2023-2024学年江西省九江市浔阳区高一上学期期中数学模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省九江市浔阳区高一上学期期中数学模拟试题（含解析），共18页。试卷主要包含了下列四组函数中,与相等的是，函数的部分图象大致为，下列说法正确的是，下列命题中，真命题的是等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等项内容填写在答题卡上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，，则是（ ）
A．B．C．D．
2．命题“对任意的，都有”的否定是（ ）
A．不存在，使得B．存在，使得
C．存在，使得D．存在，使得
3．下列四组函数中,与相等的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，若对、有，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
6．已知是成立的必要不充分条件，则实数取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．定义在上的奇函数，当时，，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列命题中，真命题的是（ ）
A．，都有
B．，使得
C．任意非零实数、，都有
D．若正实数、满足，则
11．已知是定义在上的奇函数，当时，，则有（ ）
A．当时，
B．有个解，且
C．是奇函数
D．的解集是
12．设为定义在整数集上的函数，，对任意的整数均有．则下列正确的有（ ）
A．B．是奇函数
C．关于对称D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题第1问2分，第2问3分．
13．若幂函数为偶函数，则 .
14．已知函数是其定义域上的奇函数，则 ．
15．已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是 ．
16．设函数，则对，使恒成立的实数的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．化简或计算下列各式．
(1)；
(2)．
18．已知全集，集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
19．已知函数．
(1)求的定义域，并判断函数的奇偶性；
(2)用定义证明函数在上是增函数．
20．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h(x)万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大.
21．已知关于的不等式的解集为．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
22．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么，
(1)求函数的“稳定点”；
(2)求证：；
(3)若，且，求实数的取值范围．
1．B
【分析】求出集合，利用交集的定义可得出集合.
【详解】因为，，则.
故选：B.
2．B
【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题“对任意的，都有”为全称量词命题，
该命题的否定为“存在，使得”.
故选：B.
3．D
【分析】判断每个函数的定义域和对应法则，都相同就可判断为相同函数.
【详解】A. ，，解析式不一样；
B. ，定义域为，，定义域为，定义域不同；
C. ，定义域为，，定义域为，定义域不同；
D. ，，定义域和对应法则均相同.
故选D.
本题考查相同函数的概念，必须要定义域和对应法则都相同才能是相同函数，是基础题.
4．B
【分析】先由函数奇偶性判断图象对称性，再结合特值排除法即可.
【详解】函数定义域为.
因为，所以为偶函数，故选项C，D错误；
令，得，故选项B正确．
故选：B
5．D
【分析】分析可知，函数在上为增函数，根据二次函数的单调性可得出实数的取值范围.
【详解】对任意的、有，
不妨设，则，即，
所以，函数在上为增函数，
又因为函数的对称轴为直线，则.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
6．C
【分析】根据分式不等式解得解集，利用必要不充分条件，建立不等式组，可得答案.
【详解】由不等式，，，等价于，解得，
所以，，由题意可得是的一个真子集，
可得，解得，
当时，；当时，，
综上可得.
故选：C.
7．A
【分析】利用奇函数的定义求出函数在时的解析式，然后分、两种情况解不等式，综合可得出不等式的解集.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，
当时，，
当时，，则
，
下面解不等式.
当时，即当时，则，解得，此时，；
当时，即当时，则，
可得，解得或，此时，或.
综上所述，不等式的解集为.
故选：A.
8．A
【分析】根据奇函数的性质，求得函数解析式，并作出图像，解得函数的值域，利用换元法并结合二次函数的性质，可得另一函数的值域，结合题意，明确两个值域的包含关系，列出不等式组，可得答案.
【详解】由奇函数的定义域为，则，所以，，
当时，，则，
由函数为奇函数，则，则，，
可得，根据指数函数的图象以及函数图象变换，可得：
由图象可得的值域为，
由，令，由，则，
则，
由题意可得，则，解得.
故选：A.
9．AC
【分析】利用指数函数的单调性可判断AB选项；利用中间值法可判断C选项；利用幂函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为函数为上的增函数，则，A对；
对于B选项，因为函数为上的减函数，则，B错；
对于C选项，因为函数为上的增函数，函数为上的减函数，
所以，，C对；
对于D选项，因为函数为上的增函数，且，所以，，D错.
故选：AC.
10．BD
【分析】取可判断A选项；解方程，可判断B选项；取，，可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，A错；
对于B选项，由可得，解得，B对；
对于C选项，不妨取，，则，C错；
对于D选项，若正实数、满足，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，D对.
故选：BD.
11．BD
【分析】利用奇函数的定义求出函数在时的解解析式，可判断A选项；数形结合以及奇函数的性质可判断B选项；利用函数奇偶性的定义可判断C选项；利用函数的单调性以及图象解不等式，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，则，A错；
对于B选项，因为函数是定义在上的奇函数，
当时，，则，
因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，
作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，函数与的图象有五个交点，不妨设，
因为函数与都为奇函数，则，
点、关于原点对称，点、关于原点对称，
所以，，，故，B对；
对于C选项，令，该函数的定义域为，
，故函数为偶函数，C错；
对于D选项，令，则，且，则，
由图可知，函数在上为增函数，由，可得，即，
结合图象可知，不等式的解集为，D对.
故选：BD.
12．ABD
【分析】先应用赋值法求出特殊值，然后判断奇偶性和对称性，再由对称性得到函数的周期，最后根据周期求出即可.
【详解】对于A：令，则，
所以，A正确；
对于B：令，则，
又因为，所以；
令取为，则，
即，所以为奇函数，B正确；
对于C：令，则，
所以关于直线对称；
因为关于直线对称且为奇函数，所以，
所以，所以不恒成立，
否则即，与矛盾,
故不关于直线对称，C错误；
对于D：由C知，所以的周期为4，
又 ，所以，
所以，
所以，D正确，
故选：ABD
13．
【分析】利用幂函数和偶函数的定义即可求解.
【详解】∵函数为幂函数，
∴，解得或，
又∵为偶函数，
∴，
故答案为.
14．1
【分析】根据奇函数的定义结合指数幂运算求解.
【详解】因为函数是其定义域上的奇函数，则，
即，整理得，
又因为不恒为0，则，即，
此时是定义域为的奇函数，可知符合题意.
故1.
15．
【分析】根据指数函数、分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为是定义在上的增函数，
函数在上为增函数，则，
函数在上为增函数，则，解得，
且有，解得，
综上所述，，即实数的取值范围是.
故答案为.
16．
【分析】依题意可得对恒成立，再分、两种情况讨论，参变分离，结合二次函数的性质得到关于的不等式，解得即可.
【详解】因为，即，又因为，
所以有对恒成立，
显然，
当时，对恒成立，则，解得
当时，对恒成立，则，解得，
综上可得.
故
17．(1)
(2)
【分析】（1）（2）利用根式与分数指数互化、指数幂的运算性质可化简所求代数式.
【详解】（1）解：原式.
（2）解：原式.
18．(1)或
(2)
【分析】（1）先求出集合、，进而求出，再根据集合间的并集运算即可；
（2）由可得，分和两种情况讨论即可求解.
【详解】（1）由，所以，即，
所以，
当时，，全集，
所以或，
所以或.
（2）因为，所以，
当时，满足，所以，解得；
当时，则，解得.
综上所述，的取值范围是.
19．(1)函数的定义域为，为奇函数
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义可得出结论；
（2）任取、，且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立.
【详解】（1）解：对于函数，则，所以的定义域为，
函数为奇函数，证明如下：
由，
又的定义域为，所以函数为奇函数.
（2）证明：任取、，且，
则，
又，，则，所以，
故函数在上是增函数．
20．(1)
(2)70万盒，利润最大为1200万元
【分析】（1）根据产量的范围，分段列出函数关系式，即得答案；
（2）求出每段函数的最大值，比较即可得答案.
【详解】（1）当产量小于或等于50万盒时, ,
当产量大于50万盒时, ,
故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为： ；
（2）当 时， （万元）；
当 时，，
当时，取到最大值1200万元.
21．(1)
(2)．
【分析】（1）根据一元二次不等式的恒成立，结合二次函数的性质，可得答案；
（2）利用分离参数整理不等式，利用基本不等式，可得答案.
【详解】（1）当时，，显然，故舍去，
则当时有，解得，
即实数的取值范围是．
（2）
整理得，因为，
则由分离参数法，得对任意恒成立，
令，则，且，
当且仅当时，等号成立，即，
因此，即实数的取值范围是．
22．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）解方程，可得出函数的“稳定点”；
（2）分、两种情况讨论，结合“不动点”、“稳定点”的定义结合集合的包含关系可证得结论成立；
（3）先求出即存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一直，对结果进行分类讨论.
【详解】（1）解：由有，得：，
所以函数的“稳定点”为.
（2）证明：若，则，显然成立；
若，设，有，则有，所以，故.
综上所述，.
（3）解：因为，所以方程有实根，即有实根，
所以或，解得.
又由得：，即，
由（1）知，故方程左边含有因式
所以，
又，所以方程要么无实根，要么根是方程的解，
当方程无实根时，
或，即，
当方程有实根时，
则方程的根是方程的解，
则有，代入方程得，故，
将代入方程，得，所以．
综上：的取值范围是．
关键点点睛：作为新型定义题，题中需要求什么，我们就从条件中去得到相应的关系，比如本题中，求不动点，就去求；求稳定点，就去求，完全根据定义去处理问题.需要求出不动点及稳定点相同，则需要它们对应方程的解完全一样.