2023-2024学年重庆市南岸区高三上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市南岸区高三上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．2B．C．或2D．
4．设是公差为2的等差数列，为其前n项和，若为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．学校运动会上，有，，三位运动员分别参加3000米，1500米和跳高比赛，为了安全起见，班委为这三位运动员分别成立了后勤服务小组，甲和另外四个同学参加后勤服务工作（每个同学只能参加一个后勤服务小组）.若甲在A的后勤服务小组，则这五位同学的分派方案有（ ）种
A．B．C．D．
6．一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为，容积为（厚度忽略不计），则该油槽的侧棱与底面所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
8．若存在，使不等式成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．
9．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）
A．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件;
B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为
C．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为
D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是
10．已知，，且，则（ ）
A．的最小值是1B．的最小值是
C．的最小值是4D．的最小值是4
11．已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；……；在和之间插入个数，，，，使，，，，成等差数列.这样得到新数列：，，，，，，，，，，.记数列的前项和为，有下列选择支中，判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．如图，矩形中，，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得
B．面积的最大值为
C．
D．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则 ．
14．已知向量，若实数满足，则与的夹角为 ．
15．疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测，某校早上开校门，此时刻没有学生，一分钟后有名学生到校，以后每分钟比前一分钟少到人校门口的体温自动检测棚每分钟可检测人，为了减少排队等候的时间，校门口临时增设一个人工体温检测点，人工每分钟可检测人，则人工检测 分钟后校门口不再出现排队等候的情况．
16．已知双曲线的左､右焦点分别是.点为左支上的一点，过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，则的离心率的取值范围为 .
四、解答题：共70分．
17．已知数列的前n项和为，且，.
(1)求；
(2)记，求数列的前n项和.
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小
(2)若的平分线交于点D，且，，求的面积．
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点．

(1)求证：平面平面．
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由．
20．佛山岭南天地位于禅城区祖庙大街2号，主要景点有龙塘诗社、文会里嫁娶屋、黄祥华如意油祖铺、李众胜堂祖铺、祖庙大街等，这里的每一处景色都极具岭南特色，其中龙塘诗社和祖庙大街很受年轻人的青睐.为进一步合理配置旅游资源，现对已在龙塘诗社游览的游客进行随机问卷调查，若继续游玩祖庙大街景点的记2分，若不继续游玩祖庙大街景点的记1分，每位游客选择是否游览祖庙大街的概率均为，游客之间的选择意愿相互独立.
(1)从游客中随机抽取3人，记总得分为，求的分布列与数学期望；
(2)（ⅰ）若从游客中随机抽取人，记总得分恰为分的概率为，求数列的前10项和；
（ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为，探讨与之间的关系式，并求数列的通项公式.
21．已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为2且双曲线C的离心率为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知M是直线上一点，直线交双曲线C于A（A在第一象限），B两点，O为坐标原点，过点M作直线的平行线l，l与直线交于点P，与x轴交于点Q，若P为线段的中点，求实数t的值.
22．已知函数
(1)若，证明：在上恒成立；
(2)若方程有两个实数根且，证明：
1．A
【分析】根据交集的定义直接求解即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：A.
2．C
【分析】确定，计算得到答案.
【详解】，则.
故选：C.
3．D
【分析】先确定所在的象限，再根据三角函数的定义及二倍角的正切公式求出，再根据商数关系化弦为切即可得解.
【详解】由题意，得角是第二象限角，则，
故，
当时，，为第一象限角，
当时，，为第三象限角，
所以是第一象限角或第三象限角，则，
又因为，所以或（舍去），
所以．
故选：D．
4．A
【分析】求得和，结合题意转化为对恒成立，令，得到，令，结合函数的单调性，求得最大值，即可求解.
【详解】由数列是公差为2的等差数列，
可得，则，
因为数列为递增数列，
可得对恒成立，
即对恒成立，
令，则，
令，可得在为单调递减函数，
所以，当时，取得最大值，所以，即的取值范围为.
故选：A.
5．B
【分析】分三类，A小组只有一人，只有两人，恰有三人三种情况，再利用分类加法计数原理求解.
【详解】若A小组只有一人，则5人的分配方案有种；
若A小组只有两人，则5人的分配方案有种；
若A小组恰有三人，则5人的分配方案有种，
所以共有50种，
故选：B.
6．D
【分析】利用棱台的体积公式求出正四棱台的高，进而得正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值．
【详解】设正四棱台形油槽的高为，
依题意，得，解得．
设该正四棱台的侧棱与底面所成角为，
所以，
故选：D
7．A
【分析】根据双曲线以及椭圆的定义可得，，进而在焦点三角形中运用余弦定理即可得，再结合均值不等式即可求解.
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义，得，，
所 以，，
设，，
则在△中由余弦定理，得，
化简得：，即，
又，，，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为．
故选：A.
关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆与双曲线的定义得到，，从而利用余弦定理构造得关于的齐次方程，由此得解.
8．D
【分析】等价变形给定的不等式，并令，构造函数，将问题转化为存在，使得成立，再借助导数求解即得.
【详解】依题意，
，
令，即，由，得，
令，则原问题等价于存在，使得成立，
求导得，由，得，由，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
而，又，
则当时，，若存在，使得成立，
只需且，解得且，即，
所以的取值范围为.
故选：D
思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
9．ACD
【分析】应用对立事件的定义判断A，
密码被破解的对立事件是三个人同时没有破译密码，由此求出密码被破译的概率判断B，
从每袋中各任取一个球，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求出取到相同球的概率判断C，
利用对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式列方程，求判断D.
【详解】对于A，袋子中有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件，故A正确；
对于B，密码被破译的概率为，故B错误；
对于C，设从甲袋中取到白球为事件，则，从乙袋中取到白球为事件，则，
故取到同色球的概率为，故C正确；
对于D，因为，即，
即，
所以，
又，
所以，
所以，故D正确，
故选：ACD.
10．BC
【分析】利用基本不等式可以判断选项ACD的真假，利用二次函数可以判断选项B的真假.
【详解】对于A，由，得，当且仅当等号成立，A错误；
对于B，由，，
当且仅当时，的最小值是，故B正确；
对于C，，当且仅当，时，等号成立，故C正确；
对于D，，
当且仅当，时等号成立，故D错误，
故选:BC.
11．ACD
【分析】根据等差数列的性质及前n项和公式即可判断选项A,B,C是否正确；选项D利用等比数列的前n项和公式及错位相减法求出进行判断.
【详解】对于选项A，因为，，，，成等差数列，
所以，故A正确；
对于选项B，因为和之间插入1个数，和之间插入2个数，…和之间插入9个数，
所以在数列中是第项，所以，故B错误；
对于选项C，在数列中是第项，在数列中是第项，
又依题意，成等差数列，所以，故C正确；
对于选项D， 由选项B可知，在数列中是第55项，所以
，故D正确.
故选：ACD
12．BD
【分析】A选项，作出辅助线，得到，与不垂直，所以不垂直，故A错误；B选项，利用三角形面积公式得到，得到当时，最大，求出最大值；C选项，作出辅助线，证明出在平面上的射影在直线上，得到，，求出；D选项，找到球心的位置，作出辅助线，利用外接球半径相等列出方程，求出外接球半径，得到表面积.
【详解】对于A，如图1，取的中点，连接，显然，
且，又，且，所以，，
所以四边形为平行四边形，故，
又，且为的中点，则与不垂直，
所以不垂直，故A错误；
对于B，由得，，
所以当时，最大，最大值为，B正确；
C选项，如图2，取的中点，的中点，作⊥平面，
且点在平面内，连接，
由知，⊥，
又，且⊥，所以⊥，
所以在平面上的射影在直线上，即点在直线上，
所以为平面与平面所成的二面角，则，
所以，
又在平面上的射影为，则，所以，
所以，C错误；
D选项，结合C可知，，
如图3，当点重合时，即⊥平面时，最大，最大值为，
因为⊥，所以点为三棱锥的外接球球心在平面上的投影，
故，连接，过点作⊥于点，
因为⊥平面，平面，所以⊥，，
则，
设，则，，
由勾股定理得，，
设三棱锥的外接球半径为，则，
故，解得，
所以其外接球半径，
所以三棱锥的外接球的表面积为，D正确.
故选：BD
解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
13．##
【分析】首先求的值，再用表示齐次分式，即可求解.
【详解】，
.
故
14．##
【分析】利用平面向量的坐标运算得到的坐标，从而计算两向量的数量积，由两向量的数量积为0得结果．
【详解】因为向量，所以，
又，所以，
故与的夹角为．
故．
15．
【分析】设早上后第分钟达到人数为，则，计算数列和得到，解得答案.
【详解】设早上后第分钟达到人数为，则，
，
人工检测时间为分钟，则共检测.
故，解得，，
故答案为.
16．
【分析】设，，表达出，，从而得到关于的一元二次方程，转化为关于的一元二次方程在上有解问题，结合根的判别式和特殊点的函数值，得到，求出离心率的取值范围.
【详解】设，，则，
由题意得，，，
则，
两边平方得，整理得，
又，
所以，
变形得到，
即上式在上有解，
其中，
令，
则，
，
要想使得在上有解，
只需要开口向上，即，
即，所以，，解得
故离心率的取值范围是.

故
本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系可得是等差数列，即可求解，进而可得，
（2）根据错位相减法即可求解.
【详解】（1），
，又
.
数列是公差为2，首项为的等差数列.
,即.
当时，，
故.
（2）时，
时，.
设的前n项和为，则
，
.
.
（）
当时，也符合，
所以
18．(1)
(2)
【分析】（1）由，利用正弦定理转化为，再利用余弦定理求解；
（2）方法一 根据平分，且，利用角平分线定理得到，，，再由，，求得边长，再利用三角形面积公式求解. 方法二根据 平分，且，得到，然后由，求得边a，再利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）解：由及正弦定理，
得，即，
所以．
因为，所以．
（2）方法一 因为平分，且，
所以由角平分线定理，得，
则有，，．
由，得．
又，
将代入，可得或．
当时，，则，故舍去，所以．
所以．
方法二 因为平分，且，所以，则有．
因为，
所以，
则有，所以，
所以．
19．(1)证明见解析
(2)不存在满足条件的点M，理由见解析点
【分析】（1）利用面面垂直的判断定理可证平面平面；
（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量法可判断是否存在.
【详解】（1）平面，平面，
平面平面．
（2）设的中点为，连接，
因为是正三角形，故，
而平面平面，平面平面，平面，
故平面，而平面，故，
由四边形为正方形且分别为的中点得，
故可以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
故，，，
，，．
假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，
且，则，
，．
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
，
整理可得，方程无解，
故假设不成立，即不存在满足条件的点．
20．(1)分布列见解析，数学期望为
(2)（ⅰ）；（ⅱ），
【分析】（1）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望；
（2）（ⅰ）求出，数列是等比数列，利用公式求出前10项和；
（ⅱ）方法一：分析出得不到分的情况只有先得到分，再得2分，概率为，故，从而是等比数列，公比为，首项为，利用等比数列通项公式求出答案；
方法二：已调查过的累计得分恰为分可以由两种情形得到，即和，由全概率公式得到（），从而得到为常数列，求出，再构造等比数列进行求解.
【详解】（1）的可能取值为3，4，5，6.
，，
，.
所以的分布列如下：
则.
（2）（ⅰ）总分恰为的概率，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
前10项为.
（ⅱ）方法一：已调查的累计得分恰为分的概率为，
得不到分的情况只有先得到分，再得2分，概率为，
其中，
所以，，
所以，
即是等比数列，公比为，首项为.
所以，即.
方法二：已调查过的累计得分恰为分可以由两种情形得到，即和，
由全概率方式，得（），
所以，
为常数列，
又，，，即，
所以，
即是等比数列，公比为，首项为，
所以，即.
21．(1)
(2)
【分析】（1）先设出点求出点到两条渐近线的距离之积，结合离心率代入求出即可.
（2）先设直线（排除斜率为0），联立直线与双曲线得到韦达定理，再根据条件得到联立两条直线得到交点坐标，根据交点是线段中点代入，结构不对称应用韦达定理相除得到两根之间的关系代入，最后要得到常数即要系数相等即可.
【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，设双曲线上一点，
则，
又因为在双曲线上，所以，即，
代入可得，又因为，，代入可得，，
所以双曲线方程为；
（2）由（1）如图所示，

知，所以，
若直线斜率为0，此时点不在第一象限，矛盾，故斜率不为0，
设直线的方程为，，，则，
联立，化简可得，
则，可得，
则，
又因为，所以 ，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立，解得，
即的纵坐标为.
又由上可知，，两式相除，
得，
代入可得，
因为为线段的中点，所以
即，
所以需满足，解得.
方法点睛：解析几何结构不对称往往可以应用两根之和和两个之积相除得到两根之间的关系，代入处理结构不良.
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）即证，构造，即可证明；
（2）分别利用切线放缩进行证明即可.
【详解】（1）因为，，令
所以，
下证，
令，
则，
当时,，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上恒成立
（2）证明：先证右半部分不等式： ；
因为，，
所以；
可求曲线在和处的切线分别为和；
设直线与直线，函数的图象和直线交点的横坐标分别为
则
则；
因此.
再证左半部分不等式.
设取曲线上两点，
用割线，来限制，
设直线与直线的交点的横坐标分别为，
则，且，
所以.
综上可得成立
方法点睛：导数证明不等式的方法常有：
（1）最值法：移项构造函数，通过求解最值来证明；
（2）放缩法：通过构造切线或割线，利用切线放缩或者割线放缩来证明.
3
4
5
6