山东省济宁市梁山县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份山东省济宁市梁山县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了精心选一选，相信自己的判断力！等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、精心选一选，相信自己的判断力！（本题共12小题，每小题3分）
注意可以用各种不同的方法来解决你面前的选择题哦！
1．第19届亚运会于2023年9月23日~2023年10月8日在中华人民共和国杭州市举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用下列长度三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ）
A．、、B．、、
C．、、D．、、
3．人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的道理是（ ）．
A．三角形具有稳定性．B．两直线平行,内错角相等．
C．两点之间,线段最短．D．垂线段最短．
4．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．等腰三角形的两条边长分别为8和4，则它的周长等于（ ）
A．12B．16C．20D．16或20
6．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( )
A．∠A＝∠DB．BC＝EFC．∠ACB＝∠FD．AC＝DF
7．已知在中，点为线段边上一点，则按照顺序，线段分别是的（ ）
A．①中线，②角平分线，③高线B．①高线，②中线，③角平分线
C．①角平分线，②高线，③中线D．①高线，②角平分线，③中线
8．如图所示，在中，，将沿折叠，使点C落在边D点，若，则（ ）．
A．12B．16C．18D．20
9．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
10．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
11．如图所示，在中，已知点分别为边的中点，且，则等于（ ）

A．B．C．D．
12．如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2020A2020A2021，则点A2023的纵坐标为（ ）
A．（）2021B．（）2022C．（）2023D．（）2024
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、认真填一填，试一试自己的身手！本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填写最后结果，请把答案填写在答案卷中横线上．
13．如图，∠MON＝35°，点P在射线ON上，以P为圆心，PO为半径画圆弧，交OM于点Q，连接PQ，则∠QPN＝ ．
14．点关于直线的对称点的坐标是 ．
15．是的中线，和的周长的差是 ．

16．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则 度．
17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 ．
18．如图，为等边三角形，点分别在边上，与相交于点，且．则 度．

三、专心解一解（本大题共8小题，满分66分）请认真读题，冷静思考．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．如图，点，，，在一条直线上，，，，试说明：．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0，0)，A(－1，2)，B(2，1)．
(1)在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）
(2)在x轴上画出点P，使得PA+PB的值最小．
21．如图，已知∠A＝∠D，AB＝DB，点E在AC边上，∠AED＝∠CBE，AB和DE相交于点F．
（1）求证：△ABC≌△DBE．
（2）若∠CBE＝50°，求∠BED的度数．
22．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=3，求DF的长．
23．如图，点E在上，，且，连接并延长，交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
24．如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．
（1）求证：ABC是等腰三角形
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数．
25．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形特异线，称这个三角形为特异三角形．
图1 图2
(1)如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点，且是的一条特异线，则______；
(2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条特异线．
26．已知，点，分别为线段，上两点，连接，交于点．
图1 图2
(1)若，，如图1所示，______；
(2)若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若，试说明：．
答案与解析
1．D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：、选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、选项中的图形可以看作是轴对称图形，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，关键是掌握轴对称图形的概念．
2．A
【分析】本题考查三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【详解】解：A、，能组成三角形，故A符合题意；
B、，不能组成三角形，故B不符合题意；
C、，不能组成三角形，故C不符合题意；
D、，不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：A．
3．A
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解:人字梯中间一般会设计一“拉杆”,是为了形成三角形,利用三角形具有稳定性来增加其稳定性,
故选：A．
【点睛】题考查了三角形的性质,关键是根据三角形的稳定性解答．
4．C
【分析】关于x轴对称的点，其横坐标不变，纵坐标变为其相反数，根据这一特点即可完成．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形中关于x轴对称的点的坐标特征，掌握这一特征是关键．
5．C
【分析】由三角形的三边关系，以及等腰三角形的定义可知，等腰三角形的第三条边的长度为8，然后求周长即可．
【详解】解：由三角形的三边关系，以及等腰三角形的定义可知，等腰三角形的第三条边的长度为8，
∴它的周长等于，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
6．D
【详解】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．
7．D
【分析】由角平分线，垂线，线段垂直平分线的作图方法进行判断即可．
【详解】解：①由作图方法可知，AD是BC边上的垂线，即AD为△ABC的高；
②由作图方法可知AD是∠BAC的角平分线；
③由作图方法可知D在BC的垂直平分线上，即AD是BC的中线；
故选D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，角平分线的尺规作图，垂线的尺规作图，三角形高，角平分线，中线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
8．C
【分析】根据折叠的性质可得，再根据直角三角形中30°角所对边是斜边的一半可得，从而可得．
【详解】解：根据折叠的性质，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的直角．理解直角三角形中30°角所对边是斜边的一半是解题的关键．
9．A
【详解】试题分析：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：
故选A．
考点：剪纸问题．
10．C
【详解】解：设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），
可得方程180（n﹣2）=1080，
解得：n=8．
故选C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是根据题意列出一元一次方程．
11．B
【分析】利用点是的中点，可得，再利用点是的中点，可得，，从而可得，然后利用点是的中点，可得，进行计算即可解答．
【详解】解：点是的中点，，
，
点是的中点，
，，
，
点是的中点，
，
等于，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．
12．B
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出O1A1=OA1=1，O2A2=O1A2=（）1，O3A3=O2A3=（）2，即点A1的纵坐标为1；点A2的纵坐标为（），点A3的纵坐标为（）2，以此类推，从中得出规律，即可求出答案．
【详解】解：∵三角形OAA1是等边三角形，
∴OA1=OA=2，∠AOA1=60°，
∴∠O1OA1=30°．
在直角△O1OA1中，∵∠OO1A1=90°，∠O1OA1=30°，
∴O1A1=OA1=1，即点A1的纵坐标为1，
同理，O2A2=O1A2=（）1，O3A3=O2A3=（）2，
即点A2的纵坐标为（）1，
点A3的纵坐标为（）2，
…
∴点A2023的纵坐标为（）2022．
故选：B．
【点睛】此题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，解答此题的关键是通过认真分析，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，从中发现规律．
13．70°##70度
【分析】由作图可知，PO＝PQ，根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．
【详解】解：由作图可知，PO＝PQ，
∴∠PQO＝∠O＝35°，
∴∠QPN＝∠O+∠PQO＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题考查了作图－基本作图，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．
【分析】求出点P关于直线对称的点的横坐标既可作答．
【详解】解：∵点横坐标为，
∴点P关于直线对称的点的横坐标为：7，
∴点关于直线对称点的坐标为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解题的关键是能够将求关于x轴对称的点的坐标转化为求关于轴对称的点的坐标．
15．2
【分析】由中线定义，得，根据周长定义，进行线段的和差计算求解．
【详解】∵是的中线，
∴，
∴和的周长的差，
∵，
∴和的周长的差．
故答案为：2．
【点睛】本题考查中线的定义；由中线得到线段相等是解题的关键．
16．54
【分析】根据全等三角形的性质，直接求解即可．
【详解】解：∵两个三角形全等，
∴，
故答案为：54．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是关键．
17．或
【分析】根据题意画出图形，分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求出答案．
【详解】根据题意得：，
如图（1）所示，，则，即顶角为；
如图（2）所示，，则，
，
即顶角为；
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．
18．
【分析】利用等边三角形的性质易证，可得，根据外角等于不相邻两个内角的和即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，本题中求证是解题的关键．
19．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，平行线的性质，主要考查学生的推理能力．
先根据平行线的性质得出，然后利用证明，即可得出结论．
【详解】证明：，
，
，，
，
，
，
即：．
20．(1)画图见解析，，
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质，找出对应点的位置即可；
（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴的交点即为所求点P．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
由图形知，，；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点，即为点，
【点睛】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）∠BEC=65°
【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ABD＝∠AED，求得∠ABC＝∠DBE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝BC，求得∠BEC＝∠C，根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵∠A＝∠D，∠AFE＝∠BFD，
∴∠ABD＝∠AED，
又∵∠AED＝∠CBE，

∴∠ABD+∠ABE＝∠CBE+∠ABE，
即∠ABC＝∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠C，
∵∠CBE＝50°，
∴∠BEC＝∠C＝65°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活的根据题中已知条件选择合适的判定方法是解题的关键.
22．（1）30°；（2）6
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠B=60°，然后根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结论；
（2）根据等边三角形的判定可证△EDC是等边三角形，从而求出ED=CD=3，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出结论．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴∠B=60°
∵DE∥AB
∴∠EDC=∠B=60°
∵EF⊥DE
∴∠DEF=90°
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°
∴∠DEC=60°
∴△EDC是等边三角形
∵CD=3
∴ED=CD=3
∵∠DEF=90°，∠F=30°
∴DF=2ED=6
【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质和直角三角形的性质，掌握等边三角形的判定及性质、30°所对的直角边是斜边的一半是解题关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由得到，证明即可；
（2）推导，即解题即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据角平分线的定义，得到∠DAF=∠CAF，又根据，得到∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB，进一步得到∠ABC=∠ACB，即可证明是等腰三角形；
（2）在中，分别求得和的度数，利用三角形内角和求解即可．
【详解】（1）证明：∵AF是∠DAC的角平分线
∴∠DAF=∠CAF
又∵
∴∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
∴是等腰三角形
（2）∵CG是∠ACE的角平分线
∴∠ACG=∠ECG
又∵，∠ACB=∠B
∴
∴∠ACG=∠ECG=
又∵∠CAG=∠ACB
∴∠AGC=
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等相关知识点，牢记知识点是解题关键．
25．(1)
(2)见详解
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，新定义问题，角平分线的性质，垂直平分线定理，理解特异三角形，特异线的含义是解题关键．
（1）由角平分线的性质得，由是的一条特异线得，，再利用三角形内角和即可求解．
（2）用垂直平分线定理得是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质证明，即可得证．
【详解】（1）解：是的一条特异线，
，是等腰三角形，
，
，
的角平分线是，
，
是等腰锐角三角形，
，
内角和为，
．
（2）垂直平分线，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条特异线．
26．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）利用同角的余角相等可以得到，根据，即可求出度数；
（2）根据角平分线的定义可以得到，，利用三角形的内角和定理可以得到，结合角平分线的定义转化角度即可得到；
（3）作的平分线交于点，由，可得，利用ASA可得到，从而得到，同理可得：，即可得到结论；
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴，
即：，
故答案为：
（2）解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
即：
∴；
（3）如图，作的平分线交于点，
∵，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即：．
【点睛】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形全等的判定及性质，正确构造辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．