2018年山西吕梁中考数学真题及答案

这是一份2018年山西吕梁中考数学真题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1.下面有理数比较大小，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果.下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（ ）

A．《九章算术》 B．《几何原本》 C．《海岛算经》 D．《周髀算经》
3.下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
5.近年来快递业发展迅速，下表是年月份我省部分地市邮政快递业务量的统计结果（单位：万件）：
月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是（ ）
A．万件 B．万件 C．万件 D．万件
6.黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西千米处，是黄河上最具气势的自然景观.其落差约米，年平均流量立方米/秒.若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表示为（ ）
A．立方米/时 B．立方米/时
C．立方米/时 D．立方米/时
7.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球.两次都摸到黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8.如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
9.用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，正方形内接于，的半径为，以点为圆心，以长为半径画弧交的延长线于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.计算： ．
12.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则 度．
13.年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高之和不超过.某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的宽为，长与高的比为，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 ．
14.如图，直线，直线分别与，相交于点，.小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点.若，，则线段的长为 ．
15.如图，在中，，，，点是的中点，以为直径作，分别与，交于点，，过点作的切线，交于点，则的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.计算：（1）.
（2）.
17.如图，一次函数的图象分别与轴，轴相交于点，，与反比例函数的图象相交于点，.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当为何值时，；
（3）当为何值时，，请直接写出的取值范围.
18.在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动.教务处在该校七年级学生中随机抽取了名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图
请解答下列问题：
请补全条形统计图和扇形统计图；
（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？
（3）若该校七年级学生共有人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人？
（4）学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少？
19.祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.测量结果如下表.
（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点到的距离（参考数据：，，，，，）
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）.
20.年月日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好.已知“太原南—北京西”全程大约千米，“复兴号”次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的（两列车中途停留时间均除外）.经查询，“复兴号”次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留分钟.求乘坐“复兴号”次列车从太原南到北京西需要多长时间.
21.请阅读下列材料，并完成相应的任务：
任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形的形状，并加以证明；
（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成的证明过程；
（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形放大得到四边形，从而确定了点，的位置，这里运用了下面一种图形的变化是________.
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
22.综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形中，，是延长线上一点，且，连接，交于点，以为一边在的左下方作正方形，连接.试判断线段与的位置关系.
探究展示：勤奋小组发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法：
证明：∵，∴.
∵，∴.
∵四边形是矩形，∴.
∴.（依据1）
∵，∴.∴.
即是的边上的中线，
又∵，∴.（依据2）
∴垂直平分.
反思交流：
（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点是否在线段的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接，以为一边在的左下方作正方形，发现点在线段的垂直平分线上，请你给出证明；
探索发现：
（3）如图3，连接，以为一边在的右上方作正方形，可以发现点，点都在线段的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形和正方形的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明.

23.综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，.点是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作交轴于点，交于点.
（1）求，，三点的坐标；
（2）试探究在点运动的过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时有最大值.
试卷答案
一、选择题
1-5: BBDCC 6-10: CADBA
二、填空题
11. 12. 13. 14. 15.
三、解答题
16.（1）解：原式.
（2）解：原式
.
17. 解：（1）∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得.
∴一次函数的表达式为.
∵反比例函数的图象经过点，∴.∴.
∴反比例函数的表达式为.
（2）由,得.
∴.∴当时，.
（3）或.
18.解：（1）
（2）.
答：男生所占的百分比为.
（3）（人）.
答：估计其中参加“书法”项目活动的有人.
（4）.
答：正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率为.
19.解：（1）过点作于点.
设米，在中，，.
∵，∴.
在中，，.
∵，∴.
∵，∴.
解得.
答：斜拉索顶端点到的距离为米.
（2）答案不唯一，还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等.
20.解法一：设乘坐“复兴号”次列车从太原南到北京西需要小时，
由题意，得.
解得.
经检验，是原方程的根.
答：乘坐“复兴号”次列车从太原南到北京西需要小时.
解法二：设“复兴号”次列车从太原南到北京西的行驶时间需要小时，
由题意，得.
解得.
经检验，是原方程的根.
（小时）.
答：乘坐“复兴号”次列车从太原南到北京西需要小时.
21.解：（1）四边形是菱形.
证明：∵，，∴四边形是平行四边形.
∵，∴是菱形.
（2）证明：∵，∴.
∵，∴.
∴.∴.
∵四边形是菱形，∴.
∴.
（3）（或位似）.
22.（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）.
依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）.
②答：点在线段的垂直平分线上.
（2）证明：过点作于点，
∵四边形是矩形，点在的延长线上，
∴，∴.
∵四边形为正方形，
∴，，∴.∴.
∴.
∴，∵四边形是矩形，∴.
∵，，∴，∴.
∴垂直平分.∴点在的垂直平分线上.
（3）答：点在边的垂直平分线上（或点在边的垂直平分线上）.
证法一：过点作于点，过点作于点.
∴。
∵四边形是矩形，点在的延长线上，
∴，∴四边形为矩形.
∴，.∴.
∵四边形为正方形，
∴，.∴.
∴.∵，
∴.
∴.∴.
∵四边形是矩形，∴.
∵，.∴.∴.
∴垂直平分.∴点在边的垂直平分线上.
证法二：过作交的延长线于点，连接，.
∵四边形是矩形，点在的延长线上，
∴.∴.
∵四边形为正方形，∴，.∴.∴.
∴.
∴，.
∵四边形是矩形，∴.
∵，.∴设，则，，
∴.
.
.
∴.∴点在边的垂直平分线上.
23.解：（1）由，得.
解得，.
∴点，的坐标分别为，.
由，得.∴点的坐标为.
（2）答：，.
（3）解：过点作于点，
则轴.由，，得为等腰直角三角形.
∴.∴.
∵，∴.
∵轴，∴.∴.
∵，∴.
∴，即.
∴.
∴.∴.
∵轴，点的横坐标为，，
∴，.
∴.
∴.
∵，∴有最大值.∴当时，有最大值.
解法二：提示，先分别求出和关于的代数式，再由得到关于的代数式.
太原市
大同市
长治市
晋中市
运城市
临汾市
吕梁市
项目
内 容
课题
测量斜拉索顶端到桥面的距离
测量示意图
说明：两侧最长斜拉索，相交于点，分别与桥面交于，两点，且点，，在同一竖直平面内.
测量数据
的度数
的度数
的长度
米
…
…
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消去.著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形的和两边上分别取一点和，使得.（如图）解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在上作出一点，使得，连接.第二步，在上取一点，作，交于点，并在上取一点，使.第三步，过点作，交于点.第四步，过点作，交于点，再过点作，交于点.
则有.
下面是该结论的部分证明：
证明：∵，∴，
又∵.∴.
∴.
同理可得.∴.
∵，∴.