2023-2024学年湖南省衡阳市高二上学期11月期中数学模拟试题（A卷）含解析

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市高二上学期11月期中数学模拟试题（A卷）含解析，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分）
1．与向量平行的一个向量的坐标是( )
A．B．(-1,-3,2)
C．D．(,-3,-2)
2．若直线与直线垂直，垂足为，则（ ）
A．B．4C．D．
3．过点A（11，2）作圆的弦，其中弦长为整数的共有
A．16条B．17条C．32条D．34条
4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.如图，在重檐四角攒尖中，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的倍，则侧面与底面所成角的大小为（ ）

A．B．C．D．
5．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，E为的中点，则点到平面BDE的距离为（ ）
A．B．2C．D．
6．已知椭圆，焦距为，以点O为圆心，b为半径作圆O，若过点作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，一般指冰雹猜想，它是指一个正整数，如果是奇数就乘3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次数，最终回到1．对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，则使的所有可能取值的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．已知为等差数列的前n项和，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分；漏选记2分，错选记0分）
9．设r>0，圆(x1)2(y3)2r2与圆x2y216的位置关系不可能是（ ）
A．内切B．相交
C．外离D．外切
10．对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”，在数列中，若，下面哪些数不能作为数列的“谷值点”？（ ）
A．3B．2C．7D．5
11．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算.规定：
①为同时与，垂直的向量；
②，，三个向量构成右手系（如图1）；
③.
如图2，在长方体中中，，，则（ ）

A．
B．
C．
D．
12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．与之间的距离为4
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知空间向量,,,,，则 .
14．已知圆经过点且圆心在轴上，圆内切于圆，圆与轴分别交于两点（点在点左侧），则直线截圆所得的弦长为 ．
15．已知椭圆的标准方程为，上顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，若已知点、，点为椭圆上任意一点，则的最小值为 .
16．如图，圆锥的底面直径，高，D为底面圆周上的一点，，则直线AD与BC所成角的大小为 .
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17．如图，在平行四边形中，点A（3，0），点C（1，3）.
（1）求AB所在直线的方程；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程.
18．已知等差数列，
(1)求的通项公式
(2)求数列的前n项和为
19．已知圆：，直线：．
(1)当为何值时，直线与圆相交；
(2)当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程
20．已知抛物线与直线相交于A、B两点．
(1)求证：；
(2)当的面积等于时，求k的值．
21．某商品的包装纸如图1所示，四边形ABCD是边长为3的菱形，且∠ABC＝60°，，．将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N重合，记为点P，恰好形成如图2所示的四棱锥形的包装盒．
(1)证明：底面ABCD；
(2)设T为BC边上的一点，且二面角的正弦值为，求PB与平面PAT所成角的正弦值．
22．已知椭圆经过点，离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于，两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点在椭圆上，求证：平行四边形的面积为定值.
1．C
【分析】根据向量共线定理判定即可．
【详解】对于A，由于，所以与向量不共线，故A不正确．
对于B，由题意得向量与向量不共线，故B不正确．
对于C，由于，所以与向量共线，故C正确．
对于D，由题意得向量(,3,2)与向量不共线，故D不正确．
故选C．
判断两个向量是否共线的方法是判断两个向量之间是否满足，其中为常数，本题考查计算能力和变形能力，属于基础题．
2．D
【分析】根据垂直关系可求，再根据点在直线上可求，，从而可得正确的选项.
【详解】因为与直线垂直，故即，
因为垂足为，故，故，
故，
故选：D.
3．C
【详解】试题分析：将化为，即该圆的圆心坐标为，半径为，且，且经过点的弦的最大长度为（当弦过圆心时），最小弦长为（当弦与直线垂直时），所以其中弦长为整数的可能是10（一条），（各两条，共30条），26（一条），一共32条；故选C．
考点：1．圆的对称性；2．直线与圆的位置关系．
4．B
【分析】作出正四棱锥侧面与底面所成角的平面角，利用侧面积和底面积之间的关系即可求得平面角的余弦值，即得答案.
【详解】如图，设正四棱锥为，连接AC，BD交于点O，连接PO，则底面，
作于E，连接，

底面，则,
而平面，故平面，
平面，故，
故即为平面与底面所成角，
也即正四棱锥的侧面与底面所成角；
因为正四棱锥的侧面积是底面积的倍，故,
即，即,
在中，，则，
即正四棱锥的侧面与底面所成角的大小为，
故选：B
5．D
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，,,,
所以，，，
设平面BDE的法向量为，
则，令，则，即，
则点到平面BDE的距离.
故选：D
6．B
【分析】在直角中，根据，列出方程得到，进而转化为，得出，即可求解.
【详解】由题意，可得，，，
故，
在直角中，由，可得，
故，整理得，
所以，即，
所以，可得，解得.
即椭圆的离心率为.
故选：B.
7．D
【分析】推导出，，由，得，从而，进而或．由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的的值的个数．
【详解】解：由题意知，，
由，得，，或．
①当时，，，或，或．
②若，则，或，
当时，，此时，或，
当时，，此时，或，
综上，满足条件的的值共有6个．
故选：D
8．A
【分析】根据条件求出，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】设的公差d，由有，
解得，所以，
则，当且仅当时等号成立．
故选：A
9．CD
【分析】根据圆心距（两点之间距离公式），判断该距离与两圆半径的大小关系即可求解.
【详解】两圆的圆心距为，
两圆的半径之和为r＋4，
因为
所以< r4，
所以两圆不可能外切或外离，
故选：CD．
10．AD
计算到，，，，，，，，根据“谷值点”的定义依次判断每个选项得到答案.
【详解】，故，，，，，，，.
故，不是“谷值点”；，，故是“谷值点”；
，，故是“谷值点”；，不是“谷值点”.
故选.
本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11．ACD
【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项；根据新定义计算等号左右两边可判断；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断.
【详解】对于，同时与，垂直，，
且，，构成右手系，故成立，故正确.
对于，，，则，故错误.
对于，，与共线，且方向相同，
，与共线，且方向相同，
，与共线，且方向相同，
所以，与共线，且方向相同，
所以，故正确.
对于，，，
所以，故正确.
故选.
12．ABC
【分析】由抛物线的光学性质可知，直线经过点，于是根据二级结论可判断选项A；
点与均在直线上，于是可求出点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率公式即可判断选项B；
根据抛物线的定义可知，，可判断选项C；
由于与平行，所以与之间的距离，可判断选项D．
【详解】如图所示，
由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，，即选项A正确；
由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，
，即选项B正确；
由抛物线的定义可知，，即选项C正确；
与平行，
与之间的距离，即选项D错误；
故选：ABC
本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系等，考查学生灵活运用知识的能力和作图分析问题的能力，属于中档题．
13．##
【分析】根据计算可得.
【详解】,
.
故答案为.
14．
【分析】根据两圆内切，可得半径与圆心距之间的关系，进而根据即可得圆的方程，由圆与直线相交时勾股定理即可求解弦长.
【详解】设圆的圆心为．
因为圆内切于圆，所以圆的半径．
又，所以，化简得．
当时，，解得；
当时，，解得（舍去）．
所以圆的半径．所以圆的方程为．
当时，或，所以圆与轴交于，两点．所以．所以直线AC的方程为．
圆心到直线AC的距离为，所以直线AC截圆所得的弦长为．
故
15．
【分析】根据的面积的最大值为可求得，进而可得知点、为椭圆的左、右焦点，可得出，由此利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】由已知条件可得、，直线的斜率为，
直线的方程为，
当的面积最大时，过点的直线与椭圆相切且与直线平行，
故设该直线的方程为，
联立，整理，得.
由，得，解得，
分析可知当的面积最大时，，此时切线方程为，
则点到直线的距离.
又，所以，所以，
所以、分别为椭圆的左､右焦点，
所以，
则，
当且仅当时取等号.
因此，的最小值为.
故答案为.
本题考查利用基本不等式求值，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算以及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于难题.
16．
【分析】取的中点E，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解即得.
【详解】取的中点E，连接OE，以O为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
依题意，，则，
设直线AD与BC所成的角为，
则，解得，
所以直线AD与BC所成的角为.
故
17．（1）y=3x-9；（2）x+3y-10=0.
（1）由，利用点斜式即可求解.
（2）根据直线垂直，斜率之间的位置关系可得，利用点斜式即可求解.
【详解】（1）平行四边形，点A（3，0），点C（1，3），，
所在直线的斜率为，
所在直线方程，即.
（2）在平行四边形中，，
，
，
所在直线的斜率为，
所在直线方程为，
即x+3y-10=0.
本题考查了直线平行、直线垂直斜率之间的关系、点斜式求直线方程，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
18．(1)；
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通向公式列方程求解；
（2）利用等差数列的求和公式计算.
【详解】（1）由已知得，
解得
的通项公式为，
即；
（2）由（1）得数列的前n项和
19．(1)
(2)或
【分析】（1）先求出圆心及半径，再根据直线与圆相交可得圆心到直线的距离小于半径，即可得解；
（2）根据圆的弦长及弦长公式求出圆心到直线的距离，进而可得出答案.
【详解】（1）将圆化为标准方程得，
则圆心，半径，
当直线与圆相交时，
圆心到直线的距离，解得，
所以当时，直线与圆相交；
（2）设圆心到直线的距离为，
则，即，解得，
所以，解得或，
所以直线的方程为或.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，将证明转化为证即可；
（2）根据题意，由利用面积建立关于k的方程，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由方程与联立，消去后，整理得．
由题意易知，且，
设，由韦达定理，，
在抛物线上，，
则，.
∴．
（2）
设直线与轴交于N，又显然，令，则，即，
又，
，且，
则，解得.
21．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）由勾股定理逆定理得AB⊥AE， AD⊥AF，由线面垂直的判定定理得证线面垂直；
（2）由二面角平面角的定义得∠BAT为二面角的平面角，从而利用三角函数知识求得的长，然后建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．
【详解】（1）由题意得，所以AB⊥AE，同理可得AD⊥AF．
在翻折的过程中，垂直关系保持不变，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又，底面ABCD，所以PA⊥底面ABCD．
（2）因为底面ABCD，底面ABCD，所以．
又，所以∠BAT为二面角的平面角．
因为，所以．
在中，∠ABT＝60°，所以，
由正弦定理，得BT＝1．
如图，以点A为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面PAT的一个法向量为，则有，即，
取，所以，所以，
设PB与平面PAT所成角为，则，
所以PB与平面PAT所成角的正弦值．
22．（1）（2）证明见解析；
（1）由题意可得关于的方程组，求得的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值．
【详解】解：（1）因为椭圆过点，代入椭圆方程，可得①，
又因为离心率为，所以，从而②，
联立①②，解得，，
所以椭圆为；
（2）把代入椭圆方程，
得，
所以，
设，，则，
所以，
因为四边形是平行四边形，
所以，
所以点坐标为.
又因为点在椭圆上，
所以，即.
因为
.
又点到直线的距离，
所以平行四边形的面积
，
即平行四边形的面积为定值.
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．