安徽省宿州市省、市示范高中2023-2024学年高一上学期期中教学质量检测数学试卷(含答案)

这是一份安徽省宿州市省、市示范高中2023-2024学年高一上学期期中教学质量检测数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知全集,集合A满足,则( )
A.B.C.D.
2、命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3、若幂函数在单调递减,则( )
A.8B.3C.1D.
4、若函数在区间上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5、函数的图象是( )
A.B.
C.D.
6、“”是“”的( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7、已知函数的值域为R,则m的取值范围是( )
A.B.C.D.
8、已知函数,若,则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9、已知集合,则下列式子表示正确的有( )
A.B.C.D.
10、对于实数a,b,c,下列说法正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,
11、已知正数a,b满足,则( )
A.ab的最大值为B.的最小值为4
C.的最小值为D.的最大值为-1
12、设函数,满足,,下列结论正确的是( )
A.B.,
C.若,则,D.若,,则
三、填空题
13、已知函数是定义在R上的偶函数,当时,,则____________.
14、函数的定义域为________________.
15、集合,集合,且,求a的值___________.
16、最早发现勾股定理的人是我国西周时期的数学家商高.《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“…故折矩,勾广三,股修四,径隅五.”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时,径隅（弦）则为5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”,后来人们还把它推广到一般情况,即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方,这就是著名的勾股定理.据此,如果想用一段钢管加工一个面积为2平方米的直角三角形的框架,则这段钢管长度的最小值是__________米.
四、解答题
17、已知集合,.
(1)求;
(2)若集合,满足,求实数a的取值范围.
18、已知a,b,c均为正实数.
(1)若,试比较与的大小;
(2)求证：.
19、已知命题“,都有成立”为真命题.
(1)求实数a的取值集合A;
(2)设不等式的解集为B,若“”是“”的充分条件,求实数m的取值范围.
20、已知函数,.
(1)判断的奇偶性,并证明;
(2)求证：在上是减函数;
(3)解不等式：.
21、某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”,计费方法如下表所示.
(1)求用户每月缴纳水费y（单位：元）与每月用水量x（单位：）的函数关系式;
(2)随着生活水平的提高,人们对生活的品质有了更高的要求,经验表明,当居民用水量在一定范围内时,若随性用水,用水量增加,生活越方便;若时刻想着节约用水,生活也会麻烦.数据表明,人们的“幸福感指数”K与缴纳水费y及“生活麻烦系数”M存在以下关系：（其中）,当某居民用水量在时,求该居民“幸福感指数”K的最大值及此时的用水量.
22、已知二次函数满足,且的图象经过点.
(1)求的解析式;
(2)若函数,试判断是否存在整数a,使得函数在区间上的最大值为3.若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
(3)设函数,若不等式对任意的恒成立求实数m的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：因为,
又,所以.
故选：B.
2、答案：D
解析：命题“,”为存在量词命题,其否定是全称量词命题,
所以命题“,”的否定为：,.
故选：D.
3、答案：D
解析：因为是幂函数,所以或,
当时,函数是实数集上的增函数,不符合题意;
当时,函数在单调递减,符合题意,,
故选：D.
4、答案：C
解析：因为函数在区间上是减函数,
所以,解得.
故选：C.
5、答案：B
解析：,
则函数的图象是由函数先向右平移1个单位长度,
再向上平移一个单位长度得到的,只有B选项符合.
故选：B.
6、答案：B
解析：因为,故当时,有,故成立;
取,此时,但,即由“”推不出“”;
所以“”是“”的必要非充分条件.
故选：B.
7、答案：A
解析：当时,;
当时,,
要使的值域为R,则需,
解得,所以m的取值范围是.
故选：A.
8、答案：D
解析：当时,不成立.
当时,,
所以,解得.
当时,,
所以,解得.
综上所述,a的取值范围是.
故选：D.
9、答案：ACD
解析：,
对于A：,故选项A正确;
对于B：,集合与集合之间的关系符号错误,故选项B不正确;
对于C：,故选项C正确;
对于D：,故选项D正确,
故选：ACD.
10、答案：BC
解析：对于A,因为,所以,
所以,所以,故A错误;
对于B,因为,所以,,
所以,故B正确;
对于C,因为,所以,,
所以,故C正确;
对于D,取,,满足,
而,故D错误.
故选：BC.
11、答案：AB
解析：对于选项A,正实数a,b满足,由基本不等式得,当且仅当时取等号,则A正确;
对于选项B,,当且仅当时取等号,则B正确;
对于选项C,,当且仅当时取等号,即,则C错误;
对于选项D,,则,,
当且仅当,即时,取等,但,故等号无法取到,故D错误.
故选：AB.
12、答案：BD
解析：因为,所以关于对称,即,所以,
又,所以,
对于A：,所以A错误;
对于B：因为,
所以对于,所以B正确;
对于C：,等价于恒成立,
所以,解得,所以C错误;
对于D：,等价于,
当时,
,
,当且仅当,即时取等号,所以,故D正确.
故选：BD.
13、答案：1
解析：因为函数是定义在R上的偶函数,当时,,
所以.
故答案为：1.
14、答案：
解析：由,解得,
故函数的定义域为.
故答案为：.
15、答案：2或3
解析：,,
,,
,
当,此时,符合题意;
当,此时,,
综上所述：a的值2或3.
16、答案：
解析：设直角三角形框架的直角边为a,b,a,b为正实数,
则,
所以,
当且仅当时等号成立.
故答案为：.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）,, ;
（2）集合, , 或
又, , ,所以实数a的取值范围是.
18、答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）,,,
, ,
又, ,
,即;
（2）证明：,
,,, ,,,
,当且仅当“”时等号成立.
19、答案：(1)
(2)
解析：（1）,成立,
,即,解得,
.
（2）由,即,
因为,解得或,
所以或,
“”是“”的充分条件,
, 或,即或.
实数m的取值范围是.
20、答案：(1)是奇函数,证明见解析
(2)证明见解析
(3)
解析：（1）函数是奇函数.证明如下：
关于原点对称,且,
为奇函数.
（2）证明：任意,
则
当时,显然成立,
当时,显然成立,
当时,,所以,所以,
综上有,
,,,.
,即,故函数在上是减函数.
（3）由（1）（2）可知不等式
,
不等式的解集为.
21、答案：(1);
(2)K的最大值为,此时用水量为.
解析：（1）当时,;
当时,;
当时,;
可知y与x的函数关系式为.
（2）由题意可知：当时,,
令,则,于是,
所以当,即时,K取得最大值,
故居民“幸福感指数”K的最大值为,此时用水量为.
22、答案：(1)
(2)存在,
(3)
解析：（1）设,则,
, ,
又图象过点, , ..
（2）由（1）可知,
当时,在上单调递减,不成立;
当时,函数的对称轴为,图象开口向下,
函数在上单调递减,,不成立;
当时,函数的图象开口向上,对称轴为,的最大值在或处取得,
,当, 成立.
综上所述,存在整数,使得函数在区间上的最大值为3.
（3）由（1）可知函数,
令, , ;
不等式对任意的恒成立,
等价于对任意的恒成立.
转化为：,恒成立,只需即可,
,当且仅当即时等号成立, ,
即实数m的取值范围是.
每户每月用水量
水价
不超过的部分
2.5元/
超过但不超过的部分
6元/
超过的部分
9元/