湖北省荆门市东宝中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省荆门市东宝中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由基本不等式求集合A中函数的值域，得到集合A，解集合B中的不等式，得到集合B，再求两个集合的交集.
【详解】因为，
当且仅当，即时，等号成立，则，
不等式解得，则，
所以．
故选：C
2. 函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域，再根据特殊值判断即可；
【详解】解：因为，所以，即，解得，故函数的定义域为，故排除A、B，又，故排除D；
故选：C
3. 若，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简函数，利用基本不等式求出最值，并验证取等条件．
【详解】，
当且仅当，即时取等号
则的最大值为
故选：C
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生计算能力，属于中档题．
4. 已知函数，则满足的实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分情况讨论，当时，，解得；当时，，解得，最终取并集得到.
【详解】函数，当时，两者取交集得到；
当时，，两者取交集得到
综上，得到.
故选：D.
5. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质，分母不为零的性质进行求解即可.
【详解】由函数的定义域为，可得
函数的定义域为，函数，
可得
解得，
所以函数定义域为．
故选：D．
6. 若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式有解，则实数m的取值范围是错误的是（ ）
A. m<－3或m>B. －3C. m≤－3或m≥D. －3≤m≤
【答案】BCD
【解析】
【分析】使不等式有解，大于的最小值，根据题意先利用基本不等式求的最小值，再解不等式求m的取值范围.
【详解】因为正实数x，y满足，所以，
则=，
当且仅当，即时等号成立.
因为不等式有解，所以，
即，，
解得或.
故选：BCD.
7. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的解集求出，再代入解一元二次不等式即得.
【详解】依题意，是方程的二实根，且，
于是，且，解得，
不等式化为：，解得，
所以所求不等式的解集为.
故选：A
8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由得当是的值域的倍，然后利用分段函数值域以及一元二次不等式恒成立求解即可.
【详解】解：由，可知，，， ，
所以当，对应就是的值域的倍，
由分段函数可以得，在，值域为；，值域为
可知当时，的值域为，
故对应值域为
对于恒成立，
可得，解得，，
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下面命题正确是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，”是真命题，则
C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可.
【详解】选项A，由，能推出，但是由，不能推出，例如当时，符合，但是不符合，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
选项B，“，”是真命题可知，时不成立，当时，只需满足，解得，故B正确；
选项C，根据不等式的性质可知：由且能推出，充分性成立，故C错误；
选项D，因为可以等于零，所以由不能推出，由等价于且，可得，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集是或
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式与方程之间的关系及题设条件得到之间的关系，然后逐项分析即可得出正确选项.
【详解】由题意不等式的解集为或，则可知，即A正确；
易知，和是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，则；
所以不等式即为，解得，所以B错误；
易知，所以C正确；
不等式即为，
也即，解得或，所以D正确.
故选：ACD
11. 已知函数，若最小值为，则实数a的值可以是（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据分段函数解析式，结合对勾函数的性质判断上单调性、值域，再讨论、结合二次函数的性质判断上的单调性和值域，最后根据题设求a的范围，即可确定正确选项.
【详解】由题设，，
根据对勾函数的性质：在上递减且值域为，在上递增且值域为，
当时，在上递减且值域为，在上递增且值域为，
∴此时，，显然不是最小值，不合题设；
当时，在上递减且值域为，
∴此时，要使是最小值，则，可得.
∴B、C、D符合要求.
故选：BCD
12. 已知，，且，则（ ）
A B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于选项A,消元利用二次函数的图象和性质判断；对于选项B,C,D都利用基本不等式判断.
【详解】解：因为，，且，所以，所以，二次函数的抛物线的对称轴为，所以当时，的最小值为，所以，所以选项A正确；
成立，当且仅当a＝b＝时取等号），故选项B错误；
，成立，（当且仅当a＝b＝时取等号），故选项C正确；
∵，∴（当且仅当a＝b＝时取等号），故选项D正确.
故选：ACD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据开平方时被开方数要大于等于0及分式中分母不能为0列不等式解得答案.
【详解】使有意义的满足且，
解得．
故答案为：
14. 已知函数与分别由下表给出，则满足的x的值为________.
【答案】2
【解析】
【分析】对于的任一取值，分别计算和的值，若，可得正确值.
【详解】当时，，不合题意.
当时，，符合题意.
当时，，不合题意.
故答案为：2
15. 若函数，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】计算出的值，即可得解.
【详解】因为，
则，
所以，，
因为，因此，.
故答案为：.
16. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果
【详解】表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 设A={x|2x2+ax+2=0}，B={x|x2+3x+2a=0}，A∩B={2}．
（1）求a的值及集合A、B；
（2）设集合U=A∪B，求（CuA）∪（CuB）的所有子集．
【答案】（1）a=﹣5，A={2，}，B={2，﹣5}；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得2∈A，2∈B，代入方程后可得，然后解方程可得集合A、B；（2）结合（1）中的结论得到（CuA）∪（CuB），然后写出它的所有子集即可．
【详解】（1）根据题意得2∈A，2∈B，
将x=2代入A中的方程得：8+2a+2=0，
解得a=﹣5，
∴A={x|2x2﹣5x+2=0}={2，}，B={x|x2+3x﹣10=0}={2，﹣5}．
（2）由题意得全集U=A∪B={2，，﹣5}，A∩B={2}，
∴（CuA）∪（CuB）=∁U（A∩B）={，﹣5}，
∴（CuA）∪（CuB）的所有子集为，{﹣5}，{}，{﹣5，}．
【点睛】本题考查集合的基本运算，解题的关键是正确地得到相关集合，再根据要求求解，属于基础题．
18. 设.

（1）用分段函数的形式表达；
（2）在直角坐标系中画出的图象；
（3）写出函数的值域．
【答案】（1）
（2）作图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）分、两种情况化简函数的解析式，即可得解；
（2）根据函数的解析式可作出函数的图象；
（3）根据函数的图象可写出函数的值域.
【小问1详解】
当时，，
当时，．
所以，.
【小问2详解】
函数的图象如图所示：（注意端点处的开闭）
【小问3详解】
由（1）（2）知，函数的最小值为；
当时，函数取得最大值，最大值为，
所以，在上值域为
19. 已知函数．
（1）解关于x的不等式；
（2）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或.
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据题意得到，再分类讨论解不等式即可.
（2）首先将题意转化为，再利用换元法结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
，即，
当时，即，解集为；
当时，
当，即时，，
因为，所以解集为或.
当，即时，，
因为，所以解集为．
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为或.
【小问2详解】
，即，
因为恒成立，所以，
设，则，
所以，
因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，
所以当时，．即.
20. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.
（1）求出2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；
（2）2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
【解析】
【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.
（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.
【小问1详解】
依题意，销售收入万元，固定成本250万元，另投入成本万元，
因此，
所以2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式是.
【小问2详解】
由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当，即时取等号，
而，因此当时，，
所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
21. 如图，为梯形，其中，，设O为对角线的交点.表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点O的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段.
试研究线段，，，与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】根据题中所给的梯形模型，结合平行线分线段成比例定理，相似，面积相等等方式，建立得到几个平均数，再利用基本不等式和作差法比较大小即可
【详解】因为是梯形的中位线，
所以；
因为梯形与梯形相似，
所以，
所以；
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
设梯形， 的面积分别为 ，高分别为，
则，，
所以，
所以，
所以；
由图可知，，
即
；
证明：
显然，
，
因为，
所以，
所以，
所以
22. 已知二次函数（为实数）
（1）若时，且对，恒成立，求实数取值范围；
（2）若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）对，时，恒成立，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）依题意可得，即对，恒成立，参变分离可得对恒成立，令，则，再利用基本不等式计算可得；
（2）依题意可得对恒成立，即对恒成立，结合一次函数的性质得到不等式组，解得即可；
（3）依题意可得，即可得到，从而，再利用基本不等式计算可得.
【小问1详解】
时，，即，
，恒成立，即恒成立，恒成立，
，对恒成立，．
令，则，
则，
当且仅当，即，此时时取，
所以实数的取值范围时．
【小问2详解】
时，，即，
，恒成立，即对恒成立，
对恒成立．
，，
所以实数的取值范围是．
【小问3详解】
对，时，恒成立，，则．
，当且仅当且，即时取等号，x
1
2
3
1
3
1
x
1
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3
2
1