贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了在，，，中，是分式的有，下列语句中，是命题的个数为，若分式有意义，则a的取值范围是，若方程有增根，则增根可能为等内容，欢迎下载使用。
3．本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．在，，，中，是分式的有 ( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．在日本核电站排放核废水期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘-131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
3． 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2B．3，4，5C．1，4，6D．2，3，7
4．下列语句中，是命题的个数为（ ）
①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等．
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．如果把公式中的和都扩大了3倍，那么分式的值（ ）
A．不变B．扩大3倍C．缩小3倍D．缩小6倍
6．若分式有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a=0B．a=1C．a≠﹣1D．a≠0
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点P，若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则△PBC的周长等于( )
A．4 cmB．6 cmC．8 cmD．10 cm
8．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )
A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°
9．若方程有增根，则增根可能为( )
A．0B．2C．0或2D．1
10．若关于x的方程有解，则必须满足条件( )
A．a≠b ，c≠dB．a≠b ，c≠-dC．a≠-b ， c≠dD．a≠-b ， c≠-d
11．如图所示的正方形网格中，（ ）
A．330°B．315°C．310°D．320°
12．如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）

A．B．
C．D．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．当x= 时，分式的值为零．
14．等腰三角形的周长为，一边长为，则底边长为 ．
15．造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了 ，而活动挂架则用了四边形的 ．
16．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①；②PQ//AE；③；④△CPQ为等边三角形；⑤；其中正确的有 （注：把你认为正确的答案序号都写上）
三、解答题（本题共8小题，共98分）
17．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
18．(本题满分6分) 化简：，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．
19．解方程：
(1)
(2)
20．若关于x的方程无解，求 m 的值．
21．已知：如图，四边形中，，．试说明：．
22．如图，在中，，，，垂足为点，，垂足为点，图中与哪条线段相等？并说明理由．
23．书店老板去图书批发市场购买某种图书. 第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用1500元所购该书数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书. 试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
24．感知：如图①所示，分别以的边，为边向外作等边、等边，连接，．易证：（不需要证明）．
探究：如图②所示，点是线段上方的一个动点，分别以的边，为直角边向外作等腰直角、等腰直角，且均以点为直角顶点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，则线段的最大值是________．（直接填答案，不需要过程）
25．如图所示，在等边中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．，两点同时出发，它们移动的时间为．
(1)请用表示和的长度．即________，________．
(2)请问几秒钟后，为等边三角形？
(3)若，两点分别从，两点同时出发，并且能按顺时针方向沿三边运动，请问经过几秒钟后点与点在的哪条边上第一次相遇？
参考答案与解析
1．B
【详解】分析：
根据“分式”的定义进行分析判断即可.
详解：
由“分式的定义”可知：上述四个式子中属于分式的是：，共2个.
故选B.
点睛：熟记分式的定义：“形如，其中A、B都是整式，且B中含有字母的式子叫做分式”是解答本题的关键.
2．C
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：数据“0.0000963”用科学记数法可表示为；
故选C
3．B
【详解】A．1+1=2，不能组成三角形，故该选项错误；
B．3+4＞5，4-3＜5，能组成三角形，故该选项正确；
C．1+4=5＜6 不能组成三角形，故该选项错误；
D．2+3=5＜7不能组成三角形，故该选项错误.
故选：B.
【点睛】考点：三角形三边关系.
4．C
【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的概念是解题的关键；因此此题可根据“一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题”进行排除选项．
【详解】解：①②④⑤符合命题的定义，而③不能写出题设与结论出来，故不是命题，所以是命题的个数有4个；
故选C．
5．A
【分析】本题考查了分式的基本性质，先把公式中的和都扩大了3倍，即得，再化简比较，即可作答．
【详解】解：依题意，因为把公式中的和都扩大了3倍
所以
则分式的值不变，
故选：A
6．C
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：∵a+1≠0，
∴a≠-1．
故选C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
7．C
【分析】先根据等腰三角形的性质得出AC=AB=5cm，再根据线段垂直平分线的性质得出AP=BP，故AP+PC=AC，由此即可得出结论．
【详解】∵△ABC中，AB=AC，AB=5cm，
∴AC=5cm，
∵AB的垂直平分线交AC于P点，
∴BP=AP
∴BP+PC=AC，
∴△PBC的周长=（BP+PC）+BC=AC+BC=5+3=8cm．
故选C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
8．D
【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，根据平角的定义即可求出∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°．
【详解】∵AC＝CD＝BD＝BE
∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED
∵∠CDA=∠B+∠DCB即∠CDA=2∠B
∴∠B=25°
∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°
∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°
故答案选D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
9．A
【分析】根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x的值即可．
【详解】解：分式方程的最简公分母为x（x-2），
由分式方程有增根，得到x（x-2）=0，
解得：x=0或2．
但是：去分母后：5x=a（x-2）+4，发现x=2不是这个整式方程的根，
所以增根为0．
故选A．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
10．B
【分析】把a、b、c、d都看做已知数解方程，去分母，转化为关于x的整式方程，讨论x的系数，再讨论最简公分母≠0，得出结论．
【详解】方程两边都乘以d(b-x)，得
d(x-a)=c(b-x)，
∴dx-da=cb-cx，
即(d+c)x=cb+da，
∴当d+c≠0，即c≠-d时，原方程的解为x=，
由题意知还要满足b-x≠0，即≠b，
所以b≠a，
当c+d=0时，c=-d，0x=d(a-b)，
∴当a=b时，方程有无数个解，
故选B.
【点睛】本题考查了解字母系数的分式方程，解含有字母系数的方程和解数字系数的方程一样，均是通过去分母，将分式方程转化为整式方程，但因为分式方程中字母的取值决定着方程的解，故对转化后的整式方程中的未知数系数应加以限制，对解出的解还要进行检验．
11．B
【分析】根据正方形的轴对称性得∠1+∠7=90°，∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°，∠4=45°．
【详解】解：由图得∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，
∴，， ，，
∴
故选B．
12．B
【分析】本题主要考查四边形的内角和，三角形内角和，根据四边形的内角和为及三角形内角和，就可求出这一始终保持不变的性质．解决本题的关键是熟记翻折的性质．
【详解】解：，
理由：如图：延长，交于一点N，由翻折性质，知道点N与点A关于对称
则在四边形中，，
因为把纸片沿折叠，
所以，
因为，
则，
∴可得．
故选：B．
13．1
【分析】根据分式的值为0即分子为0以及分式有意义的条件，列方程求解即可得到答案；
【详解】解：要使分式的值为零，
即：，
解得： ，
故答案为：1；
【点睛】本题主要考查了分式为0的条件，即分子为0，在求解时，还注意解得的结果要使分式有意义，即分母不为0；
14．6或8##8或6
【分析】分边长为的边为腰和底边两种情况结合构成三角形的条件进行求解即可．
【详解】解：①当边长为的边是底边时，则腰长为，
此时三角形的三边分别为，能组成三角形，符合题意；
②当边长为的边是腰时，则底边长为
此时三角形的三边分别为，能组成三角形，符合题意；
综上所述，底边长为或．
故答案为：6或8．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
15． 三角形的稳定性 不稳定性
【详解】试题解析：造房子时，屋顶常用三角形结构，从数学角度来看，是应用了三角形的稳定性，而活动挂架则用了四边形的不稳定性.
故答案为三角形的稳定性，不稳定性.
16．①②④⑤
【分析】首先证明，推出，说明①正确；证明，推出，又，可得△CPQ为等边三角形，故④正确；证明，推出，故结论②正确；通过，得出⑤正确；现有条件不足以证明，故③错误．
【详解】解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，，，，
，
，结论①正确；
，
，
又，
，
，
在和中，，，，
，
，，
又，
是等边三角形，结论④正确；
，
，结论②正确；
，
，
，
故结论⑤正确；
现有条件不足以证明，故③错误；
综上，正确的结论有4个，分别是：①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和应用、平行线的判定等，熟练掌握等边三角形的性质，从图中找出全等的三角形是解决问题的关键．
17．(1)
(2)
(3)
(4)1
【分析】本题考查了分式的混合运算，积的乘方以及负整数指数幂运算：
（1）先通分，得，再运算加法，得，再化简，即可作答；
（2）先化简负整数指数幂，再运算积的乘方，得，再化简，即可作答；
（3）先算除法化简得，再通分，得，即可作答；
（4）先算括号内，得，再算乘法化简，得，最后进行减法运算，即可作答．
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
；
（4）解：
18．，当时，原式=2
【详解】【考点】分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．
【分析】首先利用分式的混合运算法则将原式化简，然后解不等式，选择使得分式有意义的值代入求解即可求得答案．
解：原式=
=…………………………………………………………………1分
=
=…………………………………………………………………3分
∵不等式x≤2的非负整数解是0，1，2………………………………………………………4分
∵（x+1）（x﹣1）≠0，x+2≠0，
∴x≠±1，x≠﹣2，
∴把x=0代入．…………………………………………………………………6分
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了解分式方程：
（1）先去分母，化为整式方程，即，解出值，最后要检验，即可作答；
（2）先去分母，化为整式方程，即，解出值，最后要检验，即可作答；
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：
经检验：是原分式方程的解；
（2）解：
经检验：是原分式方程的解；
20．或或
【分析】直接利用分式方程的解的意义分别分析得出答案．
【详解】解：方程两边同乘以，得：
，
化简得：，
当时，原方程无解，
可能的增根是或，
当时，，
当时，，
当或时，原方程无解，
或或时原方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题的关键．
21．见解析
【分析】通过两个平行得到角度关系，结合公共边，得到三角形全等．
【详解】，
，
，
，
在与中：
，
．
【点睛】本题考查利用角边角证明三角形全等，通过平行得到角相等，找到对应的等角和等边是解题的关键．
22．，理由见详解
【分析】此题考查三角形全等的判定与性质，利用，，得出，进一步利用已知条件得出，证得，得出．灵活运用题目中的条件，找出边角关系，证得三角形全等是关键．
【详解】解：．
理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴
∴．
23．该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
【分析】设第一次购书的单价为元，第二次购书的单价为元,根据前后的数量关系可得,可求出单价.
【详解】解：设第一次购书的单价为元，第二次购书的单价为元．
根据题意得：
解得：.
经检验，是原方程的解.
所以第一次购书为（本）.
第二次购书为（本）.
第一次赚钱为（元）.
第二次赚钱为（元）.
所以两次共赚钱（元）
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
【点睛】考核知识点：分式方程的应用.理解题意，弄清数量与单价关系是关键．
24．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据三角形与三角形都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，，，利用可得出，进而得到；
（2）根据两点之间线段最短，即可得到，再根据，，即可得出，故线段的最大值为，最后根据，即可得出线段的最大值为．
【详解】（1）证明：∵和都为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图②，
如果点B、C、E不共线时，由三角形的三边关系得；
当点B、C、E共线时，则
故，

∴线段的最大值为的值，
又∵等腰中，，
而，
∴，
∴线段的最大值为，
又∵，
∴线段的最大值为，
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，线段最短问题，三角形三边关系，直角三角形的性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等．解决第（2）问的关键是依据进行推导计算．
25．(1)，
(2)
(3)边
【分析】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质和判定、方程思想等知识．
（1）由等边三角形的性质可求得的长，用t可表示出和的长；
（2）由等边三角形的性质可知，可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）设经过t秒后第一次相遇，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得点P走过的路程，可确定出P点的位置．
该题为运动型题目，解决这类问题的关键是化“动”为“静”，即用时间和速度表示出线段的长．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴
∴，
（2）解：若为等边三角形，
则有，
即
解得，
∴当时，为等边三角形；
（3）解：因为点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．
所以点大于点，
设时，Q与P第一次相遇，即第一次点追上点，它们之间路程差为
根据题意得
，
解得，
即时，两点第一次相遇．
当时，P走过得路程为
而，即此时P在边上，
∴两点在上第一次相遇．