2023-2024学年上海市浦东新区高二上学期期中数学模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区高二上学期期中数学模拟试题（含解析），共14页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（每小题3分，共36分）
1．公理2：不在同一直线上的 点确定一个平面.
2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的 直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.
3．三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在 垂直.
4．已知球的半径为3，则该球的体积为 .
5．一个圆柱的底面半径为，高为，则它的侧面积为 .
6．已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的两倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小为 .
7．一个正四棱柱底面边长为1，高为2，则它的表面积是 .
8．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是 .
（1）直线与直线相交；
（2）直线与直线平行；
（3）直线与直线是异面直线；
（4）直线与直线成角.
9．若空间三条直线，，则，的位置关系是 .
10．在正方体中，平面与平面所成的锐二面角的大小是 .
11．如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有 条.
12．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，平面，则该鳖臑的外接球的表面积为 ．
二、选择题（每小题3分，共12分）
13．“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
14．设m，n是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
15．如图，、、、是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．异面D．垂直
16．已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
17．正四棱柱，的底面边长，若异面直线与所成角的大小为，求正四棱柱的侧面积和体积.
18．如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.
（1）求正三棱锥的表面积；
（2）求正三棱锥的体积.
19．如图所示，已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，，平面，.
（Ⅰ） 求证：；
（Ⅱ）求四棱锥的表面积.
20．如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2．
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)设为该圆锥的底面半径，且，为的中点，求二面角的大小（用反三角表示）
21．如图，平面，四边形是矩形，，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
1．三##3
【分析】根据公理2判断可得；
【详解】解：公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面
故三
2．两条相交
【分析】根据直线与平面垂直的判定定理得解；
【详解】解：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.
故两条相交
3．平面上的射影
【分析】由三垂直线定理及其逆定理可得答案.
【详解】解：由三垂线定理得：平面上的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也与这条斜线垂直；
由三垂线定理的逆定理得：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它与这条斜线在平面上的射影垂直；
所以平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直，
故平面上的射影.
4．
【分析】根据球的体积公式计算可得；
【详解】解：因为球的半径，所以球的体积；
故
5．
【分析】由圆柱的侧面积公式计算可得答案.
【详解】解：圆柱的底面半径为，高为，则它的侧面积为，
故答案为.
6．##
【分析】根据线面角的定义计算可得；
【详解】解：因为斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的两倍，记这条斜线和这个平面所成的角为，则，因为，所以
故
7．10
【分析】利用正四棱柱的性质进行计算即可
【详解】因为正四棱柱底面边长为1，高为2，
所以它的表面积为，
故10
8．（3）（4）##(4)(3)
【分析】还原正方体，结合图形即可判断（1）（2）（3），再连接，，则为异面直线与直线所成的角，根据三角形的性质即可求出异面直线所成角；
【详解】解：由正方体的平面展开图可得正方体，
可得与为异面直线，故（1）错误；
与为异面直线，故（2）错误；
直线与直线是异面直线，故（3）正确；
连接，，由正方体的性质可得，所以为异面直线与直线所成的角，因为为等边三角形，所以，即直线与直线所成角为，故（4）正确；
故（3）（4）．
9．平行，相交或异面
【分析】根据空间直线的位置关系判断可得；
【详解】解：因为空间三条直线，，所以与的位置关系是平行，相交或异面；
故 平行，相交或异面
10．##
【分析】利用正方体的几何性质以及二面角的定义找到对应的平面角，在三角形中求解即可．
【详解】正方体中，平面，
又平面，
所以，又，
所以是平面与平面所成的锐二面角的平面角，
在直角中，，
所以平面与平面所成的锐二面角的大小是．
故．
11．6
根据几何体依次写出与直线成异面的直线即可得解.
【详解】正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线如下：
，一共6条.
故6
此题考查异面直线的辨析，关键在于根据几何体特征准确找出与直线成异面的直线.
12．．
【分析】证明，可得是外接球的直径，求得长度后可球表面积．
【详解】因为平面，平面，所以，同理，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，所以的中点到四点距离相等，为四面体外接球球心，
又由已知得，，
所以外接球表面积为．
故．
关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球表面积，解题关键是打到外接球球心，求出球半径．三棱锥的外接球球心在过各面外心与该面垂直的直线上．
13．B
【分析】找出“两条直线没有公共点”的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】“两条直线没有公共点”“两条直线平行或异面”，
所以，“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的必要非充分条件.
故选：B.
14．D
【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若，则m与n相交，平行或异面，故A错误；
对于B中，若，则m与n平行或异面，故B错误；
对于C中，若，则m有可能在平面内，故C错误；
对于D中，若，由直线与平面平行的判定定理，可得，
所以D是正确的．
故选：D
15．A
【分析】如图，延长GM到N,使,连接AN,DN.由和分别平行于正方体的两条相交的对角线，从而得与相交．
【详解】如图，延长GM到N,使,连接AN,DN.
，AN∥FM,
∴A,B,N三点共线，
同理D,C,N三点共线，
与相交，
故选：．
本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16．A
【分析】将正四面体放入正方体中，可得正方体的棱长为，求出正方体外接球的体积即为正四面体外接球的体积.
【详解】
如图将棱长为1的正四面体放入正方体中，
且正方体的棱长为，
所以正方体的体对角线，
所以正方体外接球的直径，
所以正方体外接球的体积为，
因为正四面体的外接球即为正方体的外接球，
所以正四面体的外接球的体积为，
故选：A.
17．.
【分析】首先根据异面直线所成的角，求，再求正四棱柱的侧面积和体积.
【详解】，
面直线与所成角是，，
，，
正四棱柱的侧面积，体积.
18．（1）；（2）.
（1）取的中点D，连接，利用勾股定理求得，可得三角形的面积，进一步可得正三棱锥的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥的表面积可求；
（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.求解，再由棱锥体积公式求解.
【详解】（1）取的中点D，连接，
在中，可得.
∴.
∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，
∴正三棱锥的侧面积是.
∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.
则正三棱锥的表面积为；
（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.
且.
在中，.
∴正三棱锥的体积为.
本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题.
19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）在梯形中，易求得，又由平面，得，利用线面垂直的判定定理，即可得到平面，即可得到．
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得，进而根据平面，得到，
都为直角三角形，分别求得的面积，即可求解．
【详解】（Ⅰ）在梯形中，易求，
.
平面，，
又平面，
又平面，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
又平面，
都为直角三角形.
，所以.
四棱锥的表面积为.
本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明，及几何体的表面积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及准确计算几何体中每个面的面积是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由勾股定理求出圆锥的母线，结合圆锥的侧面积公式计算即可求解；
（2）如图，由题意可得、，则为二面角所成角.在中，解三角形即可求解.
【详解】（1）由题意知，平面，平面，
所以，所以圆锥的母线，
所以圆锥的侧面积；
（2）如图，连接，为的中点，，则，
又为等腰三角形，，所以，
所以为二面角所成角.
在等腰直角中，，所以，
在中，，得，
所以.
21．（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】（1）取的中点，连接，，可证，，从而面面，即可证明平面；
（2）证明，由，、分别是、的中点，可证，，可知平面，从而得证．
【详解】证明：（1）取的中点，连接，，
、分别是、的中点，
，
又面，面，所以面
又面，面，所以面
因为，面
平面平面，
因为面
平面；
（2）底面是矩形，平面，
，，，平面，平面
平面，
平面
，
又，
平面
，
、分别是、的中点，
，，面
平面,
又平面，
平面平面.