人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法优质课ppt课件

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1.了解数学归纳法的原理.(数学抽象)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(逻辑推理)
我不是四毛！我是小明！
从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法
问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？
把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.
（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？
（2）你的猜想一定是正确的吗？
逐一验证，不可能！！！
思考：能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？
我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后块骨牌倒下.这样,只要推倒第1块骨牌,就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下,就可导致第3块骨牌倒下；…….总之,不论有多少块骨牌,都能全部倒下.
思考1：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
使所有多米诺骨牌全部倒下的条件有两个：
(1)第一块骨牌倒下；
(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
思考2：你认为条件(2)的作用是什么？如何用数学语言描述它？
条件(2)实际上是给出了一个递推关系.
结论：无论有多少块骨牌，只要保证条件(1)(2)出来，那么所有的骨牌都能倒下.
数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:归纳奠基→证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立归纳递推→以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件, 推出“当 n=k+1 时命题也成立”只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
数学归纳法的框图表示：
微思考数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?提示 不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°,第一个值n0=3.
例1(1)用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*),“从k到k+1”左端增乘的代数式为　　　　　. 
答案 (1)2(2k+1) 解析 令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),则f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),
即当n=k+1时等式也成立.由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立.
反思感悟 用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)首先根据待证等式的特征,明确等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得到要证的结论.
反思感悟 “归纳—猜想—证明”的一般环节
变式训练 2数列{an}满足Sn=2n-an(Sn为数列{an}的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明.
分析按照数学归纳法的步骤证明,由n=k到n=k+1的推证过程可应用放缩技巧,使问题简单化.
反思感悟 用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)使用数学归纳法证明不等式问题,在证明“n=k+1时命题成立”应明确要证的不等式是什么,怎样利用归纳假设.(2)要善于利用分析法或作差比较法等不等式的方法证明.
数学归纳法在证明整除问题中的应用典例 用数学归纳法证明:23n-1(n∈N*)能被7整除.证明 (1)当n=1时,23×1-1=8-1=7,能被7整除.(2)假设当n=k(k∈N*)时,23k-1能被7整除,那么当n=k+1时,23(k+1)-1=8×23k-1=8×23k-8+7=8(23k-1)+7,因为23k-1能被7整除,所以8(23k-1)+7能被7整除,所以当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)可知,23n-1(n∈N*)能被7整除.
方法点睛使用数学归纳法证明整除问题常用的方法:将n=k+1时的式子分成两部分,一部分应用归纳假设,另一部分通过变形处理,确定其能够被某个数乘除,常用的变形技巧,加减同一个数以方便能够提取公因式.
用数学归纳法证明“(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除”,在假设n=k(k∈N*)时命题成立之后,需证明n=k+1时命题也成立,这时除了用归纳假设外,还需证明的是余项(　　)能被9整除.A.3·7k+6　　　　　　　B.3·7k+1+6C.3·7k-3D.3·7k+1-3
答案 B解析 假设n=k时命题成立,即(3k+1)·7k-1能被9整除,那么当n=k+1时,[3(k+1)+1]·7k+1-1-[(3k+1)·7k-1]=(3k+4)·7k+1-(3k+1)·7k=[(3k+1)+3]·7k+1-(3k+1)·7k=(3k+1)·7k+1+3·7k+1-(3k+1)·7k=6·(3k+1)·7k+3·7k+1=6·[(3k+1)·7k-1]+3·7k+1+6.由(3k+1)·7k-1能被9整除可知要证上式能被9整除,还需证明3·7k+1+6也能被9整除.故选B.
1.用数学归纳法证明等式
3.用数学归纳法证明不等式
4.用数学归纳法证明整除问题
2.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是(　　)A.(2k+1)+(2k+2)B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3)D.(2k+2)+(2k+4)答案 C解析 当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.