江苏省宿迁市泗阳县泗阳中学2023-2024学年高一上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份江苏省宿迁市泗阳县泗阳中学2023-2024学年高一上学期期中数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、设全集,集合,则( )
A.B.C.D.
2、命题“,”的否定为( )
A.,B.,
C.,D.,
3、函数的定义域为( )
A.B.C.D.
4、设a,,则“”是“且”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件
5、函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
6、若,则下面结论正确的是( )
A.B.若,则
C.若,则D.若,则
7、若一个n位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身,则称这个数是水仙花数,如,所以1是水仙花数.已知所有的水仙花数组成集合A,集合,则的子集个数为( )
A.4B.8C.16D.128
8、关于x的不等式的解集为,则的最小值为( )
A.B.4C.D.8
二、多项选择题
9、下列命题中真命题的有( )
A.函数在上是减函数,最小值是-9
B.函数在上是增函数,最大值为-1
C.函数在上先增后减,最小值为0
D.函数的定义域是R,值域是
10、下列四个命题中,真命题的有( )
A.若,则
B.若,则
C.,
D.若,都有恒成立,则实数
11、下列说法中正确的有( )
A.若定义在R上的函数满足,则函数不是偶函数
B.若定义在R上的函数满足,则函数不是奇函数
C.若定义在R上的函数满足,则函数不是单调减函数
D.若定义在R上的函数满足,则函数是单调减函数
12、高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为：设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数;例如：,下列命题中正确的有( )
A.函数是奇函数B.函数为R上的增函数
C.D.
三、填空题
13、已知,,则_____________（用a,b表示）
14、已知函数,a,若,则__________.
15、已知函数是定义在R上的奇函数,,且对任意的都有,则的解集为_______________.
16、两个函数在同一个区间内,都在同一个自变量时取得最大值,则称这两个函数为“联系函数”,若函数与函数是区间上的“联系函数”,则实数b的取值范围为_______________.
四、解答题
17、求值.
(1);
(2).
18、已知集合,
(1)当时,求;
(2)若,求实数t的值.
19、定义在R上的函数是奇函数,当时,.
(1)利用函数单调性的定义,证明：在上是单调增函数
(2)求函数的解析式.
20、某校决定投资建一个形状为长方体的体育器材室,高度为3米,底面面积为36平方米,它的后墙利用旧围墙改造（面积足够用）,改造费用为每平方米4百元,正面用防火板建造,防火板每平方米造价为8百元,两侧墙用砖建造,每平方米造价为6百元,顶部每平方米造价为3百元,下底费用不计.
(1)求器材室总造价y（百元）关于器材室的正面长x（米）的函数关系式;
(2)应怎样设计才能使器材室总造价最低,并求出总造价的最小值.
21、已知函数的定义域为,当时,.
(1)求的值;
(2)证明：函数在上为单调减函数;
(3)解不等式.
22、已知函数,.
(1)若方程的两根分别是,满足,求实数a的值;
(2)若对,都存在,使得对任意恒成立,求实数t的取值范围.
参考答案
1、答案：A
解析：由全集,集合,
得.
故选：A.
2、答案：D
解析：由特称命题的否定为全称命题,则原命题的否定为.
故选：D
3、答案：C
解析：由已知得,解得且,
即函数定义域为.
故选：C.
4、答案：B
解析：因为,且能推出;
不能推出且,（如,）,
所以,“”是“且”的必要不充分条件,
故选B.
5、答案：A
解析：当时,函数,排除BC;
又,即函数为奇函数,排除D.
故选：A.
6、答案：B
解析：对于A：,
当且仅当时等号成立,故,A错误;
对于B：,,,,
,
当且仅当,即时等号成立,B正确;
对于C：,解得,
,C错误;
对于D：,则,即,D错误.
故选：B.
7、答案：B
解析：,其中符合水仙花数特点的有1,2,3
所以,其子集个数为.
故选：B.
8、答案：B
解析：由题意知,a,b是方程的两根,
则,得且,即,得,
由得,
所以,
所以,
当且仅当即时,等号成立;
综上,的最小值为4.
故选：B.
9、答案：ABD
解析：对于A：函数在上是减函数,最小值是,正确;
对于B：函数在上是增函数,最大值为,正确;
对于C：函数在上递减,在上递增,最小值为,错误;
对于D：函数的定义域是R,当时,,当时,,即值域是,正确.
故选：ABD.
10、答案：AB
解析：A：若,则,故A符合题意;
B：若,则,有,故B符合题意;
C：当时,不成立,故C不符合题意;
D：由得,又在上恒成立,
所以,故D不符合题意.
故选：AB.
11、答案：AC
解析：对于A：若定义在R上的函数满足,则函数不是偶函数,A正确;
对于B：若定义在R上的函数满足,则函数有可能是奇函数,如,B错误;
对于C：若定义在R上的函数满足,明显不满足对任意,都有,则函数不是单调减函数,C正确;
对于D：若定义在R上的函数满足,由于不一定满足单调性定义中的任意性,故函数可能不是单调函数,D错误.
故选：AC.
12、答案：BD
解析：对于A：例如,,即,函数不是奇函数,A错误;
对于B：任取,则,
,
函数为R上的增函数,B正确;
对于C：例如,C错误;
对于D：设,其中n为x的整数部分,,,r为x的小数部分,
则,,
若,可得,,
若,可得,,D正确;
故选：BD.
13、答案：
解析：.
故答案为：.
14、答案：3
解析：因为,
所以,
则,
令,得,又,
所以.
故答案为：3.
15、答案：
解析：因为对任意都有,所以在上单调递增,
又为奇函数,,则在上单调递增,,
可变形为或,解得或.
故答案为：.
16、答案：
解析：函数在上单调递减,在上单调递增,
证明：任取,
则,
当,时,,,,在上单调递减,
当,时,,,,在上单调递增,
故函数在上单调递减,在上单调递增.
又,
所以在上,在时取最大值,
所以函数,在时取最大值,
根据二次函数的性质可得在区间上,更加远离函数的对称轴,
所以,
解得.
故答案为：.
17、答案：(1)16
(2)0
解析：（1）;
（2）
18、答案：(1)
(2)
解析：（1）由题意得,
所以.
（2）因为,所以,则,
所以.
19、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）任取,,
则,
,,
,
,即,
在上是单调增函数;
（2）当时,由函数是奇函数得
,
又,
.
20、答案：(1)
(2)正面长为6米时,总造价最小为540百元
解析：（1）由底面面积为36平方米得,底面宽为,
则,
整理得
（2）对于,
又,
当且仅当,即时等号成立,
所以当器材室的正面长为6米时,总造价最小,最小为百元
21、答案：(1)-1
(2)证明见解析
(3)
解析：（1）由题意知,令,
则,得;
（2）当时,有,且当时,
,且,则,.
由,得,
有,
即,所以函数在上为单调减函数;
（3）由,得,
由,得,
即,由（1）知,
所以,
由（2）知函数在上为单调减函数,
所以,解得,
即原不等式的解集为.
22、答案：(1)2
(2)
解析：（1）若方程的两根分别是,得,得
又由韦达定理得,
因为
所以
所以,
解得;
（2）若对,都存在,使得对任意恒成立,
则对任意恒成立,
对于,,,
对称轴,
则,
对于,,
又,当且仅当时等号成立,
所以,
所以在时恒成立,
所以
又,当取最小值,且最小值为-9
所以,
解得.