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初中数学北师大版八年级上册7 二次根式一课一练
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这是一份初中数学北师大版八年级上册7 二次根式一课一练，文件包含专题27二次根式一教师版docx、专题27二次根式一学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
1.了解二次根式的概念；理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；
2.掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简；
3.掌握二次根式的乘法（除法）法则，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；
4.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次根式化为最简形式。
知识精讲
知识点01 二次根式的相关概念
【微点拨】
1.二次根式的定义：我们把形如（） 的式子叫做根式； 叫做被开方数；叫做二次根号；根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【知识拓展1】二次根式的识别
例1．（2022·湖北襄阳·八年级期末）在式子中，二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【即学即练】
1．（2022·云南昭通·八年级期中）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【知识拓展2】根据二次根式的定义求字母的值
例2．（2022·北京朝阳·八年级期末）若是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．3B．7C．9D．63
【即学即练】
2．（2022·黑龙江·八年级阶段练习）若是整数，则a能取的最小整数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【知识拓展3】根据二次根式有意义条件求范围
例3．（2022·河北保定·八年级期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】
3.（2022·山东济宁·八年级期中）若二次根式有意义，则a的取值范围是___________．
【知识拓展4】根据二次根式有意义条件求值
例4．（2022·广西贺州·八年级期中）若，则等于（ ）
A．－1B．1C．D．0
【即学即练】
4．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
知识点02 二次根式的性质
【微点拨】
二次根式的性质： ① ， （双重非负性）
【知识拓展1】二次根式的性质化简绝对值（1）
例1．（2022·湖北十堰·八年级阶段练习）已知x满足|2021﹣x|+＝x，那么x﹣20212的值为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【即学即练1】
1．（2022·福建龙岩·七年级期中）已知，求的值．
【知识拓展2】二次根式的化简绝对值（2）
例2．（2022·山东淄博·八年级期末）已知等式成立，化简|x﹣6|+的结果为 _____．
【即学即练2】
2．（2022·浙江杭州·八年级期中）在△ABC中，三边分别为a，b，c，则化简|a﹣b+c|﹣2的结果为（ ）
A．3a+b﹣cB．﹣a﹣3b+3cC．a+3b﹣3cD．2a
知识点03 二次根式的乘除法
【微点拨】
二次根式的乘法法则及逆用：；
二次根式的除法法则及逆用：；
二次根式的乘法法则的推广：
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
【知识拓展1】二次根式乘除的运算
例1．（1）（2022·浙江杭州·八年级期中）（1）_____；（2）_____．
（2）（2022·河南周口·八年级期中）计算：(1)(2)．
【即学即练1】
1．（2022·湖北武汉·八年级期中）下列各式计算正确的是（ ）
A．8B．3C．（）2＝10D．（）2＝﹣3
2．（2022·全国·八年级期末）计算:(1) (2)
【知识拓展2】二次根式的化简
例2．（2022·河南信阳·八年级期中）化简=_____________________．
【即学即练2】
2．（2021·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）化简二次根式：______（）．
【知识拓展3】分母有理化
例3．（2022·河北保定·八年级期中）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【即学即练3】
3．（2022·四川·成都实外八年级期中）材料阅读：
在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；
．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
．
根据上述知识，请你完成下列问题：（1）运用分母有理化，化简：= ；
（2）运用分子有理化，比较大小： ；
（3）计算：的值．
知识点04 最简二次根式
【微点拨】
我们把满足①被开方数不含分母且分母中不含根式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【知识拓展1】最简二次根式的概念
例1．（2022·湖北襄阳·八年级期中）下列二次根式是最简二次根式的是( )
A．B．C．D．
【即学即练1】
1．（2022·河北保定·八年级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【知识拓展2】化简最简二次根式
例2．（2022·山东滨州·八年级期末）与化为最简二次根式后结果相同的是（ ）
A．B．C．边长为3的等边三角形的高 D．
【即学即练2】
2．（2022·四川广安·八年级期中）化简：_______．
能力拓展
考法01 二次根式的符号化简
【典例1】（2022·山东菏泽·八年级期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2022·黑龙江·八年级期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A．B．C．D．
变式2．（2022·山东泰安·八年级期中）已知，化简二次根式的正确结果________．
考法02 化简复合二次根式
【典例2】（2022·四川广安·八年级期末）先阅读下列解答过程：
形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，，即， ，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，，
由于，，即，，
所以．
请根据材料解答下列问题：(1)填空：______；(2)化简：（请写出计算过程）；
(3)化简：．
变式1．（2022·内蒙古巴彦淖尔·八年级期中）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
＝＝＝＝．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；(2)化简：；(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
变式2．（2022·湖北随州·八年级期中）阅读下面材料，回答问题：
(1)在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下：
小李的化简如下：
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
(2)请你利用上面所学的方法化简．
(3)计算：．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·四川·泸县五中八年级期中）下列式子中是二次根式的是( )
A．B．C．D．
2．（2022·广西钦州·八年级期中）若，为实数，且，则代数式的值是（ ）
A．1B．2C．3D．5
3．（2022·新疆乌鲁木齐·七年级期末）下列各式中，无意义的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）若，则的值为（ ）
A．3B．-3C．2D．-2
5．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）若，则化简（ ）
A．mB．-mC．nD．-n
6．（2022·山东烟台·八年级期中）如果，，那么下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2021·山东泰安·八年级期中）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·山东青岛·八年级期中）下列运算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
9.（2022•东莞市期末）若式子有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≥2B．x≠3C．x≤2或x≠3D．x≥2且x≠3
10．（2022·湖北恩施·八年级期中）计算：______．
11．（2022·湖北孝感·八年级阶段练习）若2﹣x，则x的取值范围是 _____．
12．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）计算：
(1) (2)
题组B 能力提升练
1.（2022·山东烟台·八年级期末）若是整数，则正整数的最小值是（ ）
A．1B．3C．6D．12
2．（2021·山东泰安·八年级期中）已知xy＞0，化简二次根式的正确结果（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·山东威海·八年级期中）若成立，且b>0，则a取值范围是( )
A．a<0B．a>0C．D．
4.（2022·山东泰安·八年级期中）化简：________．
5．（2022·河北邢台·八年级期末）若是二次根式，则a的取值范围是______；若是正整数，则正整数a的最小值是______．
6．（2022·四川绵阳·八年级期中）若a，b为实数，，则_________．
8．（2022·山东烟台·八年级期中）已知与满足，求代数式的值．
9．（2022·山东烟台·八年级期中）计算：
(1)；(2)；(3)．
10．（2022·山东济宁·八年级期中）已知a满足．
(1)有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得______．(2)根据（1）的分析，求的值．
11．（2022·全国·八年级课时练习）先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：①______； ②______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：．
题组C 培优拔尖练
1．（2022·山东临沂·八年级期末）化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东威海·八年级期中）观察下列式子：
①；②；③；④；…．
请你按照规律写出第n（）个式子是( )
A． B．
C． D．
2．（2022·山东济宁·八年级期中）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
按照上述规律，计算：（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江杭州·八年级期中）设，求不超过的最大整数______．
4．（2022·湖北武汉·八年级期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_____．
5.若z适合，求z的值．
7．（2022·河南安阳·八年级阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样+＝m，•＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简
解：首先把化为，这里m=7，n=12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
∴＝＝＝
由上述例题的方法化简：(1)；(2)；(3)．
8．（2022·全国·八年级专题练习）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：
， ，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
1.了解二次根式的概念；理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；
2.掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简；
3.掌握二次根式的乘法（除法）法则，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；
4.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次根式化为最简形式。
知识精讲
知识点01 二次根式的相关概念
【微点拨】
1.二次根式的定义：我们把形如（） 的式子叫做根式； 叫做被开方数；叫做二次根号；根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【知识拓展1】二次根式的识别
例1．（2022·湖北襄阳·八年级期末）在式子中，二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【即学即练】
1．（2022·云南昭通·八年级期中）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【知识拓展2】根据二次根式的定义求字母的值
例2．（2022·北京朝阳·八年级期末）若是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．3B．7C．9D．63
【即学即练】
2．（2022·黑龙江·八年级阶段练习）若是整数，则a能取的最小整数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【知识拓展3】根据二次根式有意义条件求范围
例3．（2022·河北保定·八年级期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】
3.（2022·山东济宁·八年级期中）若二次根式有意义，则a的取值范围是___________．
【知识拓展4】根据二次根式有意义条件求值
例4．（2022·广西贺州·八年级期中）若，则等于（ ）
A．－1B．1C．D．0
【即学即练】
4．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
知识点02 二次根式的性质
【微点拨】
二次根式的性质： ① ， （双重非负性）
【知识拓展1】二次根式的性质化简绝对值（1）
例1．（2022·湖北十堰·八年级阶段练习）已知x满足|2021﹣x|+＝x，那么x﹣20212的值为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【即学即练1】
1．（2022·福建龙岩·七年级期中）已知，求的值．
【知识拓展2】二次根式的化简绝对值（2）
例2．（2022·山东淄博·八年级期末）已知等式成立，化简|x﹣6|+的结果为 _____．
【即学即练2】
2．（2022·浙江杭州·八年级期中）在△ABC中，三边分别为a，b，c，则化简|a﹣b+c|﹣2的结果为（ ）
A．3a+b﹣cB．﹣a﹣3b+3cC．a+3b﹣3cD．2a
知识点03 二次根式的乘除法
【微点拨】
二次根式的乘法法则及逆用：；
二次根式的除法法则及逆用：；
二次根式的乘法法则的推广：
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
【知识拓展1】二次根式乘除的运算
例1．（1）（2022·浙江杭州·八年级期中）（1）_____；（2）_____．
（2）（2022·河南周口·八年级期中）计算：(1)(2)．
【即学即练1】
1．（2022·湖北武汉·八年级期中）下列各式计算正确的是（ ）
A．8B．3C．（）2＝10D．（）2＝﹣3
2．（2022·全国·八年级期末）计算:(1) (2)
【知识拓展2】二次根式的化简
例2．（2022·河南信阳·八年级期中）化简=_____________________．
【即学即练2】
2．（2021·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）化简二次根式：______（）．
【知识拓展3】分母有理化
例3．（2022·河北保定·八年级期中）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【即学即练3】
3．（2022·四川·成都实外八年级期中）材料阅读：
在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；
．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
．
根据上述知识，请你完成下列问题：（1）运用分母有理化，化简：= ；
（2）运用分子有理化，比较大小： ；
（3）计算：的值．
知识点04 最简二次根式
【微点拨】
我们把满足①被开方数不含分母且分母中不含根式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【知识拓展1】最简二次根式的概念
例1．（2022·湖北襄阳·八年级期中）下列二次根式是最简二次根式的是( )
A．B．C．D．
【即学即练1】
1．（2022·河北保定·八年级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【知识拓展2】化简最简二次根式
例2．（2022·山东滨州·八年级期末）与化为最简二次根式后结果相同的是（ ）
A．B．C．边长为3的等边三角形的高 D．
【即学即练2】
2．（2022·四川广安·八年级期中）化简：_______．
能力拓展
考法01 二次根式的符号化简
【典例1】（2022·山东菏泽·八年级期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2022·黑龙江·八年级期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A．B．C．D．
变式2．（2022·山东泰安·八年级期中）已知，化简二次根式的正确结果________．
考法02 化简复合二次根式
【典例2】（2022·四川广安·八年级期末）先阅读下列解答过程：
形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，，即， ，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，，
由于，，即，，
所以．
请根据材料解答下列问题：(1)填空：______；(2)化简：（请写出计算过程）；
(3)化简：．
变式1．（2022·内蒙古巴彦淖尔·八年级期中）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
＝＝＝＝．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；(2)化简：；(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
变式2．（2022·湖北随州·八年级期中）阅读下面材料，回答问题：
(1)在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下：
小李的化简如下：
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
(2)请你利用上面所学的方法化简．
(3)计算：．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·四川·泸县五中八年级期中）下列式子中是二次根式的是( )
A．B．C．D．
2．（2022·广西钦州·八年级期中）若，为实数，且，则代数式的值是（ ）
A．1B．2C．3D．5
3．（2022·新疆乌鲁木齐·七年级期末）下列各式中，无意义的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）若，则的值为（ ）
A．3B．-3C．2D．-2
5．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）若，则化简（ ）
A．mB．-mC．nD．-n
6．（2022·山东烟台·八年级期中）如果，，那么下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2021·山东泰安·八年级期中）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·山东青岛·八年级期中）下列运算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
9.（2022•东莞市期末）若式子有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≥2B．x≠3C．x≤2或x≠3D．x≥2且x≠3
10．（2022·湖北恩施·八年级期中）计算：______．
11．（2022·湖北孝感·八年级阶段练习）若2﹣x，则x的取值范围是 _____．
12．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）计算：
(1) (2)
题组B 能力提升练
1.（2022·山东烟台·八年级期末）若是整数，则正整数的最小值是（ ）
A．1B．3C．6D．12
2．（2021·山东泰安·八年级期中）已知xy＞0，化简二次根式的正确结果（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·山东威海·八年级期中）若成立，且b>0，则a取值范围是( )
A．a<0B．a>0C．D．
4.（2022·山东泰安·八年级期中）化简：________．
5．（2022·河北邢台·八年级期末）若是二次根式，则a的取值范围是______；若是正整数，则正整数a的最小值是______．
6．（2022·四川绵阳·八年级期中）若a，b为实数，，则_________．
8．（2022·山东烟台·八年级期中）已知与满足，求代数式的值．
9．（2022·山东烟台·八年级期中）计算：
(1)；(2)；(3)．
10．（2022·山东济宁·八年级期中）已知a满足．
(1)有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得______．(2)根据（1）的分析，求的值．
11．（2022·全国·八年级课时练习）先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：①______； ②______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：．
题组C 培优拔尖练
1．（2022·山东临沂·八年级期末）化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东威海·八年级期中）观察下列式子：
①；②；③；④；…．
请你按照规律写出第n（）个式子是( )
A． B．
C． D．
2．（2022·山东济宁·八年级期中）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
按照上述规律，计算：（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江杭州·八年级期中）设，求不超过的最大整数______．
4．（2022·湖北武汉·八年级期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_____．
5.若z适合，求z的值．
7．（2022·河南安阳·八年级阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样+＝m，•＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简
解：首先把化为，这里m=7，n=12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
∴＝＝＝
由上述例题的方法化简：(1)；(2)；(3)．
8．（2022·全国·八年级专题练习）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：
， ，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
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