重庆市育才中学、西南大学附中、万州中学2023～2024学年高二上学期12月联考数学试题

这是一份重庆市育才中学、西南大学附中、万州中学2023～2024学年高二上学期12月联考数学试题，共9页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，已知数列满足，，则，已知抛物线C，已知椭圆M，已知，是双曲线C，已知直线l等内容，欢迎下载使用。

（满分：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线：与直线：互相垂直，则（ ）
A．0B．1C．2D．-1
2．双曲线（，）的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（ ）
A．B．C．D．
3．若圆E：与圆F：仅有一条公切线，则实数a的值为（ ）
A．3B．C．D．1
4．已知数列满足，，则（ ）
A．2B．C．-1D．2023
5．已知F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一动点，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且，则（ ）
A．2B．C．D．4
7．已知椭圆M：，点在其上，直线l交椭圆于A，B两点，△ABC的重心是坐标原点，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，是双曲线C：（，）的左，右焦点，过点倾斜角为150°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A，B，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则
10．已知直线l：，圆M：的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过点
B．，
C．直线l被圆M截得的最短弦长为
D．当时，圆M上存在无数对点关于直线l对称
11．已知斜率为2的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（ ）
A．为定值
B．线段AB的中点在一条定直线上
C．为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB的斜率）
D．为定值（F为抛物线的焦点）
12．已知椭圆C：，，是其左、右焦点，P为椭圆C上的一点，下列结论正确的是（ ）
A．满足是直角三角形的点P有四个
B．直线l为椭圆C在P点处的切线，过作于H，则可能为4
C．过点作圆M：的一条切线，交椭圆C于另一点Q，（O为坐标原点）则
D．过点作圆M：的两条切线，分别交椭圆C于E，H两点，则直线EH过定点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知抛物线C：，则抛物线C的焦点坐标为________．
14．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点在椭圆C上，且，则________．
15．双曲线（，）的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为________．
16．若，则的最小值是________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知是等差数列，若，．
（1）求的通项公式；
（2）证明是等差数列．
18．（12分）设a为实数，已知双曲线C：与椭圆有相同的焦点，．
（1）求a的值；
（2）若点P在双曲线C上，且，求的面积．
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，设点P的轨迹为曲线C．①点P到的距离比P到y轴的距离大；②过点的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径．在①和②中选择一个作为条件．
（1）选择条件：________，求曲线C的方程；
（2）设直线与曲线C相交于M，N两点，若，求实数k的值．
20．（12分）已知椭圆C：点，分别是椭圆C的左、右焦点，点A是椭圆上任意一点，O为坐标原点，且的最小值为1，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点作直线l与椭圆C交于不同两点P，Q，点M是线段PQ的中点，过点M作直线l的垂线交x轴于点N．求的取值范围．
21．（12分）已知圆C与直线相切于点，且圆心C在x轴的正半轴上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点，直线BN和直线OM交于点G．证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程．
22．（12分）设是双曲线C：（，）的右焦点，离心率，过F的直线l交双曲线C的右支于P、Q两点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点P作轴于A，过点Q作轴于B，直线AQ交直线于M，记△MAB的面积为，△MPQ的面积为．求的值．
高2025届2023—2024学年（上）12月名校联考
数学试题参考答案
1—5 CBBAB6—8 DBD
9．BC10．ACD11．BC12．BCD
13．14．15．16．
17．解：（1）设等差数列的公差为d，，，
所以，
（2）因为
所以是公差为-8的等差数列
18．解：（1）根据题意，显然，且双曲线C的焦点在x轴上，
故，即，，
解得或，又，故；
（2）由（1）可得双曲线C方程为：，设其左右焦点分别为，，故可得，；不妨设点P在双曲线C的左支上，
由双曲线定义可得：，
又三角形为直角三角形，则，
即
故的面积．
19．解：（1）选①：即点P到F的距离等于点P到的距离，由抛物线定义可得．
选②：过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线于点，
设动圆的圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，
在梯形OFPH中，由中位线性质可得，
所以，又，所以，
由抛物线的定义知，点P是以为焦点的抛物线，
所以曲线C的方程为：．
（2）设，，将代入，
消去y整理得．
当时，
，．
，
化简得：，解得，
经检验，此时，故．
20．解：（1）由题即的最小值为1，故，又，，
所以椭圆的标准方程为：
（2）①设直线l的方程为：，，
联立得，
由得，，
∴，，
直线MN的方程：
令，，∴
令∴，在单调递增
∴，∴
②若直线l倾斜角为0时，则直线l方程为，此时M，N重合，
综上：
21．解：（1）设圆心，点C在与切线垂直且过切点的直线：上
∴，半径
∴圆C的方程为：
（2）设，直线MN方程为：
联立得，
，，
直线OM方程为：，直线BN方程为：
联立
可得
∴点G在直线上
22．解：（1）由题，得，
故双曲线的标准方程为
（2）设，，易知PQ斜率不为0，故设直线PQ的方程为
联立得，
，，，
由PQ直线与双曲线右支交于两点得
直线AQ的方程为所以
法一：
下证明P，B，M三点共线
，
即证，也即证
由韦达定理显然成立。
∴
∴
∴
法二：
又，
∴①
又，
∴②
由①、②结合韦达定理得
∴