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第12章 全等三角形（易错必刷30题5种题型专项训练）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（人教版）
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1．（2022秋•天门期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝ 45° ．
【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．
【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，
∴∠1＝∠DBE，
又∵∠DBE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°．
∵∠2＝45°，
∴∠1﹣∠2+∠3＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45°．
【点评】此题综合考查角平分线以及全等图形，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．
二．全等三角形的性质（共5小题）
2．（2022秋•孝昌县期中）一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝ 11 ．
【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．
【解答】解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2
∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y＝5
∴x+y＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了全等三角形的性质及对应边的找法；根据两个三角形中都有2找对对应边是解决本题的关键．
3．（2022秋•南开区校级期中）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为 1或4 s．
【分析】由条件分两种情况，当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，由条件可得到关于t的方程，当△BPE≌△CPQ，则有BP＝PC，同样可得出t的方程，可求出t的值．
【解答】解：
∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm，
∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm，
当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1，
当△BPE≌△CPQ时，则有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4，
故答案为：1或4．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由条件分两种情况得到关于t的方程是解题的关键．
4．（2022秋•浠水县期中）一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，3x﹣2，2x﹣1．若这两个三角形全等，则x的值是 3 ．
【分析】根据全等三角形的性质可得方程组，或，解方程组可得答案．
【解答】解：由题意得：，或，
解得：x＝且x＝4（舍去）或x＝3，
∴x＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等．
5．（2022秋•天津期中）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在另一点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标 （1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1） ．
【分析】根据题意画出符合条件的所有情况，根据点A、B、C的坐标和全等三角形性质求出即可．
【解答】解：如图所示：有3个点，当E在E、F、N处时，△ACE和△ACB全等，
点E的坐标是：（1，5），（1，﹣1），（5，﹣1），
故答案为：（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）．
【点评】本题考查了全等三角形性质和坐标与图形性质的应用，关键是能根据题意求出符合条件的所有情况，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
6．（2022秋•黔东南州期中）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠ADE的度数为 70° ．
【分析】根据全等三角形的性质，即可得到∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠ADE＝∠B，再根据∠EAC＝40°，即可得到∠BAD的度数，最后根据三角形内角和定理以及全等三角形的对应角相等，即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠ADE＝∠B，
∴∠EAC＝∠DAB＝40°，
∴△ABD中，∠B＝（180°﹣∠BAD）＝70°，
∴∠ADE＝∠B＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解题时注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
三．全等三角形的判定（共7小题）
7．（2022秋•江城区期中）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，AB＝A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（ ）
A．AC＝A′C′B．BC＝B′C′C．∠B＝∠B′D．∠C＝∠C′
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据图形和已知看看是否符合即可．
【解答】解：
A、∠A＝∠A′，AB＝A′B′AC＝A′C′，根据SAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故A选项错误；
B、具备∠A＝∠A′，AB＝A′B′，BC＝B′C′，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故B选项正确；
C、根据ASA能推出△ABC≌△A′B′C′，故C选项错误；
D、根据AAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了对全等三角形判定的应用，注意：判定两三角形全等的方法有ASA，SAS，AAS，SSS，而SSA，AAA都不能判断两三角形全等．
8．（2022秋•东西湖区期中）如图所示，在5×4的长方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，以点C为顶点的三角形最多能再画出（ ）个不同的格点三角形与△ABC全等．
A．8B．9C．10D．1 1
【分析】利用全等三角形SSS去找点C为顶点的三角形与△ABC全等．
【解答】解：如图，共有9种情况：
故选：B．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．利用网格结构是解题的关键．
9．（2022秋•宿豫区期中）如图，∠BAC＝∠DAC，若要使△ABC≌△ADC，还需要添加一个条件，则这个条件不能是（ ）
A．BC＝DCB．AB＝ADC．∠B＝∠DD．∠ACB＝∠ACD
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．
【解答】解：A．根据BC＝DC，AC＝AC，∠BAC＝∠DAC，不能推出△BAC和△DAC全等，故A符合题意；
B．∵在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SAS），故B不符合题意；
C．∵在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（AAS），故C不符合题意；
D．∵在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（ASA），故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
10．（2022秋•邗江区期中）如图，点B在AE上，∠C＝∠D，要能证△ABC≌△ABD，只需再补充一个条件： ∠CAB＝∠DAB ．
【分析】根据全等三角形的判定定理加条件．
【解答】解：在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD（AAS）
故答案为：∠CAB＝∠DAB．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、是解题关键．
11．（2022秋•沙依巴克区校级期中）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形．则图中与△ABC有唯一公共顶点C且与△ABC全等的格点三角形共有 19 个（不包括△ABC）．
【分析】根据以点C为唯一公共点，其它两个点在格点上，作出与△ABC全等的三角形即可．
【解答】解：如图：
与△ABC有唯一公共顶点C且与△ABC全等的格点三角形有：
△CEB1，△CA1B1，△CA1B2，△CE1B2，△CE1B3，△CA2B3，△CA2B4，△CE2B4，△CE2B5，△CA3B5，△CA3B6，△CB6E3，△CE3B7，△CA1E3，△CA1E2，△CA2E，△CA2E3，△CA3E1，△CA3E，
共有19个，
故答案为：19．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
12．（2022秋•长沙期中）如图，已知AB⊥BD，ED∥AB，AB＝ED，要使△ABC≌△EDC，可补充的一个条件是： ∠A＝∠E或∠ACB＝∠ECD或BC＝DC或AC＝AE ．（答案不唯一，写一个即可）
【分析】依据AB⊥BD，ED∥AB，可得∠B＝∠D＝90°，再根据AB＝ED，即可得到可补充的一个条件，使得△ABC≌△EDC．
【解答】解：∵AB⊥BD，ED∥AB，
∴∠B＝∠D＝90°，
又∵AB＝ED，
∴当∠A＝∠E时，△ABC≌△EDC（ASA）；
当∠ACB＝∠ECD时，△ABC≌△EDC（AAS）；
当BC＝DC时，△ABC≌△EDC（SAS）；
当AC＝EC时，Rt△ABC≌Rt△EDC（HL）；
故答案为：∠A＝∠E或∠ACB＝∠ECD或BC＝DC或AC＝AE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
13．（2022秋•乐陵市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D要用“HL”定理判定△ABD≌△ACD，还需加条件 AB＝AC ．
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB＝AC．
【解答】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，关键是正确理解HL定理．
四．直角三角形全等的判定（共4小题）
14．（2022秋•游仙区期中）下列说法不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．有两边相等的两个直角三角形全等
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：SAS，AAS，HL，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据SAS来判断，故A不符合题意；
B、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，可根据AAS来判断，故B不符合题意；
C、斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据HL来判断，故C不符合题意；
D、如果第一个直角三角形的两条直角边分别为3，4，第二个直角三角形一条直角边为3，斜边为4，那么这两个直角三角形不全等，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
15．（2022春•皇姑区校级期中）如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD； ③∠BAC＝∠BAD； ④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；
③当∠BAC＝∠BAD时，由∠C＝∠D＝90°，∠BAC＝∠BAD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；
④当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
故选：D．
【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时直角三角形又是特殊的三角形，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．
16．（2022春•七星区校级期中）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（ ）
A．HLB．ASAC．AASD．SAS
【分析】已知∠A＝∠D＝90°，题中隐含BC＝BC，根据HL即可推出△ABC≌△DCB．
【解答】解：HL，
理由是：∵∠A＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意：判定两直角三角形的全等方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
17．（2022秋•诸暨市期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是 AB＝DC（答案不唯一） （不添加字母和辅助线）．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法，即可解答．
【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：AB＝DC，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：AC＝BD，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：∠ABC＝∠DCB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），
∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：∠ACB＝∠DBC，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），
故答案为：AB＝DC（答案不唯一）．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
五．全等三角形的判定与性质（共5小题）
18．（2022秋•开平区期中）如图：在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD＝45°；②AE＝EC；③S△ABF：S△AFC＝AD：FD；④若BF＝2EC，则BC＝AB．正确结论的序号是（ ）
A．①③④B．①②④C．②③④D．①②
【分析】根据垂直定义可得∠ADB＝∠ADC＝90°，再利用∠ABC＝45°，得到AD＝BD，从而可证明△BDF≌△ADC，进而得到FD＝CD，即可判断①；根据AB≠BC，BE⊥AC，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得＝，即可判断③，若BF＝2EC，根据△BDF≌△ADC可以得到BF＝AC，从而可得E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ACB＝90°，
∵∠EBC+∠BFD＝90°，
∴∠BFD＝∠ACB，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴DF＝CD，
∴∠FCD＝∠DFC＝45°，
故①正确；
∵BE⊥AC，
∴AE≠EC，
故②不正确；
∵＝＝，
∴S△ABF：S△AFC＝AD：FD，
故③正确；
∵△BDF≌△ADC，
∴BF＝AC
∵BF＝2EC，
∴AC＝2EC，
∴E为AC的中点，
∵BE⊥AC，
∴BE为线段AC的垂直平分线，
∴BA＝BC，
故④正确，
所以，正确结论的序号是：①③④，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型﹣旋转型全等是解题的关键．
19．（2022秋•泉港区期中）如图，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AB于E，并且2AE＝AB+AD，则下列结论正确的是①AB＝AD+2BE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ABC＝S△ACD+S△BCE，其中不正确的结论个数有（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】先判定Rt△ACF≌Rt△ACE，即可得出BE＝DF，再判定△CDF≌△CBE，即可得到CD＝CB；再根据四边形内角和以及三角形的面积计算公式，即可得到正确结论．
【解答】解：如图，过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF＝CE，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AF＝AE，
∴AB+AD＝（AE+BE）+（AF﹣DF）＝2AE+BE﹣DF，
又∵AB+AD＝2AE，
∴BE＝DF，
∴AB﹣AD＝（AE+BE）﹣（AF﹣DF）＝BE+DF＝2BE，
即AB＝AD+2BE，故①正确；
∵BE＝DF，∠CEB＝∠F＝90°，CF＝CE，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴∠B＝∠CDF，CD＝CB，故③正确；
又∵∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴四边形ABCD中，∠DAB+∠BCD＝360°﹣180°＝180°，故②正确；
∵AB＝AD+2BE，CE＝CF，
∴由等式性质可得，AB×CE＝AD×CF+2×BE×CE，
即S△ABC＝S△ACD+2S△BCE，故④错误；
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，四边形的内角和定理以及邻补角定义等知识点的综合运用，正确作辅助线，构造全等三角形是解此题的关键．
20．（2022秋•杭州期中）已知：如图，在△ADF和△BCE中，点B，F，E，D依次在一条直线上，若AF∥CE，∠B＝∠D，BF＝DE，求证：AF＝CE．
【分析】根据AF∥CE推∠AFD＝∠CEB，再根据BF＝DE，推BE＝DF，再加已知条件∠B＝∠D，根据（ASA）证明△ADF≌△CBE，得出AF＝CE．
【解答】证明：∵AF∥CE
∴∠AFD＝∠CEB，
∵BF＝DE，
∴EF+BF＝DE+EF，即BE＝DF，
∵∠B＝∠D，
∴△ADF≌△CBE（ASA），
∴AF＝CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质的应用，平行线的性质的应用是解题关键．
21．（2022秋•荣成市期中）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
【分析】（1）利用已知得出∠1＝∠EAC，进而借助SAS得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出∠ABD＝∠2＝30°，再利用三角形的外角得出得出即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，求出∠1＝∠EAC是证明三角形全等的关键．
22．（2022春•牡丹区期中）如图所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF．
（1）求证：AF＝DE．
（2）若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
【分析】（1）由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定和性质即可证明；
（2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB＝∠DEC，再根据等腰三角形的性质得出结论．
【解答】证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴AF＝DE；
（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF，
∵OP⊥EF，
∴OP平分∠EOF．
【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定和性质及等腰三角形的性质，解题关键是由BE＝CF通过等量代换得到BF＝CE．
六．角平分线的性质（共8小题）
23．（2022秋•龙湖区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．60B．30C．15D．10
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，利用角平分线的性质可得DE＝DC＝3，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∵AB＝10，
∴△ABD的面积＝AB•DE
＝×10×3
＝15，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．（2022秋•龙马潭区期中）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：2B．1：2：3C．2：3：4D．1：2：4
【分析】过点O作OD⊥AB，垂足为D，过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F，利用角平分线的性质可得OD＝OE＝OF，从而可得S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：AC，进行计算即可解答．
【解答】解：过点O作OD⊥AB，垂足为D，过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，
∴OD＝OE＝OF，
∵AB＝10，BC＝15，AC＝20，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO
＝AB：BC：AC
＝10：15：20
＝2：3：4，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．（2022秋•镇江期中）如图，射线OQ平分∠MON，点P是射线OQ上一点，且PA⊥ON于点A，若PA＝3，则点P到射线OM的距离等于 3 ．
【分析】过点P作PB⊥OM，垂足为B，然后利用角平分线的性质，即可解答．
【解答】解：过点P作PB⊥OM，垂足为B，
∵射线OQ平分∠MON，PA⊥ON，PB⊥OM，
∴PA＝PB＝3，
∴点P到射线OM的距离等于3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26．（2022春•砚山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BC于E，AD＝3，DC＝4，则DE＝ 3 ．
【分析】根据角平分线的性质得到DE＝AD＝3．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴DA⊥BA，
又∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，
∴DE＝AD，
∵AD＝3，
∴DE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
27．（2022秋•巴彦县期中）如图，在△ABC中，∠A＝73°，∠C＝47°，点D是AC上一点，连接BD．DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若DE＝DF，则∠DBF的度数是 30° ．
【分析】先利用三角形内角和定理可得∠ABC＝60°，再利用角平分线的性质定理的逆定理可得BD平分∠ABC，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠A＝73°，∠C＝47°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝DF，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠ABC＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．
28．（2022秋•琼海期中）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，P为线段AD上一个动点，PE⊥AD于点P，交BD的延长线于点E．
（1）若∠B＝36°，∠ACB＝84°，则∠BAD＝ 30° ，∠ADC＝ 66° ；
（2）若∠ACB＝90°，∠ABC＝∠E，求∠B的度数；
（3）若∠B＝α，∠ACB＝β，α＜β，求∠DEP．（用含α，β的式子表示）
【分析】（1）利用三角形内角和定理可得∠BAC＝60°，再利用角平分线的定义可得∠BAD＝30°，然后利用三角形的外角性质进行计算即可解答；
（2）利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B+∠BAC＝90°，再根据垂直定义可得∠EDP＝90°，从而可得∠ADC+∠E＝90°，进而利用等角的余角相等可得∠ADC＝∠BAC，然后利用角平分线的定义可得∠ADC＝∠BAC＝2∠DAC，再结合∠ADC+∠DAC＝90°，从而求出∠ADC＝60°，进而可得∠E＝30°，最后利用等量代换即可解答；
（3）利用（1）的解题思路可得∠ADC＝90°+α﹣β，再利用垂直定义可得∠EDP＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠B＝36°，∠ACB＝84°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝66°，
故答案为：30°，66°；
（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵PE⊥AD，
∴∠EDP＝90°，
∴∠ADC+∠E＝90°，
∵∠ABC＝∠E，
∴∠ADC＝∠BAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAC，
∴∠ADC＝2∠DAC，
∵∠ADC+∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠E＝90°﹣∠ADC＝30°，
∴∠B＝∠E＝30°，
∴∠B的度数为30°；
（3）∵∠B＝α，∠ACB＝β，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣α﹣β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝90°﹣α﹣β，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝α+90°﹣α﹣β＝90°+α﹣β，
∵PE⊥AD，
∴∠EDP＝90°，
∴∠DEP＝90°﹣∠ADC＝90°﹣（90°+α﹣β）＝β﹣α，
∴∠DEP的度数为β﹣α．
【点评】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
29．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝2，若△ABD的面积为5，求AB的长．
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，利用角平分线的性质可得DE＝DC＝2，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝2，
∵△ABD的面积为5，
∴AB•DE＝5，
∴AB＝5，
∴AB的长为5．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
30．（2022秋•谷城县期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是10cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，求DE的长．
【分析】利用角平分线的性质可得DE＝DF，然后根据△ABC的面积＝△ABD的面积+△ADC的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵△ABC的面积是10cm2，
∴△ABD的面积+△ADC的面积＝10，AB＝6cm，AC＝4cm，
∴AB•DE+AC•DF＝10，
∴3DE+2DF＝10，
∴5DE＝10，
∴DE＝2cm，
∴DE的长为2cm．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
1．（2022秋•天门期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝ 45° ．
【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．
【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，
∴∠1＝∠DBE，
又∵∠DBE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°．
∵∠2＝45°，
∴∠1﹣∠2+∠3＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45°．
【点评】此题综合考查角平分线以及全等图形，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．
二．全等三角形的性质（共5小题）
2．（2022秋•孝昌县期中）一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝ 11 ．
【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．
【解答】解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2
∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y＝5
∴x+y＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了全等三角形的性质及对应边的找法；根据两个三角形中都有2找对对应边是解决本题的关键．
3．（2022秋•南开区校级期中）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为 1或4 s．
【分析】由条件分两种情况，当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，由条件可得到关于t的方程，当△BPE≌△CPQ，则有BP＝PC，同样可得出t的方程，可求出t的值．
【解答】解：
∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm，
∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm，
当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1，
当△BPE≌△CPQ时，则有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4，
故答案为：1或4．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由条件分两种情况得到关于t的方程是解题的关键．
4．（2022秋•浠水县期中）一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，3x﹣2，2x﹣1．若这两个三角形全等，则x的值是 3 ．
【分析】根据全等三角形的性质可得方程组，或，解方程组可得答案．
【解答】解：由题意得：，或，
解得：x＝且x＝4（舍去）或x＝3，
∴x＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等．
5．（2022秋•天津期中）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在另一点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标 （1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1） ．
【分析】根据题意画出符合条件的所有情况，根据点A、B、C的坐标和全等三角形性质求出即可．
【解答】解：如图所示：有3个点，当E在E、F、N处时，△ACE和△ACB全等，
点E的坐标是：（1，5），（1，﹣1），（5，﹣1），
故答案为：（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）．
【点评】本题考查了全等三角形性质和坐标与图形性质的应用，关键是能根据题意求出符合条件的所有情况，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
6．（2022秋•黔东南州期中）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠ADE的度数为 70° ．
【分析】根据全等三角形的性质，即可得到∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠ADE＝∠B，再根据∠EAC＝40°，即可得到∠BAD的度数，最后根据三角形内角和定理以及全等三角形的对应角相等，即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠ADE＝∠B，
∴∠EAC＝∠DAB＝40°，
∴△ABD中，∠B＝（180°﹣∠BAD）＝70°，
∴∠ADE＝∠B＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解题时注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
三．全等三角形的判定（共7小题）
7．（2022秋•江城区期中）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，AB＝A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（ ）
A．AC＝A′C′B．BC＝B′C′C．∠B＝∠B′D．∠C＝∠C′
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据图形和已知看看是否符合即可．
【解答】解：
A、∠A＝∠A′，AB＝A′B′AC＝A′C′，根据SAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故A选项错误；
B、具备∠A＝∠A′，AB＝A′B′，BC＝B′C′，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故B选项正确；
C、根据ASA能推出△ABC≌△A′B′C′，故C选项错误；
D、根据AAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了对全等三角形判定的应用，注意：判定两三角形全等的方法有ASA，SAS，AAS，SSS，而SSA，AAA都不能判断两三角形全等．
8．（2022秋•东西湖区期中）如图所示，在5×4的长方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，以点C为顶点的三角形最多能再画出（ ）个不同的格点三角形与△ABC全等．
A．8B．9C．10D．1 1
【分析】利用全等三角形SSS去找点C为顶点的三角形与△ABC全等．
【解答】解：如图，共有9种情况：
故选：B．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．利用网格结构是解题的关键．
9．（2022秋•宿豫区期中）如图，∠BAC＝∠DAC，若要使△ABC≌△ADC，还需要添加一个条件，则这个条件不能是（ ）
A．BC＝DCB．AB＝ADC．∠B＝∠DD．∠ACB＝∠ACD
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．
【解答】解：A．根据BC＝DC，AC＝AC，∠BAC＝∠DAC，不能推出△BAC和△DAC全等，故A符合题意；
B．∵在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SAS），故B不符合题意；
C．∵在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（AAS），故C不符合题意；
D．∵在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（ASA），故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
10．（2022秋•邗江区期中）如图，点B在AE上，∠C＝∠D，要能证△ABC≌△ABD，只需再补充一个条件： ∠CAB＝∠DAB ．
【分析】根据全等三角形的判定定理加条件．
【解答】解：在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD（AAS）
故答案为：∠CAB＝∠DAB．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、是解题关键．
11．（2022秋•沙依巴克区校级期中）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形．则图中与△ABC有唯一公共顶点C且与△ABC全等的格点三角形共有 19 个（不包括△ABC）．
【分析】根据以点C为唯一公共点，其它两个点在格点上，作出与△ABC全等的三角形即可．
【解答】解：如图：
与△ABC有唯一公共顶点C且与△ABC全等的格点三角形有：
△CEB1，△CA1B1，△CA1B2，△CE1B2，△CE1B3，△CA2B3，△CA2B4，△CE2B4，△CE2B5，△CA3B5，△CA3B6，△CB6E3，△CE3B7，△CA1E3，△CA1E2，△CA2E，△CA2E3，△CA3E1，△CA3E，
共有19个，
故答案为：19．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
12．（2022秋•长沙期中）如图，已知AB⊥BD，ED∥AB，AB＝ED，要使△ABC≌△EDC，可补充的一个条件是： ∠A＝∠E或∠ACB＝∠ECD或BC＝DC或AC＝AE ．（答案不唯一，写一个即可）
【分析】依据AB⊥BD，ED∥AB，可得∠B＝∠D＝90°，再根据AB＝ED，即可得到可补充的一个条件，使得△ABC≌△EDC．
【解答】解：∵AB⊥BD，ED∥AB，
∴∠B＝∠D＝90°，
又∵AB＝ED，
∴当∠A＝∠E时，△ABC≌△EDC（ASA）；
当∠ACB＝∠ECD时，△ABC≌△EDC（AAS）；
当BC＝DC时，△ABC≌△EDC（SAS）；
当AC＝EC时，Rt△ABC≌Rt△EDC（HL）；
故答案为：∠A＝∠E或∠ACB＝∠ECD或BC＝DC或AC＝AE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
13．（2022秋•乐陵市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D要用“HL”定理判定△ABD≌△ACD，还需加条件 AB＝AC ．
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB＝AC．
【解答】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，关键是正确理解HL定理．
四．直角三角形全等的判定（共4小题）
14．（2022秋•游仙区期中）下列说法不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．有两边相等的两个直角三角形全等
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：SAS，AAS，HL，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据SAS来判断，故A不符合题意；
B、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，可根据AAS来判断，故B不符合题意；
C、斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据HL来判断，故C不符合题意；
D、如果第一个直角三角形的两条直角边分别为3，4，第二个直角三角形一条直角边为3，斜边为4，那么这两个直角三角形不全等，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
15．（2022春•皇姑区校级期中）如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD； ③∠BAC＝∠BAD； ④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；
③当∠BAC＝∠BAD时，由∠C＝∠D＝90°，∠BAC＝∠BAD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；
④当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
故选：D．
【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时直角三角形又是特殊的三角形，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．
16．（2022春•七星区校级期中）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（ ）
A．HLB．ASAC．AASD．SAS
【分析】已知∠A＝∠D＝90°，题中隐含BC＝BC，根据HL即可推出△ABC≌△DCB．
【解答】解：HL，
理由是：∵∠A＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意：判定两直角三角形的全等方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
17．（2022秋•诸暨市期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是 AB＝DC（答案不唯一） （不添加字母和辅助线）．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法，即可解答．
【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：AB＝DC，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：AC＝BD，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：∠ABC＝∠DCB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），
∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：∠ACB＝∠DBC，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），
故答案为：AB＝DC（答案不唯一）．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
五．全等三角形的判定与性质（共5小题）
18．（2022秋•开平区期中）如图：在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD＝45°；②AE＝EC；③S△ABF：S△AFC＝AD：FD；④若BF＝2EC，则BC＝AB．正确结论的序号是（ ）
A．①③④B．①②④C．②③④D．①②
【分析】根据垂直定义可得∠ADB＝∠ADC＝90°，再利用∠ABC＝45°，得到AD＝BD，从而可证明△BDF≌△ADC，进而得到FD＝CD，即可判断①；根据AB≠BC，BE⊥AC，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得＝，即可判断③，若BF＝2EC，根据△BDF≌△ADC可以得到BF＝AC，从而可得E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ACB＝90°，
∵∠EBC+∠BFD＝90°，
∴∠BFD＝∠ACB，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴DF＝CD，
∴∠FCD＝∠DFC＝45°，
故①正确；
∵BE⊥AC，
∴AE≠EC，
故②不正确；
∵＝＝，
∴S△ABF：S△AFC＝AD：FD，
故③正确；
∵△BDF≌△ADC，
∴BF＝AC
∵BF＝2EC，
∴AC＝2EC，
∴E为AC的中点，
∵BE⊥AC，
∴BE为线段AC的垂直平分线，
∴BA＝BC，
故④正确，
所以，正确结论的序号是：①③④，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型﹣旋转型全等是解题的关键．
19．（2022秋•泉港区期中）如图，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AB于E，并且2AE＝AB+AD，则下列结论正确的是①AB＝AD+2BE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ABC＝S△ACD+S△BCE，其中不正确的结论个数有（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】先判定Rt△ACF≌Rt△ACE，即可得出BE＝DF，再判定△CDF≌△CBE，即可得到CD＝CB；再根据四边形内角和以及三角形的面积计算公式，即可得到正确结论．
【解答】解：如图，过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF＝CE，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AF＝AE，
∴AB+AD＝（AE+BE）+（AF﹣DF）＝2AE+BE﹣DF，
又∵AB+AD＝2AE，
∴BE＝DF，
∴AB﹣AD＝（AE+BE）﹣（AF﹣DF）＝BE+DF＝2BE，
即AB＝AD+2BE，故①正确；
∵BE＝DF，∠CEB＝∠F＝90°，CF＝CE，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴∠B＝∠CDF，CD＝CB，故③正确；
又∵∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴四边形ABCD中，∠DAB+∠BCD＝360°﹣180°＝180°，故②正确；
∵AB＝AD+2BE，CE＝CF，
∴由等式性质可得，AB×CE＝AD×CF+2×BE×CE，
即S△ABC＝S△ACD+2S△BCE，故④错误；
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，四边形的内角和定理以及邻补角定义等知识点的综合运用，正确作辅助线，构造全等三角形是解此题的关键．
20．（2022秋•杭州期中）已知：如图，在△ADF和△BCE中，点B，F，E，D依次在一条直线上，若AF∥CE，∠B＝∠D，BF＝DE，求证：AF＝CE．
【分析】根据AF∥CE推∠AFD＝∠CEB，再根据BF＝DE，推BE＝DF，再加已知条件∠B＝∠D，根据（ASA）证明△ADF≌△CBE，得出AF＝CE．
【解答】证明：∵AF∥CE
∴∠AFD＝∠CEB，
∵BF＝DE，
∴EF+BF＝DE+EF，即BE＝DF，
∵∠B＝∠D，
∴△ADF≌△CBE（ASA），
∴AF＝CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质的应用，平行线的性质的应用是解题关键．
21．（2022秋•荣成市期中）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
【分析】（1）利用已知得出∠1＝∠EAC，进而借助SAS得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出∠ABD＝∠2＝30°，再利用三角形的外角得出得出即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，求出∠1＝∠EAC是证明三角形全等的关键．
22．（2022春•牡丹区期中）如图所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF．
（1）求证：AF＝DE．
（2）若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
【分析】（1）由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定和性质即可证明；
（2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB＝∠DEC，再根据等腰三角形的性质得出结论．
【解答】证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴AF＝DE；
（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF，
∵OP⊥EF，
∴OP平分∠EOF．
【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定和性质及等腰三角形的性质，解题关键是由BE＝CF通过等量代换得到BF＝CE．
六．角平分线的性质（共8小题）
23．（2022秋•龙湖区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．60B．30C．15D．10
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，利用角平分线的性质可得DE＝DC＝3，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∵AB＝10，
∴△ABD的面积＝AB•DE
＝×10×3
＝15，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．（2022秋•龙马潭区期中）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：2B．1：2：3C．2：3：4D．1：2：4
【分析】过点O作OD⊥AB，垂足为D，过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F，利用角平分线的性质可得OD＝OE＝OF，从而可得S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：AC，进行计算即可解答．
【解答】解：过点O作OD⊥AB，垂足为D，过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，
∴OD＝OE＝OF，
∵AB＝10，BC＝15，AC＝20，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO
＝AB：BC：AC
＝10：15：20
＝2：3：4，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．（2022秋•镇江期中）如图，射线OQ平分∠MON，点P是射线OQ上一点，且PA⊥ON于点A，若PA＝3，则点P到射线OM的距离等于 3 ．
【分析】过点P作PB⊥OM，垂足为B，然后利用角平分线的性质，即可解答．
【解答】解：过点P作PB⊥OM，垂足为B，
∵射线OQ平分∠MON，PA⊥ON，PB⊥OM，
∴PA＝PB＝3，
∴点P到射线OM的距离等于3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26．（2022春•砚山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BC于E，AD＝3，DC＝4，则DE＝ 3 ．
【分析】根据角平分线的性质得到DE＝AD＝3．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴DA⊥BA，
又∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，
∴DE＝AD，
∵AD＝3，
∴DE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
27．（2022秋•巴彦县期中）如图，在△ABC中，∠A＝73°，∠C＝47°，点D是AC上一点，连接BD．DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若DE＝DF，则∠DBF的度数是 30° ．
【分析】先利用三角形内角和定理可得∠ABC＝60°，再利用角平分线的性质定理的逆定理可得BD平分∠ABC，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠A＝73°，∠C＝47°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝DF，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠ABC＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．
28．（2022秋•琼海期中）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，P为线段AD上一个动点，PE⊥AD于点P，交BD的延长线于点E．
（1）若∠B＝36°，∠ACB＝84°，则∠BAD＝ 30° ，∠ADC＝ 66° ；
（2）若∠ACB＝90°，∠ABC＝∠E，求∠B的度数；
（3）若∠B＝α，∠ACB＝β，α＜β，求∠DEP．（用含α，β的式子表示）
【分析】（1）利用三角形内角和定理可得∠BAC＝60°，再利用角平分线的定义可得∠BAD＝30°，然后利用三角形的外角性质进行计算即可解答；
（2）利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B+∠BAC＝90°，再根据垂直定义可得∠EDP＝90°，从而可得∠ADC+∠E＝90°，进而利用等角的余角相等可得∠ADC＝∠BAC，然后利用角平分线的定义可得∠ADC＝∠BAC＝2∠DAC，再结合∠ADC+∠DAC＝90°，从而求出∠ADC＝60°，进而可得∠E＝30°，最后利用等量代换即可解答；
（3）利用（1）的解题思路可得∠ADC＝90°+α﹣β，再利用垂直定义可得∠EDP＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠B＝36°，∠ACB＝84°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝66°，
故答案为：30°，66°；
（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵PE⊥AD，
∴∠EDP＝90°，
∴∠ADC+∠E＝90°，
∵∠ABC＝∠E，
∴∠ADC＝∠BAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAC，
∴∠ADC＝2∠DAC，
∵∠ADC+∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠E＝90°﹣∠ADC＝30°，
∴∠B＝∠E＝30°，
∴∠B的度数为30°；
（3）∵∠B＝α，∠ACB＝β，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣α﹣β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝90°﹣α﹣β，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝α+90°﹣α﹣β＝90°+α﹣β，
∵PE⊥AD，
∴∠EDP＝90°，
∴∠DEP＝90°﹣∠ADC＝90°﹣（90°+α﹣β）＝β﹣α，
∴∠DEP的度数为β﹣α．
【点评】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
29．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝2，若△ABD的面积为5，求AB的长．
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，利用角平分线的性质可得DE＝DC＝2，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝2，
∵△ABD的面积为5，
∴AB•DE＝5，
∴AB＝5，
∴AB的长为5．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
30．（2022秋•谷城县期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是10cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，求DE的长．
【分析】利用角平分线的性质可得DE＝DF，然后根据△ABC的面积＝△ABD的面积+△ADC的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵△ABC的面积是10cm2，
∴△ABD的面积+△ADC的面积＝10，AB＝6cm，AC＝4cm，
∴AB•DE+AC•DF＝10，
∴3DE+2DF＝10，
∴5DE＝10，
∴DE＝2cm，
∴DE的长为2cm．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
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