2023-2024学年陕西省汉中市城固县高二上学期期中数学模拟试题(含解析)
展开注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.圆心坐标为,半径长为2的圆的标准方程是
A.B.
C.D.
2.已知直线:,:,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.直线过圆的圆心,并且与直线垂直,则直线的方程为( )
A.B.C.D.
4.已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于( )
A.20B.16C.18D.14
5.已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点在抛物线的准线上,且双曲线的离心率等于,则双曲线的标准方程为( )
A.B.
C.D.
6.直线与圆的位置关系是( )
A.相离B.相交C.相切D.无法确定
7.如图所示,空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,且,M为OA中点,N为BC中点,则等于( )
A.B.
C.D.
8.已知,分别为双曲线的左,右焦点,双曲线上的点A满足,且的中点在轴上,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.2D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知直线l的倾斜角等于120°,且l经过点,则下列结论中正确的是( )
A.l的一个方向向量为B.l在x轴上的截距等于
C.l与直线垂直D.点到直线l上的点的最短距离是1
10.若椭圆上的一个焦点坐标为,则下列结论中正确的是( )
A.B.的长轴长为
C.的长轴长为4D.的离心率为
11.下列关于抛物线的说法正确的是( )
A.焦点在x轴上
B.焦点到准线的距离等于10
C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于
D.由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标可能为
12.点在圆:上,点在圆:上,则( )
A.的最小值为
B.的最大值为
C.两个圆心所在的直线斜率为
D.两个圆公共弦所在直线的方程为
第Ⅱ卷
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.两平行直线,之间的距离为 .
14.若向量=(1,1,x),=(1,2,1),=(1,1,1)满足条件,则x= .
15.设双曲线的一条渐近线为,则的离心率为 .
16.19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日,创立了画法几何学,推动了空间几何学的独立发展,提出了著名的蒙日圆定理:椭圆的两条切线互相垂直,则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上,称为蒙日圆,椭圆的蒙日圆方程为.若圆(>0)与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点,则的值为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设直线的方程为.
(1)已知直线在x轴上的截距为,求的值;
(2)已知直线的斜率为1,求的值.
18.已知在中,,,.
(1)求边的垂直平分线的方程;
(2)求的外接圆的方程.
19.已知圆C的圆心为原点,且与直线相切,直线过点.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若直线与圆C相切,求直线的方程.
(3)若直线被圆C所截得的弦长为,求直线的方程.
20.已知点,,动点满足.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)直线与点的轨迹交于,两点,若弦的中点坐标为,求直线的方程.
21.已知抛物线的焦点为.
(1)求的值;
(2)过点的直线与抛物线交于,两个不同点,若的中点为,求的面积.
22.已知椭圆经过点和.
(1)求椭圆的方程;
(2)经过点的直线与相交于,两点(不经过点),设直线,的斜率分别为,,试问是否为定值?若是,求出该定值;否则,请说明理由.
1.C
【分析】根据圆的标准方程的形式写.
【详解】圆心为,半径为2的圆的标准方程是.
故选C.
本题考查了圆的标准方程,故选C.
2.C
【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】依题意,:,:,
若两直线平行,则,
解得或.
当时,:,:,
此时两直线重合,不符合.
当时,:,:,符合题意.
所以“”是“”的充要条件.
故选:C
3.D
【分析】求圆心坐标,由垂直可得斜率,然后根据点斜式可得.
【详解】由可知圆心为,
又因为直线与直线垂直,
所以直线的斜率为,
由点斜式得直线,
化简得直线的方程是.
故选:D.
4.C
【分析】由椭圆的定义求解.
【详解】根据椭圆方程可知,根据椭圆的定义可知,的周长为,
故选:C
5.B
【分析】根据给定条件,求出双曲线的焦点坐标,再结合离心率求出方程作答.
【详解】抛物线的准线方程为,则双曲线的焦点坐标为,
而双曲线的离心率为,令其实半轴长为,则,即有,虚半轴长,
所以双曲线的标准方程为.
故选:B
6.B
【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可.
【详解】由得
所以直线恒过定点,
已知圆,因为,
所以点在圆的内部,
所以直线与圆相交.
故选:B
7.A
【分析】根据空间向量的加减运算,即可求得答案.
【详解】由题意得:,
故选:A.
8.B
【分析】由“,的中点在轴上”可知,可知,根据几何关系列出关于a和c的齐次式,构造离心率即可得答案﹒
【详解】设,,双曲线上的点A满足,的中点在轴上,可得,∴,
即有轴,A的横坐标为,如图所示:
令,可得,
在直角三角形中,,
可得,
即为,
即,,
解得,或(不合题意,舍去);
双曲线的离心率是.
故选:B.
9.ACD
【分析】对于A,根据倾斜角求出直线的斜率,再判断其方向向量,对于B,由已知条件求出直线方程,从而可求出l在x轴上的截距,对于C,根据两直线的斜率关系判断,对于D,求出点到直线l的距离进行判断.
【详解】对于A,因为直线l的倾斜角等于120°,所以直线l的斜率为,所以直线l的一个方向向量为,
因为,所以,
所以是直线l的一个方向向量,所以A正确,
对于B,由选项A可知直线l的斜率为,因为直线l经过点,
所以直线l的方程为,当时,,得,
所以l在x轴上的截距为,所以B错误,
对于C,直线的斜率为,则,
所以直线l与直线垂直,所以C正确,
对于D,因为点到直线l:的距离为,
所以点到直线l上的点的最短距离是1,所以D正确,
故选:ACD
10.AB
【分析】根据椭圆的焦点坐标,结合焦点位置以及的关系可解得,,即可结合选项逐一求解.
【详解】由焦点为可得椭圆的焦点在轴上,所以,解得,
,,
椭圆的长轴为,离心率为,故AB正确,CD错误,
故选:AB.
11.ACD
【分析】根据抛物线的定义和性质逐项进项检验即可.
【详解】抛物线的焦点在x轴上,,正确,错误;
设是上的一点,则,所以正确;
由于抛物线的焦点为,过该焦点的直线方程为,若由原点向该直线作垂线,垂足为时,则,此时存在符合题意的垂线,所以正确.
故选.
12.AC
【分析】根据圆心距结合两圆半径可判断两圆的位置关系,故可判断D的正误,求出的最值后可判断AB的正误,利用公式可求连心线的斜率,故可判断C的正误.
【详解】根据题意,圆:,其圆心,半径,
圆:,即,其圆心,半径,
则圆心距,两圆外离,不存在公共弦,故D不正确;
的最小值为,最大值为,
故A正确,B不正确;
对于C,圆心,圆心,
则两个圆心所在直线斜率,故C正确,
故选:AC.
13.##1.7
【分析】首先将直线化为,再根据两平行线之间的距离公式计算可得;
【详解】解:直线,即为,
所以两平行直线与之间的距离为
.
故
14.
【分析】利用空间向量的坐标运算和数量积表示求解.
【详解】解:
,解得
故
15.或
【分析】根据双曲线焦点的位置,结合双曲线方程与离心率公式分类讨论进行求解即可.
【详解】当该双曲线焦点位于横轴时,则有,
因为该双曲线一条渐近线为,
所以有,
即此时双曲线的离心率为;
当该双曲线焦点位于纵轴时,则有,
因为该双曲线一条渐近线为,
所以有,
即此时双曲线的离心率为,
故或
16.4
【分析】根据题意,得到蒙日圆的方程为,再结合圆与圆的位置关系,即可求解.
【详解】由题意,椭圆的蒙日圆的半径为
所以椭圆的蒙日圆方程为,
因为圆(>0)与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点,
可得两圆外切,所以,解得,又>0,
可知.
故4
17.(1)
(2)
【分析】(1)根据一般式方程求出截距,结合条件可得答案;
(2)先把一般式化为斜截式,根据斜率的值可求答案.
【详解】(1)令得,,由题意得,解得.
(2)因为直线的斜率存在,所以直线的方程可化为
由题意得,解得.
18.(1);
(2).
【分析】(1)由点A、B的坐标求出AB的中点坐标和直线AB的斜率,进而得出线段AB垂直平分线的斜率,根据直线的点斜式方程即可得出结果;
(2)由点A、C的坐标求出边AC的垂直平分线方程,联立边AB的垂直平分线方程,求出外接圆圆心坐标,利用两点距离公式求出圆的半径,即可得出答案.
【详解】(1)由题意知,,
设AB的中点为E,则,
又直线AB的斜率为,
所以线段AB的垂直平分线的斜率为2,
得其方程为,即;
(2)由可得边AC的垂直平分线方程为,
所以,解得,
即的外接圆的圆心为(1,-2),
所以圆的半径为,
所以圆的标准方程为.
19.(1)
(2),或
(3)或
【分析】(1)利用点到直线的距离求出半径,即可得到圆C的标准方程;
(2)分类讨论直线斜率不存在与存在的情况,当斜率存在时,设出直线,利用点到直线距离等于半径求出斜率,即可求解;
(3)分类讨论直线斜率不存在与存在的情况,利用圆的垂径定理,列出弦长公式进行求解.
【详解】(1)圆心到直线的距离,
所以圆的半径为,
所以;
(2)当直线斜率不存在时,圆心到直线的距离为,不相切.
直线斜率存在,设直线,
由,得所以切线方程为,或.
(3)当直线斜率不存在时,,直线被圆所截得的弦长为,符合题意;
当直线斜率存在时,设直线,
由,解得:,
故的方程是,即,
综上所述,直线的方程为或
20.(1)
(2)
【分析】(1)根据双曲线的定义求解即可;
(2)根据点差法求解并检验即可得答案.
【详解】(1)解:根据双曲线的定义得动点的轨迹是以,为焦点,实轴长为的双曲线,,所以,
所以动点的轨迹方程
(2)解:设,则,,
所以,即,
所以,
因为弦的中点坐标为,所以,
所以
所以直线的方程为,即.
联立方程得,
此时,,满足题意.
所以直线的方程为
21.(1)2;
(2).
【分析】(1)解,即可得出答案;
(2)点差法求出直线的斜率,得到直线的方程,根据抛物线的定义求出,根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离,即可求出面积.
【详解】(1)由已知可得,,所以.
(2)由(1)知,抛物线的方程为.
设,,则有,,显然,
两式作差可得,,即.
因为的中点为,所以,则,
即,所以直线斜率为,此时直线方程为,即.
联立与抛物线的方程可得,,
,直线与抛物线有两个交点,满足.
所以,直线方程为.
又,根据抛物线的定义可知.
点到直线的距离,
所以的面积.
22.(1)
(2)是定值,.
【分析】(1)根据题意,待定系数求解即可;
(2)根据题意设直线的方程为,,进而得,,再将直线方程与椭圆联立,结合韦达定理化简整理求解即可.
【详解】(1)解:因为椭圆经过点和,
所以,解得,
所以椭圆的方程为.
(2)解:根据题意,设直线的斜率必存在,故可设方程为,,
所以联立方程得,
所以,解得,
所以,
所以
因为,,
所以
.
所以为定值,
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