2024扬州邗江区高一上学期期中数学含解析

这是一份2024扬州邗江区高一上学期期中数学含解析，共16页。试卷主要包含了解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

一、选题题 本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，，则（ ）
A B.
C. D.
2. 已知命题p：，，则命题p的否定是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
3. “且”是“”的（ ）条件
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 若不等式的解集为，则实数（ ）
A. 2B. C. 3D.
6. 函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
7. 我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时.当时，位数.则是（ ）位数.
A. 601B. 602C. 603D. 604
8. 若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题 本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知，那么下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
11. 已知函数的值域是，则其定义域可能是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知，，且，则下列说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
三、填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知集合，．若，则实数的取值范围是_____．
14 设函数若，则实数___________.
15. 设，则__________．
16. 设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______．
四、解答题（17题10分，18-22题各12分，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 集合 ，集合 ，且 .
（1）求、的值;
（2）求.
18. 计算：
（1）；
（2）.
19. 已知函数的定义域为A，集合.
（1）当时，求;
（2）若，求a的取值范围.
20. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21. 设．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
22. 已知二次函数（为实数）
（1）若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；
（2）对，时，恒成立，求的最小值．
2023-2024学年度第一学期高一期中数学试卷
全卷满分150分，考试时间120分钟
一、选题题 本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义得出结果即可.
【详解】由，，得.
故选：B.
2. 已知命题p：，，则命题p的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定形式即可得答案.
【详解】由全称量词命题的否定形式可知，
命题p：，的否定为：，.
故选：B
3. “且”是“”的（ ）条件
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质可得充分性，举反例可判断必要性.
【详解】当且时，则，
但是，得不到且，比如，
故 “且”是“”的充分不必要条件，
故选：C
4. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数幂运算法则直接求解即可.
【详解】，，.
故选：D.
5. 若不等式的解集为，则实数（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系计算即可.
【详解】由题意可知和是方程的两个根，且，
利用根与系数的关系可得.
故选：B
6. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.
【详解】函数定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以排除A，
当时，，所以排除C，
当时，，
因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B，
故选：D
7. 我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时.当时，是位数.则是（ ）位数.
A. 601B. 602C. 603D. 604
【答案】C
【解析】
【分析】结合对数的运算性质化简求解即可.
【详解】由，
所以是603位数.
故选：C.
8. 若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定函数的单调性，考虑和两种情况，将问题转化为或，再根据函数值结合函数单调性得到答案.
【详解】函数是定义在实数集上的偶函数，在区间上是严格减函数，
故函数在上单调递增，且，
当时，由，即，得到或（舍弃），所以，
当时，由，即，得到，所以，
综上所述，或，
故选：B.
二、选择题 本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，两函数的解析式不同，所以不是同一函数；
对于B，两函数的定义域都相同为，其次，所以是同一函数；
对于C，函数的定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数；
对于D，两函数的定义域相同都为，且解析式相同，所以是同一函数.
故选：BD
10. 已知，那么下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用不等式的运算性质、特殊值法分析运算判断即可得解.
【详解】选项A，∵，
∴，，
∴，故A正确；
选项B，取，，满足，
但，故B错误；
选项C，∵，∴.
又∵，由成立，则
∴，则有，∴，故C正确；
选项D，∵，∴，
∴，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知函数的值域是，则其定义域可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据二次函数的性质对各选项逐一验证即可.
【详解】函数，
当定义域是时，函数单调递减，
当时，，当时，，故其值域为，不合题意；
当定义域是时，函数单调递减，
当时，，当时，，故其值域为，符合题意；
当定义域是时，函数在单调递减，在单调递增，
当时，，当时，，故其值域为，符合题意；
当定义域是时，函数单调递增，
当时，，当时，，故其值域为，不合题意.
故选：BC.
12. 已知，，且，则下列说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据均值不等式判断A，利用“1”的变形技巧及均值不等式判断BD，由重要不等式及不等式性质判断C.
【详解】当，时，，即，所以，即，
当且仅当，即时取等号，故A错误；
因为，，所以，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
由A可知，，当且仅当，即时取等号，故C正确；
因为，，所以，
当且仅当，即时取等号，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知集合，．若，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据交集的结果直接得到参数的取值范围.
【详解】因为，且，
所以.
故答案为：
14. 设函数若，则实数___________.
【答案】或
【解析】
【分析】根据给定分段函数，代值计算得解.
【详解】当时，，解得；
当时，，解得.
故答案为：或.
15. 设，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用对数的定义，结合对数换底公式及对数运算性质计算即得.
【详解】由，得，则，由，得，
所以.
故答案为：1
16. 设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】化简函数，设，，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可.
【详解】由，
设，，
则，
所以函数在上为奇函数，
所以，
由题意，得，
所以.
故答案为：8.
四、解答题（17题10分，18-22题各12分，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 集合 ，集合 ，且 .
（1）求、的值;
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据， ，代入方程求解即可；
（2）解出一元二次方程的根，再由集合的并集运算求解.
【小问1详解】
因为，所以，，
所以，，
解得.
【小问2详解】
因为，，
所以.
18. 计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）1（2）3
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算法则，即可求得本题答案；
（2）根据对数的运算法则，即可求得本题答案.
【详解】（1）原式;
（2）原式 .
19. 已知函数的定义域为A，集合.
（1）当时，求;
（2）若，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，再根据交集的定义求得结果；
（2）根据包含关系，分成，两种情况进行讨论.
【小问1详解】
由题意可得，，解得，即，
当a=2时，，
故，
【小问2详解】
若，则
①时，
②时，，，
综上，的取值范围为.
20. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质即可求出结果；
（2）由（1）得到，再求的值域，即可求出结果.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
则，得到，解得，
经检验满足题意，
故实数的值为.
【小问2详解】
由（1）知，，
当时，，
又的对称轴为，所以当时，，
当时，，
又对称轴为，所以当时，，
所以，当时，，故不等式恒成立时，，
所以实数的取值范围
21. 设．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）化简不等式，对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.
（2）化简不等式，对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
【小问1详解】
由得，恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；-
当时，满足，即，解得；
故实数的取值范围是．
【小问2详解】
不等式，等价于．
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或.
综上：当时，等式的解集为或--
当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.-
22. 已知二次函数（为实数）
（1）若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；
（2）对，时，恒成立，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得，转化为恒成立，进而得到对恒成立，令，化简得到，结合基本不等式，即可求解；
（2）根据题意，结合二次函数的性质，求得，得到，结合基本不等式，即可求得最小值.
【小问1详解】
解：因为时，，可得，即，
对，恒成立，即恒成立，所以恒成立，
因为，所以对恒成立，
令，则，
则，
当且仅当，即，此时时，等号成立，
所以，即实数的取值范围时．
【小问2详解】
解：对，时，恒成立，所以，解得，
所以，当且仅当且，
即时，取等号，所以最小值是.