2023-2024学年广东省东莞市四校高一上学期12月期中联考数学试题

这是一份2023-2024学年广东省东莞市四校高一上学期12月期中联考数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若集合A=0,1,2，则下列结论正确的是
( )
A. 0∈AB. 0∉AC. 0,-1,1,2⊆AD. ⌀⊆A
2.命题“∀x∈[0,+∞)，x3+x≥0”的否定是( )
A. ∀x∈(-∞,0)，x3+x<0B. ∀x∈(-∞,0)，x3+x≥0
C. ∃x0∈[0,+∞)，x03+x0<0D. ∃x0∈[0,+∞)，x03+x0≥0
3.设x∈R，则“x<1”是“x2<1”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.函数y=lg(2-x)+1 x+1的定义域为
( )
A. (-1,2]B. -1,2C. (-1,2)D. [-1,2)
5.设函数fx=x2-2x,x≤0fx-3,x>0，则f9的值为
( )
A. -7B. -1C. 0D. 12
6.设a=30.7,b=13-0.8,c=lg0.70.8，则a,b,c的大小关系为
( )
A. a7.下列可能是函数y=x2-1e|x|的图象的是
( )
A. B.
C. D.
8.已知函数fx=1-3ax+a+1, x<22ax, x≥2满足对任意的x1≠x2，都有fx1-fx2x1-x2<0成立，则实数a的取值范围为
( )
A. 0,12B. 13,12C. 12,1D. 13,1
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法中正确的有
( )
A. 不等式a+b≥2 ab恒成立
B. 存在a，使得不等式a+1a≤2成立
C. 若a，b∈0,+∞，则ba+ab≥2
D. 若正实数x，y满足x+2y=1，则2x+1y≥8
10.已知a>b>0,c( )
A. -1a<-1bB. c211.函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，则下列说法正确的是
( )
A. M(2)=3B. ∀x≥1，M(x)≥4
C. M(x)有最大值D. M(x)最小值为0
12.已知函数fx是偶函数，fx+1是奇函数，当x∈2,3时，f(x)=1-x-2，则下列选项正确的是
( )
A. f(x)在-3,-2上为减函数B. f(x)的最大值是1
C. f(x)的图象关于直线x=-2对称D. f(x)在-4,-3上f(x)<0
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.不等式-x2+2x+8>0的解集是________．
14.设全集U是实数集R，M=xx<-2或x>2，N=x115.已知奇函数fx是定义在-1,1上的减函数，则不等式f1-x+f1-3x<0的解集为__________．
16.定义：函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的差为f(x)在区间[a,b]上的极差，记作d(a,b)．
①若f(x)=x2-2x+2，则d(1,2)= ；
②若f(x)=x+mx，且d(1,2)≠|f(2)-f(1)|，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A=x|-3(1)若m=2，求A∪B
(2)若A∩B=B，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知幂函数fx=m2-3m+3xm+1为偶函数．
(1)求幂函数fx的解析式；
(2)若函数gx=fx+1x，根据定义证明gx在区间1,+∞上单调递增．
19.(本小题12分)
已知fx为R上的奇函数，当x≥0时，fx=lg12x+4+m．
(1)求m的值并求出fx在R上的解析式；
(2)若fa>1，求a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数fx=x2-a2+6a+9x+a+1．
(1)若a>0，且关于x的不等式fx<0的解集是x|m(2)设关于x的不等式fx<0在0,1上恒成立，求a的取值范围．
21.(本小题12分)
某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x(单位：吨)最少为70吨，最多为100吨.日加工处理总成本y(单位：元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．
(1)该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低?此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态?
(2)为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：
①每日进行定额财政补贴，金额为2300元;
②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x元．
如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案?为什么?
22.(本小题12分)
已知函数f(x)对任意实数x、y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)<0，且f(1)=-2．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)判断函数单调性，求f(x)在区间[-3,3]上的最大值；
(3)若f(x)答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】本题考查元素与集合，集合与集合之间的关系及表示方法，属于基础题．
根据元素与集合，集合与集合之间的关系判断．
解：由已知A中含有元素0，1，2，因此{0}⊆A，A、B均错，集合{0,-1,1,2}中比集合A多一个元素-1，因此应有A⊆{0,-1,1,2}，C错，由空集是任何集合子集知D正确．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键，属于基础题．
全称量词命题的否定是一个存在量词命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．
【解答】
解：∵命题“∀x∈[0,+∞)，x3+x≥0”是一个全称量词命题．
∴其否定命题为：∃x0∈[0,+∞)，x03+x0<0，
故选C．
3.【答案】B
【解析】【分析】按充分条件和必要条件的定义即可求解．
解：x2<1⇔x2-1<0⇔-1故x<1是-1故选：B
4.【答案】C
【解析】【分析】本题考查具体函数的定义域的求法，属于基础题
根据具体函数的定义域，先分别求每一个式子满足的定义域，再求交集即可
解：由题可知，函数定义域应满足2-x>0x+1>0，解得x∈-1,2
故选：C
5.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中结合分段函数的分段条件，分别代入，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.属于容易题．
结合分段函数的分段条件，分别代入计算，即可求解．
解：∵函数fx=x2-2x,x≤0fx-3,x>0,
∴f9=f6=f3=f0=02-20=-1．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围．
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
(1)利用指数函数的单调性：y=ax，当a>1时，函数递增；当0(2)利用对数函数的单调性：y=lgax，当a>1时，函数递增；当0(3)借助于中间值，例如：0或1等．
利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a,b,c的大小关系．
解：因为a=30.7>1，
b=13-0.8=30.8>30.7=a，
c=lg0.70.8<，
所以c<1故选：D．
7.【答案】C
【解析】【分析】根据函数定义域和特殊值可排除ABD．
解：函数定义域为R，排除选项AB，当x=2时，y=3e2>0，排除选项 D，
故选：C．
8.【答案】B
【解析】【分析】本题考查函数单调性的判断、利用分段函数的单调性求参数范围，是中档题．
本题先判断函数是定义在R上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可．
解：解：因为函数fx满足对任意的x1≠x2，都有fx1-fx2x1-x2<0成立，
所以函数fx=1-3ax+a+12ax,, x<2x≥2是定义在R上的减函数，
所以1-3a<00130故选：B
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了不等式与基本不等式的综合应用，重点是基本不等式成立的“一正二定三相等”，属于基础题．
结合基本不等式的一正，二定三相等的条件检验然后对各个选项逐个判断即可．
【解答】
解：
对于选项A，不等式a+b≥2 ab恒成立的条件是a≥0，b≥0，
故A不正确；
对于选项B，当a<0时，不等式a+1a≤2成立，
故B正确；
对于选项C，由基本不等式可知ba+ab⩾2 ba·ab=2
故C正确；
对于选项D，对于2x+1y=2x+1yx+2y=4+4yx+xy≥4+2 4yx⋅xy=8，
当且仅当4yx=xy，即x=12，y=14时取等号，
故D正确．
故选：BCD．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】利用作差比较法与不等式的性质逐一判断即可．
解：在a>b两边同除以负数-ab得-1b<-1a，即-1a>-1b，与A项矛盾．
由c0，得c2>cd，与B项矛盾．
由a+c-(b+d)=(a-b)+(c-d)，a-b>0，c-d<0，
故(a-b)+(c-d)不一定小于0，故C不正确．
由c-d>0，又a>b>0，两式相乘得-ac>-bd，
两边同除以负数-cd，可得ad故选：ABC．
11.【答案】BD
【解析】【分析】转化为分段函数求出M(x)的解析式，根据解析式结合二次函数及一次函数的单调性确定各选项即可得解
解：令g(x)>f(x)，即(x+1)2>(x+1)，解得x<-1或x>0，
所以可知M(x)=maxf(x),g(x)=(x+1)2,x-1或x0x+1,-1≤x≤0,
所以M(2)=(2+1)2=9，故 A错误；
当∀x≥1时，M(x)=(x+1)2≥(1+1)2=4，故 B正确；
由M(x)=(x+1)2(x<-1或x>0)可知，函数无最大值，故C错误；
当x<-1或x>0时，M(x)>0，当-1≤x≤0时，1≥M(x)≥0，
所以M(x)最小值为0，故D正确．
故选：BD
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的奇偶性与函数的周期性，属于拔高题．
根据题意f(x+1)为奇函数，可知函数f(x)关于点1,0对称，再结合函数f(x)是偶函数可得出函数f(x)的周期为4，而x∈[2,3]，f(x)=1-|x-2|=3-x，利用函数f(x)是偶函数从而可求得x∈(-3,-2)时的解析式，即解出．
【解答】解：因为函数f(x+1)为奇函数，
即函数f(x)的图象向左平移1个单位则关于原点对称，
所以函数f(x)关于点1,0对称，
即f(-x)+f(2+x)=0，
又函数f(x)是偶函数，所以f(x)=f(-x)，
于是，f(x)+f(2+x)=0①，
用x+2替换x，可得f(x+2)+f(4+x)=0②，
所以①-②得：f(x+4)=f(x)，
当x∈2,3，f(x)=1-|x-2|=3-x，
当x∈(-3,-2)时，∴-x∈2,3，
∴f(x)=f(-x)=3-(-x)=x+3，
所以f(x)在-3,-2上为增函数，故A错误；
∵x∈(1,2),∴x-4∈-3,-2，
∴fx=fx-4=x-4+3=x-1，
再根据偶函数，周期函数，关于(1,0)对称，画出该函数的图象，如图：
由图可知最大值为1，故B正确；
f(x)的图象关于x=-2对称，故C正确；
f(x)在(-4,-3)上f(x)<0，故D正确．
故选：BCD．
13.【答案】{x|-2【解析】【分析】本题主要考查的是一元二次不等式的解法，是基础题．
将不等式变形，再求出一元二次方程的根，即可写出不等式的解集．
解：不等式-x2+2x+8>0等价于x2-2x-8<0
由于方程x2-2x-8=0的解为：x=-2或x=4
所以-2故答案为：{x|-214.【答案】{x|1【解析】【分析】
本题主要考查Venn图表达集合的关系及运算，属于基础题．
欲求出图中阴影部分所表示的集合，先要弄清楚它表示的集合是什么，由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩CUM.
【解答】
解：由图可知，图中阴影部分所表示的集合是N∩CUM，
又CUM={x|-2≤x≤2}，
∴N∩CUM={x|1故答案为{x|115.【答案】x0【解析】【分析】根据奇函数与减函数的性质，结合定义域得到关于x的不等式组，解之即可得解．
解：因为f1-x+f1-3x<0，则f1-x<-f1-3x，
因为fx是奇函数，所以f1-x又函数fx是定义在-1,1上的减函数，
所以-1<1-x<1-1<3x-1<11-x>3x-1，解得0故所求不等式的解集为x0故答案为：x016.【答案】1；(1,4)
【解析】【分析】
本题考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的单调性和对勾函数的单调性，考查分类讨论思想方法和运算能力，属于较难题．
①求得f(x)的对称轴，判断f(x)在[1,2]的单调性，可得最值，即可得到所求；
②由题意可得f(x)在[1,2]不单调，讨论m=0，m<0，m>0，结合对勾函数的单调性，即可得到m的范围．
【解答】
解：①f(x)=x2-2x+2的对称轴为x=1，
可得f(x)在[1,2]递增，
可得f(x)的最大值为f(2)=2，
最小值为f(1)=1，
可得d(1,2)=2-1=1；
②若f(x)=x+mx，且d(1,2)≠|f(2)-f(1)|，
可得f(x)不为单调函数，
若m=0时，f(x)为[1,2]的递增函数，
若m<0时，f(x)为[1,2]的递增函数，
若m>0时，根据对勾函数的单调性可知f(x)在x= m处单调性发生变化，
则1< m<2，可得1即m的范围是(1,4)．
故答案为：1；(1,4)．
17.【答案】解：(1)
由题意A={x|-3∵m=2，
∴B={x|1∴A∪B={x|-3(2)
∵A∩B=B，
∴B⊆A，
∴当B=⌀，即m-1≥2m+1，即m≤-2时满足题意；
当B≠⌀，即m>-2时，m-1≥-32m+1≤2，即-2综上，实数m的取值范围为{m|m≤12}．

【解析】【分析】(1)将m=2直接代入求并集即可；
(2)A∩B=B⇒B⊆A，分别讨论B=⌀与B≠⌀的两种情况，根据集合的包含关系列出相应不等式即可求出范围．
18.【答案】解：(1)
因为fx=m2-3m+3xm+1是幂函数，
所以m2-3m+3=1，解得m=1或m=2．
当m=1时，fx=x2为偶函数，满足题意；
当m=2时，fx=x3为奇函数，不满足题意．
故fx=x2．
(2)
由(1)得fx=x2，故gx=fx+1x=x+1x．
设x2>x1>1，
则fx2-fx1=x2+1x2-x1-1x1=x2-x1+x1-x2x1x2=x2-x11-1x1x2，
因为x2>x1>1，所以x2-x1>0，x1x2>1，所以1-1x1x2>0，
所以fx2-fx1>0，即fx2>fx1，
故gx在区间1,+∞上单调递增．

【解析】【分析】(1)根据幂函数的定义可得m2-3m+3=1，结合函数的奇偶性即可求解；
(2)由(1)得gx=x+1x，设x2>x1>1，作差即可证明．
19.【答案】解：(1)
由题可知fx为R上的奇函数，故f(0)=0；
又f0=lg124+m=-2+m=0，即m=2，
则x≥0时，fx=lg12x+4+2
当x<0时，则-x>0,f-x=lg12-x+4+2，
又fx为奇函数，所以f-x=-fx，
所以fx=-f-x=-lg12-x+4-2,x<0
故fx在R上的解析式为fx=lg12x+4+2,x≥0-lg12-x+4-2,x<0．
(2)
(法一)若fa>1，则a≥0lg12a+4+2>1或a<0-lg12-a+4-2>1,
解得a<-4，所以a的取值范围为-∞,-4．
(法二)由(1)可知fx=lg12x+4+2,x≥0-lg12-x+4-2,x<0,
x≥0时，f(x)=lg12x+4+2在0,+∞上单调递减，且f(x)≤0；
x<0时，f(x)=-lg12-x+4-2在(-∞,0)上单调递减，且f(x)>0，
则fx在R上单调递减．
又因为f-4=-lg128-2=1，所以fa>1，即fa>f-4，
所以当a<-4时，fa>1，即a的取值范围为-∞,-4．

【解析】【分析】(1)根据函数的奇偶性结合f(0)=0求出m，求出x<0时的表达式，即得答案；
(2)法一：根据分段函数的解析式，分段求解不等式，可得答案；
法二，判断函数fx的单调性，计算得f-4=1，根据函数的单调性解不等式，即得答案．
20.【答案】解：(1)因为a>0，且关于x的不等式fx<0的解集是x|m所以 x=m 和x=n是方程 x2-a2+6a+9x+a+1=0 的两根，
所以 m+n=a2+6a+9,mn=a+1，
所以 1m+1n=m+nmn = a2+6a+9a+1 = (a+1)2+4(a+1)+4a+1
= (a+1)+4a+1+4≥4+4=8，当且仅当a=1时等号成立，
所以 1m+1n 的最小值为8．
(2)因为关于x的不等式 fx<0 在 0,1 上恒成立，
所以 f0<0f1<0 ，所以 a+1<01-a2+6a+9+a+1<0 ，解得 a<-1 ，
所以a的取值范围为 -∞,-1 ．

【解析】本题考查了一元二次不等式存在性或恒成立问题、由基本不等式求最值或取值范围问题，属于中档题．
(1)由韦达定理得 m+n=a2+6a+9,mn=a+1，1m+1n=(a+1)2+4(a+1)+4a+1 ，再利用基本不等式可得答案；
(2)不等式 fx<0 在 0,1 上恒成立可得 f0<0f1<0 ，解不等式组可得答案．
21.【答案】解：(1)由题意可知，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为
yx=x2+3200x+40,x∈70,100
又x2+3200x+40⩾2 x2⋅3200x+40=120 ，
当且仅当x2=3200x ，即x=80时，等号成立，
所以该企业日加工处理量为80吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低．
因为110<120，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态
(2)若该企业采用第一种补贴方案，设该企业每日获利为y1元，
由题可得 y1=110x+2300-(12x2+40x+3200) =-12(x-70)2+1550
因为x∈[70,100]，所以当x=70时，企业获利最大，最大利润为1550元，
若该企业采用第二种补贴方案，设该企业每日获利为y2元，由题可得
y2=110x+30x-(12x2+40x+3200) =-12(x-100)2+1800，
因为x∈[70,100]，所以当x=100时，企业获利最大，最大利润为1800元，
因为1800>1550，所以选择第二种补贴方案．

【解析】本题考查二次函数的实际应用，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
(1)由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为yx=x2+3200x+40，x∈[70,100]，再利用基本不等式的性质即可得解；
(2)根据日获利=日加工处理量×单价-总成本+补贴金额，表示出两种补贴方式的日获利，再结合二次函数的性质，求出最大值即可得解．
22.【答案】解：(1)取x = y = 0，则f(0 + 0)= 2f(0)，
∴f(0)= 0，
取y = -x，则f(x-x)= f(x)+ f(-x)=f(0)=0，
∴f(-x)= - f(x)对任意x∈R恒成立，
∴f(x)为奇函数；
(2)任取x1，x2∈(-∞,+∞)且x1则x2-x1> 0，f(x2)+ f(-x1)= f(x2-x1)<0，
∴f(x2)< - f(-x1)，
又f(x)为奇函数，
∴f(x1)> f(x2).
故f(x)为R上的减函数．
∴x∈[-3,3]，f(x)≤f(-3)，
∵f (3) = 3f(1)= - 2×3 = -6，
∴f(-3)= - f(3)= 6，
故f(x)在[-3,3]上的最大值为6；
(3)∵f(x)在[-1,1]上是减函数，
∴f(x)≤f(-1)=-f(1)= 2，
∵f(x)∴m2-2am+2>2，∀a∈[-1,1]恒成立;
即m2-2am>0，∀a∈[-1,1]恒成立，
令g(a)=-2am+m2，则g(-1)>0g(1)>0，即2m+m2>0-2m+m2>0，
解得：m> 2或m <-2．
∴实数m的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞)．
【解析】本题考查抽象函数的奇偶性，单调性及其应用，考查函数恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．
(1)取x = y = 0可求得f(0)，取y = -x可得f(x)与f(-x)的关系，由奇偶性的定义即可判断;
(2)任取x1，x2∈(-∞,+∞)且x1 f(x2)即可， 再利用单调性求最值；
(3)由条件可知m2-2am>0对a∈[-1,1]恒成立，列出不等式组解出m的范围.