
(2)由题意可得点 P-2,t ，切线方程为 y-t=kx+2k≠0 或 x+2=my-t ，联立方程，根据 Δ=0 结合韦达定理证明 k1k2=-1 或 m1m2=-1 即可．
22.【答案】解：(1)设点 Px,y ，根据题意得：
kPA⋅kPB=yx+3⋅yx-3=-89 ，
整理得： x29+y28=1x≠±3 ，
故曲线 C 的方程为： x29+y28=1x≠±3 ．
(2)设直线 l 的方程为 x=my-1 ，
联立 x=my-1x29+y28=1 ，得： 8m2+9y2-16my-64=0 ，
设点 Mx1,y1 ， Nx2,y2 ，由根与系数的关系得：
y1+y2=16m8m2+9 ， y1y2=-648m2+9 ，
则： k1k2=y1x1+3⋅x2-3y2=x2y1-3y1x1y2+3y2=my2-1y1-3y1my1-1y2+3y2=my1y2-4y1my1y2+2y2
=-64m8m2+9-4y1-64m8m2+9+216m8m2+9-y1=-64m8m2+9-4y1-32m8m2+9-2y1=2 ，
综上， k1k2 为定值2．
【解析】【分析】(2)问中利用直线与椭圆联立后利用根与系数关系即可求解.(1)设出动点 Px,y ，且根据题意 kPA⋅kPB=-89 ，从而求解；
(2)设出直线 l 的方程 x=my-1 ，然后与椭圆 C 进行联立后利用根与系数关系从而证明 k1k2 为定值．
A. -x+y=1B. x+y-5=0C. y=3D. x=2
2.二次函数y=ax2a≠0的图像为抛物线，其准线方程为
( )
A. x=-14aB. x=-a4C. y=-14aD. y=-a4
3.已知三条直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α,β,γ.若α<β<γ，则下列关系不可能成立的是
( )
A. k3
A. 30B. 20C. 10D. 10 3
5.直线y=kx+1与椭圆x24+y2m=1总有公共点，则m的取值范围是
( )
A. 0,1∪1,+∞B. 1,4∪4,+∞C. 0,1∪1,4D. 1,+∞
6.已知▵ABC的顶点在抛物线y2=4x上，若抛物线的焦点F恰好是▵ABC的重心，则FA+FB+FC的值为
( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.已知实数x、y满足x2+y2=1，则2x+y-5的最小值是
( )
A. 5-1B. 5+1C. 5- 5D. 5+ 5
8.如图，加斯帕尔·蒙日是18∼19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆(或双曲线)上两条相互垂直的切线的交点P的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线C:x24-y2=1的蒙日圆的面积为
( )
A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π
9.已知直线l1:ax+2y-1=0和直线l2:x+a+1y-1=0，下列说法不正确的是
( )
A. 当a=-2或1时，l1//l2
B. 当a=-23时，l1⊥l2
C. 直线l1过定点0,1，直线l2过定点1,0
D. 当l1，l2平行时，两直线的距离为 2
10.已知方程x27-t+y23+t=1表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是
( )
A. 当-3
C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则-3
11.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0)上的一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是
( )
A. c≤OP≤a
B. 若∠F1PF2=60∘，则S▵F1PF2= 3b2
C. 若存在点P，使∠F1PF2=90∘，则椭圆C的离心率e∈ 22,1
D. 若PF1的中点在y轴上，则PF2=b2a
12.已知F是抛物线C:y2=2px的焦点，直线AB经过点F交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是
( )
A. 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
B. 若AF=2FB，则直线AB的斜率k=3
C. 弦AB的中点M的轨迹为一条抛物线，其方程为y2=2px-p2
D. 若p=4，则AF+4BF的最小值为18
13.请写出一个焦点在y轴上，焦距为2的椭圆的标准方程______．
14.P、Q分别是圆E:x+92+y+42=1与圆F:x-12+y-32=1上的动点，A为直线y=x上的动点，则AP+AQ的最小值为______．
15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,6>0的焦点与椭圆x281+y272=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则双曲线C的离心率为 ；PF12PF2的最小值为 ．
16.参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点(切点)就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P(当成质点)，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e= ．
17.在平行四边形ABCD中，A-2,1，B1,7，D1,-2，点E是线段CD的中点．
(1)求直线CD的方程；
(2)求过点E且与直线BC垂直的直线方程．
18.已知焦点在y轴上的双曲线的离心率为32，焦点到其中一条渐近线的距离为 5．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线的上焦点F1的直线l交双曲线的上支于M、N两点．在y轴上是否存在定点T，使得∠F1TM=∠F1TN恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
19.已知圆C:x2+3λx+y2-λy-10-10λ=0．
(1)证明：圆C过定点．
(2)当λ=1时，是否存在斜率为1的直线l交圆C于A、B两点，使得以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2且垂直于x轴的弦长为3，且_____.(从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．)
①椭圆C的长轴长为4；②椭圆C与椭圆x213+y212=1有相同的焦点；③F1，F2与椭圆C短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l经过F2，且与椭圆交于M，N两点，求△F1MN面积的最大值．
21.已知动圆M经过点A2,0，且与直线x=-2相切．设圆心M的轨迹为C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设P为直线x=-2上任意一点，过P作曲线C的两条切线，切点分别为E、F，求证：PE⊥PF．
22.已知两定点A-3,0，B3,0，过动点P的两直线PA和PB的斜率之积为-89.设动点P的轨迹为C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设F1-1,0，过F1的直线l交曲线C于M、N两点(不与A、B重合).设直线AM与BN的斜率分别为k1，k2，证明k1k2为定值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据题意结合倾斜角的定义分析求解．
解：因为直线 l 过点 2,3 ，且倾斜角为 90∘ ，
可知直线 l 与x轴垂直，所以直线 l 的方程为 x=2 ．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】【分析】将 y=ax2a≠0 ，化为抛物线的标准方程 x2=1aya≠0 ，分类讨论即可．
解：将 y=ax2a≠0 ，化为抛物线的标准方程 x2=1aya≠0 ，
当 a>0 时， 2p=1a ，得到 p=12a ，由抛物线的准线方程为 y=-p2=-14a ；
当 a<0 时， 2p=-1a ，得到 p=-12a ，由抛物线的准线方程为 y=p2=-14a ；
综上：其准线方程为 y=-14a ．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解．
解：由题意，根据直线的斜率与倾斜角的关系有：
当 0≤α<β<γ<π2 或 π2<α<β<γ<π 时， 0≤k1
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
求出大椭圆的离心率等于小椭圆的离心率，然后求解小椭圆的长轴长．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
【解答】
解：因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，
所以两个椭圆的离心率相同，
所以2a大2b大=2a小2b小，
所以4020=2a小10，
所以小椭圆的长轴长为：20cm．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据题意，由直线过定点 0,1 ，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果．
解：因为直线 y=kx+1 ，过定点 0,1 ，
只需该定点落在椭圆内或椭圆上则直线与椭圆总有交点，即： 04+1m≤1
解得： m≥1 ，又因为： m≠4 ，
所以： m 的取值范围为： 1,4∪4,+∞ .故B项正确．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】【分析】易知焦点坐标 1,0 ，根据三角形重心性质以及抛物线焦半径公式可求得结果．
解：设 Ax1,y1 ， Bx2,y2 ， Cx3,y3 ，由题可得 F1,0 ，因为 F 是三角形的重心，
所以 AF=13AB+AC ，可得 xF=x1+x2+x33 ，即 x1+x2+x3=3 ，
所以 FA+FB+FC=x1+p2+x2+p2+x3+p2=x1+x2+x3+3=6 ．
故选：D．
7.【答案】C
【解析】【分析】利用三角换元 x=csα ， y=sinα 可得 2x+y-5=2csα+sinα-5= 5sin(α+φ)-5 ，再由三角函数的范围即可得解．
解：由实数 x 、 y 满足 x2+y2=1 ，
故令 x=csα ， y=sinα ，
所以 2x+y-5=2csα+sinα-5= 5sin(α+φ)-5 ( tanφ=2 )，
由 -1≤sin(α+φ)≤1 ，
所以 - 5-5≤ 5sin(α+φ)-5≤ 5-5 ，
所以 5- 5≤ 5sin(α+φ)-5≤5+ 5 ，
所以 2x+y-5 的最小值为 5- 5 ．
故选：C
8.【答案】A
【解析】【分析】设出过点 P 的切线方程，并与双曲线方程联立，利用判别式为零得到关于 k 的方程，方程的根即为 kAP,kBP ，通过韦达定理可得点 P 的轨迹方程，进而可求面积．
解：不妨设 Px0,y0 ，则过点 P 的双曲线切线方程为 y-y0=kx-x0 ， k 存在且不为零，
联立 x24-y2=1y-y0=kx-x0 ，
消去 y 得 1-4k2x2-8ky0-kx0x-4y0-kx02+1=0 ，
所以 Δ=8ky0-kx02+161-4k2y0-kx02+1=0 ，
整理得 x02-4k2-2x0y0k+y02+1=0
可知 kAP,kBP 为关于 k 的方程 x02-4k2-2x0y0k+y02+1=0 的两个根，
且 kAPkBP=-1 ，
即 y02+1x02-4=-1 ，整理得 x02+y02=3 ，
即点 P 的轨迹方程为 x2+y2=3 ，
即双曲线 C:x24-y2=1 的蒙日圆方程为 x2+y2=3 ，半径为 3
面积为 πr2=3π ．
故选：A．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件即可判断A；根据两直线垂直的充要条件即可判断B；根据直线过定点的定义即可判断C；根据两平行直线间的距离公式即可判断D．
解：对于A，若 l1//l2 ，则 aa+1-2=0 ，解得 a=-2 或 1 ，
经检验当 a=1 时，两直线重合，所以 a=-2 ，故A错误；
对于B，若 l1⊥l2 ，则 a+2a+1=0 ，解得 a=-23 ，故B正确；
对于C，由直线 l1:ax+2y-1=0 ，
令 x=02y-1=0 ，解得 x=0y=12 ，
所以直线 l1 过定点 0,12 ，故C错误；
对于D，当 l1 ， l2 平行时， a=-2 ，
直线 l1:-2x+2y-1=0 ，直线 l2:x-y-1=0 ，即 -2x+2y+2=0 ，
所以两直线的距离为 -1-2 4+4=3 24 ，故D错误．
故选：ACD．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】利用曲线C所表示的曲线类型求出参数的值或取值范围，由此可得出合适的选项．
解：选项A：若曲线为椭圆，则 7-t>0t+3>07-t≠t+3 ，即 -3
选项C：若曲线为焦点在x轴上的椭圆，则 7-t>0t+3>07-t>t+3 ，即 -3
故选：BCD．
11.【答案】CD
【解析】【分析】根据椭圆的几何性质，可判定A错误；设 PF1=m,PF2=n ，利用余弦定理和椭圆定义，求得 mn=4b23 ，结合三角形的面积公式，可判定B错误；设椭圆的短轴上端点为 B ，得到 ∠F1BF2≥90∘ ，得到 c≥b ，结合离心率的定义，可判定C正确；根据题意，得到 PF2⊥x 轴，进而可判定D正确．
解：对于A中，根据椭圆的几何性质，可得 b≤OP≤a ，所以A错误；
对于B中，设 PF1=m,PF2=n ，则 m+n=2a ，
由余弦定理得 2c2=m2+n2-2mncs60∘=(m+n)2-3mn=4a2-3mn ，
解得 mn=4a2-4c23=4b23 ，所以 S▵F1PF2=12mnsin60∘= 33b2 ，所以B错误；
对于C中，设椭圆的短轴上端点为 B ，连接 BF1,BF2 ，
若存在点 P ，使得 ∠F1PF2=90∘ ，则 ∠F1BF2≥90∘ ，所以 OF2≥OB ，即 c≥b ，
所以 c2≥a2-c2 ，所以 c2a2≥12 ，即 ca≥ 22 ，
又因为 e∈(0,1) ，可得 e∈[ 22,1) ，所以C正确；
对于D中，若 PF1 的中点在 y 轴上，则 PF2⊥x 轴，
结合椭圆的几何性质，可得 PF2=b2a ，所以D正确．
故选：CD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】A：由抛物线的方程可得焦点 Fp2,0 ，准线方程为： x=-p2 ，
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，则 AB 的中点 Mx1+x22,y1+y22 ，
利用焦点弦的性质可得 |AB|=x1+x2+p ，求出 AB 的中点M准线的距离即可判定；
B：设直线 AB 的方程为 x=my+p2,k=1m>0 ，联立
x=my+p2y2=2px ，整理可得： y2-2mpy-p2=0 ，然后由条件和根与系数的关系即可判定；
C：设 M(x,y) ，结合A、B可得： y=y1+y22=mp ，
x=x1+x22=my1+y22+p2=m2p2+p2 ，消去m即可判定；
D：若 p=4 则抛物线 C:y2=8x ，不妨设 x1>x2>0 ， x1x2=y1y2264=4, 结合基本不等式即可判定．
解：A：由抛物线的方程可得焦点 Fp2,0 ，准线方程为： x=-p2 ，
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，则 AB 的中点 Mx1+x22,y1+y22 ，
利用焦点弦的性质可得 |AB|=x1+x2+p ，而 AB 的中点M准线的距离：
d=x1+x22--p2=12x1+x2+p=12|AB| ，
∴ 以 AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A正确；
B：设直线 AB 的方程为 x=my+p2,k=1m>0 ，联立
x=my+p2y2=2px ，
整理可得： y2-2mpy-p2=0 ，
可得 y1+y2=2mp,y1y2=-p2,
∵AF=2FB,∴y1=-2y2 ，
解得 y2=-2mp,y1=4mp ，
∴-8m2p2=-p2 ，解得 m2=18 ，
∴k= 1m2=2 2 ，因此B不正确；
C：设 M(x,y) ，结合A、B可得： y=y1+y22=mp ，
x=x1+x22=my1+y22+p2=m2p2+p2 ，消去m可得： y2=2px-p2 ，因此C正确；
D：若 p=4 则抛物线 C:y2=8x ，不妨设 x1>x2>0 ，
x1x2=y1y2264=4,∴|AF|+4|BF|=x1+4x2+10=4x2+4x2+10≥4×2 1x2⋅x2+10=18 ，当且仅当 x2=1,x1=4 时取等号，因此D正确．
故选：ACD．
13.【答案】y22+x2=1
【解析】【分析】由题得 c=1 ，所以 a2-b2=1 ，然后取一组a、b即可．
【详解】由题得 c=1 ，所以 a2-b2=1 ，取 a= 2,b=1 ，
又焦点在y轴上，所以方程为 y22+x2=1 ．
故答案为： y22+x2=1(答案不唯一，只要焦点在 y 轴上且 a2-b2=1 ) ．
14.【答案】11
【解析】【分析】作圆E关于 y=x 的对称圆为圆G，根据三点共线时取得最小值，即可得解．
解：由题意知 E-9,-4,F1,3
如图，设圆E关于 y=x 的对称圆为圆G，点Q与点 Q' 关于 y=x 轴对称．
则圆G的方程为 x+42+y+92=1,G-4,-9
AP+AQmin=AP+AQ'min≥PQ' ．
当且仅当 P,A,Q' 三点共线时取得最小值．
此时 PQ'=FG-1-1= -4-12+-9-32-2=11 ．
所以 AP+AQ 的最小值为11．
故答案为：11．
15.【答案】3；8
【解析】【分析】利用椭圆、双曲线的定义以及基本不等式求解．
解：因为椭圆 x281+y272=1 ，所以其离心率 e1= 1-7281=13 ，
所以双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的离心率 e2=1e1=3 ；
设双曲线C的半焦距为 c>0 ，
因为双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的焦点与椭圆 x281+y272=1 的焦点重合，
所以 c= 81-72=3 ， a=ce2=1 ，
因为 F1 、 F2 分别为双曲线 C 的左､右焦点， P 为右支上任意一点，
所以 PF1-PF2=2a=2 ，即 PF1=2+PF2 ，
所以 PF12PF2=2+PF22PF2=4+4PF2+PF22PF2=PF2+4PF2+4 ，
因为 PF2≥c-a=2 ，
由基本不等式可得： PF12PF2=PF2+4PF2+4≥2 PF2⋅4PF2+4=4+4=8 ，
当且仅当 PF2=4PF2 ，即 PF2=2 时取等号，所以 PF12PF2 的最小值为8．
故答案为：3；8．
16.【答案】79
【解析】【分析】
本题考查椭圆离心率的求法，解题的关键是建立直角坐标系，根据题意求解a与c，属于较难题．
建立直角坐标系，由题意可知，|NQ|=a+c，|QR|=a-c，求得直线PR的方程，利用点到直线的距离公式求得M、Q的坐标，再利用M到PN的距离求得N点坐标，则可得出a+c，a-c，求解a，c，即可得到椭圆的离心率．
【解答】
解：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
则P0,4，R-3,0，直线PR的方程为y=43x+4，
设Mn,1，Qn,0，由M到直线PR的距离为1，
得43n+4-1 1+432=1，解之得n=-72或n=-1(舍)，
则M-72,1，Q-72,0，
又设直线PN的方程为y=kx+4，
由M到直线PN的距离为1，得-72k+4-1 1+k2=1，
整理得454k2-21k+8=0，则k1k2=3245，
又kPR=43，故kPN=815，则直线PN的方程为y=815x+4，N-152,0，
故NQ=-72+152=4=a+c，RQ=-3+72=12=a-c，
由a+c=4a-c=12，解得a=94c=74,
故椭圆的离心率e=ca=7494=79，
故答案为79．
17.【答案】解：(1)设点 C 的坐标为 m,n ，则 DC=m-1,n+2 ，
由题意， AB=DC ，又 AB=3,6 ，
故 m-1=3n+2=6 ，解得， m=4 ， n=4 ，
所以点 C 的坐标为 4,4 ，
则 kCD=-2-41-4=2 ，
所以直线 CD 的方程为 y-4=2x-4 ，
即 2x-y-4=0 ；
(2)设所求直线为 l ，
点 E 是线段 CD 的中点，则 E52,1 ，
直线 BC 的斜率为 kBC=7-41-4=-1 ，
由于直线 BC 与 l 垂直，故直线 l 的斜率为 1 ，
所以直线 l 的方程为 y-1=x-52 ，
即 2x-2y-3=0 ．
【解析】【分析】(1)先根据 AB=DC 求出点 C 的坐标，再利用点斜式即可得解；
(2)先求出点 E 的坐标及直线 BC 的斜率，进而可求得所求直线的斜率，再根据点斜式即可得解．
18.【答案】解：(1)由题意设双曲线方程为 y2a2-x2b2=1(a>0,b>0) ，焦点 F1(0,c),F2(0,-c) ，渐近线方程为 y=±abx ，
因为焦点到其中一条渐近线的距离为 5 ，
所以 bc a2+b2=b= 5 ，
又 e= 1+b2a2=32 ，故 a=2 ，
所以双曲线的标准方程为 y24-x25=1 ．
(2)根据题意，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y=kx+3 ，
联立 y=kx+3y24-x25=1 得， 5k2-4x2+30kx+25=0 ，
由 Δ=900k2-100(5k2-4)>0 ，得 k2+1>0 恒成立，
设点 Mx1,y1 ， Nx2,y2 ，
由根与系数的关系得， x1+x2=-30k5k2-4 ， x1x2=255k2-4 ．
设点 T0,t ，若 ∠F1TM=∠F1TN ，则 kTM+kTN=0 ，
即 y1-tx1+y2-tx2=x2y1-t+x1y2-tx1x2
=x2kx1+3-t+x1kx2+3-tx1x2
=2k+3-tx1+x2x1x2=2k+3-t-30k5k2-4255k2-4=0 ，
得 50k-30k(3-t)=0 ，因为 k∈R ，所以得 t=43 ，
则点 T 的坐标为 0,43 ．
综上， y 轴上存在点 T0,43 ，使 ∠F1TM=∠F1TN 恒成立．
【解析】【分析】此题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线中的定点问题，解题的关键是将 ∠F1TM=∠F1TN 转化为 kTM+kTN=0 ，考查计算能力和转化思想，属于较难题.(1)设出双曲线方程后，由焦点到其中一条渐近线的距离为 5 ，可得 b= 5 ，再由离心率为 32 可求出 a ，从而可求出双曲线方程；
(2)由题意设直线 l 的方程为 y=kx+3 ，设点 Mx1,y1 ， Nx2,y2 ，将直线方程代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，由题意得 kTM+kTN=0 ，设 T0,t ，则结合斜率公式化简可求得结果．
19.【答案】解：(1)证明：圆 C 的方程变形为： x2+y2-10+λ3x-y-10=0 ，
令 3x-y-10=0x2+y2-10=0 ，解得 x=3y=-1 ，
把 3,-1 代入圆 C:x2+3λx+y2-λy-10-10λ=0 成立，
所以圆过定点 3,-1 ．
(2)当 λ=1 时，圆 C 的方程为： x2+y2+3x-y-20=0 ．
假设存在直线 l 符合题意．
设直线 l 的方程为 y=x+m ，与圆 C 联立 y=x+mx2+y2+3x-y-20=0 得：
2x2+2m+1x+m2-m-20=0 ．
所以判别式 Δ=4m+12-4×2×m2-m-20>0 ．
设 Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，由根与系数的关系得，
x1+x2=-m+1 ， x1x2=m2-m-202 ．
若以 AB 为直径的圆经过原点，则 OA⊥OB ，从而有 OA⋅OB=0 ，
即 x1x2+y1y2=x1x2+x1+mx2+m=2x1x2+mx1+x2+m2
=m2-m-20-mm+1+m2=m2-2m-20=0
解得： m=1± 21 ，
代入 Δ=4m+12-4×2×m2-m-20>0 ，均成立，
所以直线 l 的方程为 y=x+1+ 21 或 y=x+1- 21 ．
【解析】【分析】(1)对圆的方程变形，列出方程组，即可求解．
(2)设出直线 l 方程，并与圆的方程联立，再结合韦达定义，以及向量垂直的性质，即可求解．
20.【答案】解：(1)若选①.由题意得： 2a=42b2a=3 ，解得： a=2b= 3 ，
所以：椭圆 C 的方程为 x24+y23=1 ．
若选②.椭圆 x213+y212=1 的焦点坐标为 ±1,0 ，则 c=1 ，
又 2a=4 ，得 a=2 ，由 a2=b2+c2 ，得 b2=4-1=3 ，
所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1 ．
若选③.由题意得： 2b2a=3 ，
又 F1F2 与椭圆 C 短轴的一个端点组成等边三角形，所以 b= 3c ，
又 a2=b2+c2 ，得 a=2 ， b= 3 ，
所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1 ．
(2)易知 F21,0 ，设直线 l 的方程为 x=my+1 ，
联立 x=my+1x24+y23=1 ，得： 3m2+4y2+6my-9=0 ，
设点 Mx1,y1 ， Nx2,y2 ，由根与系数的关系得，
y1+y2=-6m3m2+4 ， y1y2=-93m2+4 ，
所以 S▵F1MN=S▵MF1F2+S▵NF1F2=12⋅2cy1-y2=y1-y2
= y1+y22-4y1y2= -6m3m2+42--363m2+4=12 m2+13m2+4 ，
设 t= m2+1≥1 ，则 S▵F1MN=12t3t2+1=123t+1t
因为函数 y=3t+1t 在 t∈1,+∞ 上单调递增，
所以函数 y=123t+1t 在 t∈1,+∞ 上单调递减，
所以当 t=1 时， ymax=123×1+1=3 ，(此时 m=0 ，直线为 x=1 )．
故： ▵F1MN 面积的最大值为 3 ．
【解析】【分析】(2)中通过直线与椭圆联立并利用根与系数关系得： S▵F1MN=S▵MF1F2+S▵NF1F2=12t3t2+1=123t+1t ，然后构造函数 y=3t+1t ，利用函数的单调性从而可求解 ▵F1MN 面积的最大值.(1)根据选择不同的选项中条件再结合题意从而求解．
(2)设出直线 l 的方程与椭圆 C 联立，利用根与系数关系，并结合 S▵F1MN=S▵MF1F2+S▵NF1F2=12t3t2+1=123t+1t ，再构造函数 y=3t+1t 利用函数单调性从而求解．
21.【答案】解：(1)由题意可得点 M 到点 A2,0 的距离与到直线 x=-2 的距离相等，
根据抛物线定义，圆心 M 的轨迹 C 为抛物线，且焦点为 2,0 ，准线方程为 x=-2 ，
所以曲线 C 的方程为 y2=8x ；
(2)法一：由题意，过点 P 的切线斜率存在，且不为 0 ，
设点 P-2,t ，切线方程为 y-t=kx+2k≠0 ，
联立 y-t=kx+2y2=8x ，得 ky2-8y+8t+16k=0 ，
则 Δ=64-4k8t+16k=-64k2-32kt+64=0 ，
由于过点 P 存在两条切线，故关于 k 的方程有两个不相等的实数根 k1 ， k2 ，
且由根与系数的关系得， k1k2=-1 ，
设切线 PE 、 PF 的斜率分别为 k1 ， k2 ，则 k1k2=-1 ，
所以直线 PE⊥PF ．
法二：由题意，过点 P 的切线斜率存在，且不为 0 ，
设点 P-2,t ，切线方程为 x+2=my-t ，
联立 x+2=my-1y2=8x ，得 y2-8my+8mt+16=0 ，
则 Δ=64m2-48tm+16=64m2-32tm-64=0 ，
由于过点 P 存在两条切线，故关于 m 的方程有两个不相等的实数根 m1 ， m2 ，
且由根与系数的关系得， m1m2=-1 ，
设切线 PE 、 PF 的斜率分别为 k1 ， k2 ，则 k1k2=1m1⋅1m2=-1 ，
所以直线 PE⊥PF ．
【解析】【分析】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(1)根据抛物线的定义即可得出答案；
(2)由题意可得点 P-2,t ，切线方程为 y-t=kx+2k≠0 或 x+2=my-t ，联立方程，根据 Δ=0 结合韦达定理证明 k1k2=-1 或 m1m2=-1 即可．
22.【答案】解：(1)设点 Px,y ，根据题意得：
kPA⋅kPB=yx+3⋅yx-3=-89 ，
整理得： x29+y28=1x≠±3 ，
故曲线 C 的方程为： x29+y28=1x≠±3 ．
(2)设直线 l 的方程为 x=my-1 ，
联立 x=my-1x29+y28=1 ，得： 8m2+9y2-16my-64=0 ，
设点 Mx1,y1 ， Nx2,y2 ，由根与系数的关系得：
y1+y2=16m8m2+9 ， y1y2=-648m2+9 ，
则： k1k2=y1x1+3⋅x2-3y2=x2y1-3y1x1y2+3y2=my2-1y1-3y1my1-1y2+3y2=my1y2-4y1my1y2+2y2
=-64m8m2+9-4y1-64m8m2+9+216m8m2+9-y1=-64m8m2+9-4y1-32m8m2+9-2y1=2 ，
综上， k1k2 为定值2．
【解析】【分析】(2)问中利用直线与椭圆联立后利用根与系数关系即可求解.(1)设出动点 Px,y ，且根据题意 kPA⋅kPB=-89 ，从而求解；
(2)设出直线 l 的方程 x=my-1 ，然后与椭圆 C 进行联立后利用根与系数关系从而证明 k1k2 为定值．
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