2023-2024学年辽宁省大连市高二上学期第二次月考数学模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市高二上学期第二次月考数学模拟试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单项选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线和直线互相垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．或 D．或
2．直线（）与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
3．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A．1.35mB．2.05mC．2.7mD．5.4m
4．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．在直角坐标系中，抛物线的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为的中点，直线与x轴交于点R，若，则=（ ）
A．2B．C．D．3
7．如图，在正方体中，P为线段上一点，则直线与BP所成的角的最大值、最小值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
8．已知椭圆C：上存在关于直线l：对称的点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知椭圆C：的左，右焦点分别是，，其中．直线l过左焦点与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．若存在，则的周长为4a
B．若AB的斜率存在且不为零 ，中点为M，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若的最小值为3c，则椭圆的离心率
10．已知双曲线的上、下焦点分别为、，点P在双曲线上，则下列结论正确的是（ ）
A．该双曲线的离心率为2
B．该双曲线的渐近线方程为
C．若，则的面积为9
D．点P到两渐近线的距离乘积为
11．已知抛物线的焦点为，、是抛物线上两动点，是平面内一定点，下列说法正确的有（ ）
A．抛物线准线方程为
B．若，则线段中点到轴距离为
C．以线段AF为直径的圆与x轴相切
D．以线段为直径的圆与准线相切
12．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是3
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若，椭圆与双曲线的离心率分别记作，则，
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点
三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．已知直线：，.当时， .
14．与双曲线有共同的渐近线,且经过点的双曲线方程是 .
15．抛物线与圆交于A、B两点，圆心，点为劣弧上不同于A、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是 ．
16．已知，是椭圆的左、右焦点，为曲线上一点，，的外接圆半径是内切圆半径的4倍．若该椭圆的离心率为，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共44分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知圆的圆心坐标为，直线被圆截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）求经过点且与圆C相切的直线方程.
18．如图，正方形和所在平面互相垂直，且边长都是1，，，分别为线段，，上的动点，且，平面，记.

（1）证明：平面；
（2）当的长最小时，求二面角的余弦值.
19．已知点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)是否存在过点的直线l与双曲线相交于A,B两点，且满足P是线段的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
20．给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离等于；④抛物线的准线方程是.
（1）对于顶点在原点的抛物线：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线的方程是，并说明理由；
（2）过点的任意一条直线与交于，不同两点，试探究是否总有？请说明理由.
21．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆G的方程；
（2）过点斜率为的直线l交椭圆G于A，B两点，在y轴上是否存在点N使得（点N与点M不重合），若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
22．已知双曲线的离心率为，左､右顶点分别为M，N，点满足.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P的直线l与双曲线C交于A，B两点，直线OP与直线AN交于点D.设直线MB，MD的斜率分别为，求证：为定值.
1．B
【分析】由两直线互相垂直，直接列方程求解即可.
【详解】因为直线和直线互相垂直，
所以，解得，
故选：B
2．B
【分析】求出直线过的定点，再代入圆的方程判断点在圆内，所以相交.
【详解】由，
所以直线恒过定点，
圆可化为，
因为，
所以点在圆的内部，
所以直线与圆相交.
故选：B
3．A
【分析】根据题意先建立恰当的坐标系，可设出抛物线方程，利用已知条件得出点在抛物线上，代入方程求得p值，进而求得焦点到顶点的距离.
【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系xOy，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O重合，焦点F在x轴上．
设抛物线的标准方程为，
由已知条件可得，点在抛物线上，
所以，解得，
因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.35m，
故选：A.
4．C
【分析】根据题意得椭圆的蒙日圆方程为，进而得该圆与已知圆相切，再根据圆的位置关系求解即可.
【详解】解：根据题意，椭圆的蒙日圆方程为，
因为圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，
所以该圆与已知圆相切，
又两圆圆心间距离为，
所以或（无解，舍去），解得
故选：C.
5．B
【分析】表示出各点坐标，由可得，得出的等式，变形后可求离心率．
【详解】由题意，则，
，
∴，即，
可得，
∴或（舍去）．
故选：B．
6．A
【分析】用抛物线的定义结合图形求出.
【详解】
根据题意，设直线l与x轴交于点H，连接，抛物线的方程为，其焦点为，准线为，
则，
又由M，N分别为的中点，
则，又，，且，
则是边长为4的等边三角形，则.
在中，，则，
则，
故选：A.
7．D
【分析】设正方体的棱长为1，与BP所成的角为，以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法研究即可求解
【详解】设正方体的棱长为1，与BP所成的角为，
以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，
则，，，，，
所以，，，
设，
所以，
所以，，，
所以，
因为，
所以，
所以，
又，
所以，
故与BP所成角的最大值为，最小值为．
故选：D．
8．C
【分析】设C上关于直线对称的两点分别为，，其中点为，利用点差法，结合点E在C的内部可得，求解即可
【详解】设C上关于直线对称的两点分别为，，其中点为，
则，，两式相减，
得，
由，得，
又，，
所以，即，又，
所以，，即，
又点E在C的内部，
所以，所以．
故选：C．
9．AC
【分析】对于A：利用椭圆的定义分析判断；对于B：利用点差法分析判断；对于C：利用数量积结合椭圆方程整理得，结合椭圆的有界性求离心率；对于D：根据通径的性质可得，结合的关系求离心率.
【详解】对于选项A：根据椭圆的定义的周长为，故A正确；
对于选项B：设，则，所以，，
由两式相减可得，
整理得，即，故B错误；
对于选项C：因为，
则，可得，
由，可得，
则，整理得，
则有，即，则，
所以，即，即，解得，故C正确；
对于选项D：因为的最小值为通径长度，即，
整理为，即，
两边同时除以，得，解得：，或（舍），
所以椭圆的离心率，故D错误.
故选：AC.
10．BD
【分析】.
由双曲线方程得，然后计算离心率，确定渐近线方程，结合双曲线的定义和垂直求得可得的面积，设，直接求出点到两渐近线的距离之积后判断各选项．
【详解】由双曲线方程得，，，焦点为，．
离心率为，A错；
渐近线方程是，B正确；
若，不妨设，
则，∴，，C错；
设，则，，
渐近线方程为，点P到两渐近线的距离乘积为，D正确 ．
故选：BD．
11．BC
【分析】根据抛物线的定义以及焦半径公式一一求解.
【详解】对于A选项，抛物线的准线方程为，焦点，故A错；
对于B选项，设点、，
由抛物线的定义可得，可得，
所以，线段的中点到轴的距离为，故B对；
对于C选项，,的中点为，
的中点到轴的距离为，
所以以线段AF为直径的圆与x轴相切，故C对；
对于D选项，因为点、没有任何限制条件，可以是抛物线上任意两点，
所以以线段为直径的圆与准线不一定相切，故D错.
故选：BC.
12．BC
【分析】A选项，当时，求出两圆圆心距等于两圆半径之和，故两圆外切，有3条公共切线，A错误；
B选项，求出圆心到直线的距离为1，圆的半径为2，故有且仅有3个点到直线，B正确；
C选项，设椭圆：，双曲线：，，
由椭圆定义和双曲线定义得到，，求出，，由勾股定理得到，求出；
D选项，设，则，由题意得：四点共圆，且为直径，
求出圆心和半径，得到该圆的方程，求出切点弦方程，结合得到定点坐标.
【详解】对A，圆变形为，故圆心为，半径为，
圆圆心为，半径为，
当时，故圆心距，
此时两圆外切，故两圆有3条公共切线，A错误；
对B，圆的圆心到直线的距离为，
而圆的半径为2，故有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B正确；
对C，设椭圆：，双曲线：，，
因为，所以，，
解得：，，
由勾股定理：，即，
化简得：，
则椭圆的离心率，双曲线的离心率，
则，C正确；
对D，设，则，由题意得：四点共圆，且为直径，
则此圆圆心为，半径为，
故圆的方程为，
，与相减得：，
因为，所以过定点，
即直线经过定点，D错误.
故选：BC
过圆上一点的切线方程为：，
过圆外一点的切点弦方程为.
13．
【分析】根据直线方程一般式中平行满足的系数关系即可列方程组求解.
【详解】当时，则需满足，解得，
故
14．
【详解】设,将代入求得. 双曲线方程是
15．
【分析】由题可得抛物线的焦点，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，故的周长为，联立圆与抛物线可得点坐标，可得的取值范围，可得答案.
【详解】解：∵圆交，抛物线，
∴圆心也是抛物线的焦点，抛物线的准线为，
过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，

故的周长，
由可得，
又圆与轴正半轴交于，
所以，
又因为，
所以的取值范围为，
所以的周长的取值范围为.
故答案为.
16．
【分析】由正弦定理以及等面积法得出外接圆和内切圆半径，结合椭圆的定义以及题设条件得出离心率.
【详解】设的外接圆半径，内切圆半径分别为，设，
则，依题意可知，
即.在中，由余弦定理可知，
得，得，故，
即.又，
因此，得.
故
17．（1）；（2）和.
【分析】(1)根据圆心坐标设圆的标准方程，结合点到直线的距离公式求出圆的半径即可.
(2)当切线斜率不存在时满足题意；当切线斜率存在时，设切线方程，结合点到直线的距离公式和圆心到直线的距离为半径，计算求出直线斜率即可.
【详解】（1）设圆的标准方程为：
圆心到直线的距离：，
则
圆的标准方程：
（2）①当切线斜率不存在时，设切线：，此时满足直线与圆相切.
②当切线斜率存在时，设切线：，即
则圆心到直线的距离.
解得：，即
则切线方程为：
综上，切线方程为：和
18．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明线面垂直；
（2）求出的长最小时点的位置，然后分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
【详解】（1）因为平面，
且平面，平面平面，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
又因为平面平面，
且平面，平面平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，
，当且仅当时等号成立，
分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的一个法向量为，
因为，，
则，取，得，
设平面的一个法向量为，
因为，，
则，取，得，
所以，则二面角的余弦值为.

本题考查面面垂直的性质定理，考查用空间向量法求二面角，解题关键是是建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由向量的夹角得二面角，注意观察二面角是锐二面角还是钝二面角．
19．(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）代入点的坐标，解方程可得的值，即可得双曲线方程；
（2）假设存在，设过的直线方程为：，，两点的坐标为，，，，代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求直线的斜率，进而得到直线方程，代入双曲线方程，检验判别式即可判断．
【详解】（1）解：已知点在双曲线上
所以，整理得：，解得：，则
所以双曲线方程为.
（2）解：由题可知若直线存在则直线的斜率存在，故设直线的方程为：
且设交点
则 ，两式相间得：
由于为中点，则
则
即有直线的方程：，即
检验判别式为，方程无实根．
故不存在过点的直线与该双曲线相交A,B两点，且满足P是线段的中点.
20．（1）选择条件①③;详见解析（2）总有，证明见解析
（1）通过焦点位置可判断条件①适合，条件②不适合，通过准线方程，可判断条件④不适合，利用焦半径公式可判断条件③适合；
（2）假设总有，设直线的方程为，联立，利用韦达定理计算可得结果.
【详解】解：（1）因为抛物线的焦点在轴上，所以条件①适合，条件②不适合.
又因为抛物线的准线方程为：，
所以条件④不适合题意，
当选择条件③时，，
此时适合题意，
故选择条件①③时，可得抛物线的方程是；
（2）假设总有，
由题意得直线的斜率不为，
设直线的方程为，
由得
设，
所以恒成立，，，
则，
所以，
所以，
综上所述，无论如何变化，总有.
本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题.
21．（1）；（2），证明详见解析.
【分析】（1）由条件列式，利用待定系数法求解椭圆方程；（2）首先直线方程与椭圆方程联立，得根与系数的关系，将条件转化为，代入坐标，利用根与系数的关系化简求定点.
【详解】（1）由条件可知 ，解得：，，
所以椭圆的方程是；
（2）设直线，，，，
联立 ，得，
，，
，，
即
，
即，
，得，
即存在定点.
思路点睛：定点问题解决步骤：
（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；
（2）韦达定理列出两根和及两根积；
（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；
（4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件.
22．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用向量数量积列出方程，求出，结合离心率求出，从而得到，求出双曲线方程；
（2）考虑直线斜率不存在，不合题意，当斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，求出直线OP方程，表达出直线，联立求出点坐标，计算，将两根之和，两根之积代入，化简得到为定值.
【详解】（1）由题意知，又，
所以，
由，可得，
又，所以，故，
所以双曲线的方程为；
（2）因为，
若直线l的斜率不存在，则l与双曲线C仅有一个公共点，
不合题意，故l的斜率存在，

设l：，
联立得：，
设，
则.
因为，故，①
又，
所以，②
联立①②，解得，
于是
，
所以为定值.
直线与圆锥曲线结合，通常设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题干条件列出方程，或表达出直线斜率，三角形或四边形面积等，将两根之和，两根之积代入化简，进行解答.