江苏省无锡市滨湖区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份江苏省无锡市滨湖区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。

1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．B．C．D．
4．在矩形中，，以点A为圆心，4为半径作，点C与的位置关系是（ ）
A．点C在内B．点C在上C．点C在外D．无法确定
5．如果两个相似三角形对应边的比是3∶4，那么它们的对应周长的比是（ ）
A．3∶4B．C．9∶16D．3∶7
6．如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P(0，－3)，那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为( )
A．4B．5C．8D．10
7．如图，内接于，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．已知是的外接圆，那么点O一定是的（ ）
A．三个顶角的角平分线交点B．三边高的交点
C．三边中线交点D．三边的垂直平分线的交点
9．如图，矩形的边长，，E为的中点，F在线段上，且，分别与、交于点M、N，则＝（ ）
A．B．C．D．
10．在平面直角坐标系中，点，，若在直线上存在点P满足，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题．（本大题共8小题10空，每题3分，共24分.其中第18题第一空1分，第二空2分.不
11．在比例尺为的地图上，一条长为6cm的线段实际长为 m．
12．若x＝1是关于x的一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是 ．
13．据有关测定，当气温处于人体正常体温()的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为 (结果保留整数)．
14．如图，已知一组平行线abc，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝8，则DE＝ ．
15．关于x的方程有两个实数根，若其中一根为，则 ．
16．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，AC是直径，若∠P＝50°，则∠ACB＝ °．
17．如图，P为的内心，经过点P的线段分别与相交于点D、点E．若，，则点P到的距离为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，为上一点，且，则所在直线的函数关系式为 ；点是线段上一点，连接交于点，当过、、三点的圆与轴相切时，点的坐标为 ．
三、解答题．（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字证明、证明过程或演算步骤.）
19．解下列方程：
(1)；
(2)．
20．如图，在中，，D为上一点，且．
(1)求证：；
(2)当，且的面积为10时，求的面积．
21．关于x的方程．
(1)求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根；
(2)设、是方程的两根，且．求m的值．
22．如图，为的直径，为上一点，，．
(1)求证：为的切线；
(2)当，时，求的长．
23．如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，的顶点都在格点上．

(1)在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点A、B坐标分别为；
(2)以点O为位似中心，画出的位似三角形，使得与相似比为；
(3)在边上求作点M，使得．
24．如图，在等腰中，．
(1)请用圆规和直尺在图1中作出，使圆心P在边上，且与两边都相切（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，求的长．
25．如图，在中，为直径，P为上一点，，过点P的弦，Q为弧上一动点（与点B、C不重合），，垂足为H．连接．
(1)求的长；
(2)在点Q的运动过程中，的值是否发生变化？若变化求出取值范围，若不变化，求出比值．
26．某旅游景点为了提高游客数量，对团队游的票价进行了如下优惠：如果团队人数不超过20人，门票价格为80元/人；如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低0.5元/人，但门票价格不低于60元/人．
(1)当团队人数为16人时，门票价格为______元/人；当团队人数为26人时，门票价格为______元/人；
(2)若某团队共支付门票2800元，求该团队的人数．
27．已知，矩形的顶点A、C分别在平面直角坐标系的x轴、y轴上，点B的坐标为，E为上一动点．
(1)如图1，连接，当时，求E点坐标；
(2)连接，过点E作交x轴于点F，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
28．如图，四边形是正方形，点E是的中点，点P是对角线上一动点，连接，点C关于直线的对称点为点M，连接，已知，设的长为x．
(1)当点M与点D重合时，则x的值为______；
(2)当的面积最大时，求x的值；
(3)当为等腰三角形时，直接写出x的值．
答案与解析
1．D
【分析】形如的方程叫一元二次方程，根据定义分别判断，即可解答．
【详解】解：A、是二元一次方程，故该选项错误，不符合题意；
B、是分式方程，故该选项错误，不符合题意；
C、由得，是一元一次方程，故该选项错误，不符合题意；
D、由得，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程；熟练掌握定义是解题关键．
2．C
【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例的基本性质．此题比较简单，注意熟记比例变形．
3．B
【分析】判断上述方程的根的情况，只要计算出判别式的值就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是的一元二次方程．
【详解】解：A、，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、，此方程有两个相等的实数根，符合题意；
C、，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
4．C
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理．根据矩形的性质和勾股定理求出的长，再根据点与圆的位置关系，即可求解．
【详解】解：在矩形中，，
∴，
∴，
∵的半径为4，
∴，
∴点C与外边，
故选：C．
5．A
【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为3：4，
∴它们的周长比是：3：4．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长比的比等于相似比是解答此题的关键．
6．C
【分析】先找到过点P最短的弦，根据垂径定理求出AB=2PB=2AP，根据勾股定理求出BP，即可得出答案．
【详解】解：过P作弦AB⊥OP，则AB是过P点的⊙O的最短的弦，连接OB，
则由垂径定理得：AB=2AP=2BP．在Rt△OPB中，PO=3，OB=5，
由勾股定理得：PB=4，则AB=2PB=8．
故选C．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识点，关键是找出符合条件的最短弦．
7．C
【分析】本题考查了等腰三角形、三角形内角和、圆周角定理，同弧所对圆周角等于圆心角的一半，适当添加辅助线是解题关键．
【详解】解：连接，
，
，
，
．
故选：C．
8．D
【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，是解决问题的关键．
【详解】解：已知是的外接圆，那么点O一定是的三边的垂直平分线的交点，
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，先作辅助线，然后根据勾股定理求出的值，然后根据三角形相似可求得线段之间的比例，进而求得结果，准确作出辅助线，求出与的长是解题的关键．
【详解】解：过F作于H，交于O，如图所示：
，
∵，E为的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．A
【分析】本题主要考查圆周角与圆心角的关系，直线与圆相切的时候m取得最值点，熟练掌握这些知识是解题的关键．
根据题意等腰直角三角形，分两种情况进行讨论，当E在上方时，以E为圆心，为半径作圆，设直线与相切，切点为P，此时m的值最大，求出此时m的值，同理当E在下方时求出m的值，即可得出答案．
【详解】解：如图，作等腰直角三角形，

，，
，，
E在y轴上，
当E在上方时，以E为圆心，为半径作圆，此时上存在点满足，
设直线与相切，切点为P，此时m的值最大，
设直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，
连接，则，直线，
，是等腰直角三角形，
， ，
，
由直线可知，
，
，
，
当E在下方时，同理得，

m的取值范围是，
故选：A．
11．180
【分析】本题考查了比例线段，比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比，公式为：比例尺=图上距离与实际距离的比，据此进行求解即可，正确计算是解题的关键．
【详解】解：设两地的实际距离是cm，
根据题意可得：，
解得：cm=m，
故答案为：180．
12．x2﹣x＝0（答案不唯一）
【分析】利用因式分解法求一元二次方程根的方法进行倒推即可，答案不唯一．
【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根是1，则符合条件的一个一元二次方程可以是：x（x﹣1）＝0，
整理得：x2﹣x＝0．
故答案为：x2﹣x＝0（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，答案较为开放，符合题意即可，找到合适的方程是解题的关键．
13．
【分析】根据题意直接计算即可得．
【详解】解：根据黄金比的值得：．
故答案为23．
【点睛】本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是要熟记黄金比的值为．
14．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵abc，
∴，
即，
∴DE＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目特点，灵活选择比例式计算是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了一元二次方程的根，方程的根是使等式左右两边相等的未知数的值，将根代入原方程即可求解．
【详解】解：∵方程根为，
，
解得：
故答案为：．
16．65
【分析】连接BC，OB，由PA、PB是 O的切线，可得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和，求出∠AOB，再根据圆周角定理即可求∠ACB的度数．
【详解】连接BC，OB.
∵PA、PB是O的切线，A. B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°.
∴∠AOB=180°−∠P=130°，
由圆周角定理知,∠ACB=∠AOB=65°，
故答案为65.
【点睛】此题考查切线的性质，解题关键在于作辅助线.
17．
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，角平分线的性质，连接，过P作于H，于G，根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，过P作于H，于G，
∵P为的内心，
∴平分，平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴点P到的距离为，
故答案为：．
18．
【分析】先求得，，，，根据待定系数法即可求得直线的解析式，过、、三点的圆为，过点作于点，轴于点，连接、，如图，设，证四边形为矩形，得，由切线性质得，由勾股定理得，进而得，从而利用两点间距离公式得，解方程即可得点的坐标．
【详解】解：当时，，解得，则，，
当时，，则，，
设直线的解析式为，
把，，，分别代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
过、、三点的圆为，过点作于点，轴于点，连接、，如图，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵与轴相切，
∴为的半径，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，(舍去），
∴点坐标为．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、勾股定理、求一次函数的解析式，一次函数的图像及性质、矩形的判定及性质，熟练掌握切线的判定、勾股定理、求一次函数的解析式以及一次函数的图像及性质是解题的关键．
19．(1)
(2)，
【分析】本题主要考查解一元二次方程．
（1）将方程的常数项移到等号的右边，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，配方法后，再开平方求解即可；
（2）方程移项后再利用因式分解法求解即可．
【详解】（1），
，
，
，
，
，
∴，；
（2）
，
，
或，
∴，．
20．(1)见解析
(2)8
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质：
（1）根据等腰三角形的性质可得，即可求证；
（2）根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵的面积为10，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，进而可证得结论；
（2）利用根与系数的关系可得出，，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．
解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合找出关于的一元二次方程．
【详解】（1）证明：，，．
∴，
∴无论m取任何实数，一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，为方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．(1)见解析
(2)
【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是解题的关键.
（1）连接,由,,得,则,所以， 即可证明为的切线；
（2）由为的直径，得，则，而，所以，则，可求得，由勾股定理得.
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴为的切线．
（2）解：为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴.
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了坐标与图形，画位似图形，相似三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据A、B的坐标确定原点的位置以及x、y的轴的位置，然后建立坐标系即可；
（2）把A、B、C的横纵坐标分别乘以2得到的坐标，再顺次连接即可；
（3）取格点P、Q，连接交于M，点M即为所求
【详解】（1）解：如图所示坐标系即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；

（3）解：如图所示，取格点P、Q，连接交于M，点M即为所求；
易证，则，即．

24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作的平分线交于P，以P为圆心，P到的距离为半径作圆，即为所求，即可；
（2）过P作交于D，结合等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到，继而得到，设，则，根据平行线分线段成比例，即可求解．
【详解】（1）解：作的平分线交于P，以P为圆心，P到的距离为半径作圆，即为所求，如图：
（2）解：过P作交于D，如上图：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由作图可知，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
即，解得，
∴的长为．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作圆，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，切线的性质，熟练掌握圆的作法，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，切线的性质是解题的关键．
25．(1)的长为；
(2)的值不发生变化，
【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）连接，求得的半径，在和中，利用勾股定理求解即可；
（2）连接，利用垂径定理求得，证明，据此求解即可．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
即的长为；
（2）解：的值不发生变化，．
理由如下：
连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
26．(1)80，77
(2)该团队的人数为40人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，
（1）根据题意，计算即可解答；
（2）设团队人数为人，再根据支付门票价格为2800元，列方程，即可解答，
根据题意，找出正确的等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：根据已知，团队人数为16人时，门票价格为80元/人；
（元/人），
∴团队人数为26人时，门票价格为77元/人；
故答案为：80，77；
（2）解：，
∴该团队的人数超过20人；
设该团队的人数为x人，
根据题意得：，
解得或，
当时，（元/人），
当时，（元/人），
∵门票价格不低于60元/人，
，
答：该团队的人数为40人．
27．(1)或
(2)是定值为
【分析】本题考查矩形的性质、待定系数法求函数解析式，以及相似三角形的判定与性质等知识．
（1）根据矩形的顶点，可得点，利用待定系数法求直线解析式，，利用距离公式求得m的值；
（2）过E作轴于M点，交于N点，然后证明，利用相似三角形的性质即可得结论．
【详解】（1）由矩形的顶点，
∴点，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵E为上一动点，
∴设，
∵，
∴，解得：或，
∴或；
（2）是定值为，理由如下：
如图：过E作轴于M点，交于N点，
由（1）知E在上，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
28．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）当D和M重合时，与 的垂直平分线重合即可求解；
（2）根据对称的性质，为定值，所以M的轨迹是一段圆弧，然后根据三角形面积公式，底一定时，高越大，则面积越大，即可求解；
（3）根据腰的不同分类讨论即可．
【详解】（1）解：当D和M重合时，对称轴与的垂直平分线重合，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
由勾股定理得，
∴，即；
故答案为：；
（2）解：连接，延长，交于F，交延长线于G，如图，
∵C和M关于对称，
，
∴点M的轨迹为以E为圆心，半径为的一段圆弧，
∴当面积最大时，M在直线上，
又由垂径定理可知，，
，
∴，
∵，
∴，
，
；
，
∴，
，
即，解得：，
（3）解：①当时，
如图，由于点P的轨迹是以E为圆心，半径为的优弧，点P与D重合时，点M与点T重合；点P与点B重合时，点M与点K重合；
当点P与D重合时，点M与点T重合，此时，则；
当点M与点C重合时，也满足，如下图，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
②当时，作的垂直平分线，与轨迹有两个交点，
当M在右边时，如图：
连接延长交于Q，交延长线于G，延长交于点H，
过M作于N，
∵M在垂直平分线上，四边形是正方形，
∴M也在的垂直平分线上，
，
∴；
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
M是的中点；
∵，
∴，
∴，
即是的中位线，
，
又，
，
，
∴；
，，
∴，
，
∵，
；
∵，，
∴，
，
；
当M在左边时，如图：
过M作的垂线交于点O，则M在两边时的情形关于点O成中心对称，由对称知，当时，满足；
即当时，或；
③当时，此种情况不存在；
综上所述，或或或．
【点睛】本题几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆的性质，相似三角形的判定与性质，综合性强，解题关键在确定M点的运动轨迹．